1、江苏省泰州市2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、填空题（每小题5分，共70分）1.已知集合，集合，则_.【答案】【解析】【分析】先由一元二次不等式的解法可得，再结合交集的运算即可得解.【详解】解:由,又,则,故答案为: .【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，重点考查了交集的运算，属基础题.2.已知角的终边经过点，则角的正切值为_.【答案】【解析】【分析】由三角函数的定义：已知角的终边经过点，则，代入即可得解.【详解】解：由三角函数的定义可得，故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的定义，属基础题.3.在中，a15，b10，A60，则cos B_【答案】【解析】【详解】试题分析：由
2、正弦定理可得，解得所以因为，所以，所以角为锐角，所以,考点：1三角形中正弦定理；2同角三角函数基本关系式4.设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a5=0，则=_.【答案】11【解析】通过8a2a50，设公比为q，将该式转化为8a2a2q30，解得q2，所以11.5.已知，则_【答案】【解析】 6.已知正数满足，那么的最小值为 【答案】【解析】试题分析：因为：，由均值不等式得：，令，则考点：1均值不等式求最值；2还原法解不等式7.若非零向量，满足，则与的夹角等于_.【答案】【解析】【分析】先由向量数量积运算可得，再结合向量夹角公式求解即可.【详解】解：由，则，设为与的夹角，则，又，则，即，故答
3、案为：.【点睛】本题考查了向量数量积运算，重点考查了向量夹角的运算，属基础题.8.已知偶函数满足，则解集为_ _【答案】【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性，增减性就可以解不等式.【详解】根据题意可知，令，则转化为，由于偶函数在上为增函数，则，即，即或，即或.【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性，增减性）解不等式，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.9.已知等差数列的前项和为.若与的等差中项为8，则_.【答案】【解析】【分析】等差数列的性质可得，再结合求解即可.【详解】解：由等差数列的前项和为，由等差数列的性质可得，又与的等差中项为8，即，即，即，即，即，故答案为：.【点睛】本题
4、考查了等差数列的性质，重点考查了等差数列的前项和公式，属基础题.10.若，则函数的最大值为 【答案】-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值11.在中，点为重心，且，则_.【答案】8【解析】【分析】由向量的线性运算及向量数量积的运算可得，再代入运算即可得解.【详解】解：由，且，则,即，又,则，即,即即，故答案为：8.【点睛】本题考查了向量的线性运算，重点考查了向量数量积的运算，属中档题.12.若函数恰有2个零点，则的取值范围是_.【答案】，【解析】【分析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数和的图象，结合图象分析可得答案【详解】根据题意，在同一个坐标系中作出函数和的图象，如图
5、：若函数恰有2个零点，即函数图象与轴有且仅有2个交点，则或，即的取值范围是：，故答案为：，【点睛】本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.13.已知数列是首项为，公差为的等差数列，若是等比数列，则其公比为_.【答案】-1【解析】【分析】先求出，再结合是等比数列可得，再求解即可.【详解】解：由数列是首项为，公差为的等差数列，则，则，则， 又是等比数列，则，即，即，又，即，即，即，即，则，故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列及等比数列的有关问题，重点考查了三角恒等变换，属中档题.14.已知，则的最大值是_.【答案】【解析】【分析】将化简、变形为，然
6、后利用基本不等式和对勾函数，即可求解.【详解】由题意，设，则，当且仅当，即取等号，又由在上单调递增，所以的最小值为，即，所以，所以的最大值是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中对式子进行变形、化简，以及合理利用换元法，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.二、解答题（本大题6小题，共90分）15.已知集合，分别根据下列条件，求实数的取值范围.（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由指数不等式及二次不等式的解法可得，再结合集合的运算即可得解；（2）先设，结合集合的运算可得或，再求其补集即可.【详解】解：（1）由，又
7、，则，即，即，故实数的取值范围为；（2）设，由，则或，即或，又，则故实数的取值范围.【点睛】本题考查了指数不等式及二次不等式的解法，重点考查了集合的运算，属基础题.16.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为ABC的面积，满足（）求角C的大小；（）求的最大值【答案】（）（）【解析】【详解】解：（1）由题意可知，；（2）当ABC为等边三角形的时候取得最大值17.已知函数.（1）求函数在上的最大值；（2）若，求的值.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）由三角恒等变换可得，再求函数的最值即可；（2）由两角差的余弦公式，代入求解即可.【详解】解：（1）由函数，则，又，则，即当
8、，即时，函数取最大值2；（2）因为，由（1）得，又，则，即，即.【点睛】本题考查了三角恒等变换，重点考查了函数的最值及给值求值问题，属基础题.18.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为万元，每生产千件需另投入万元设该公司一年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且.（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）【答案】（1）（2）当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大【解析】试题分析：解：（）当时，；当时， 年利润（万元）关于年产量（千
9、件）的函数关系式为（）当时，由，即年利润在上单增，在上单减 当时，取得最大值，且（万元）当时，仅当时取“=”综上可知，当年产量为千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大，最大值为万元考点：本试题考查了函数模型在实际生活中的的运用点评：解决应用题，首先是审清题意，然后利用已知的关系式表述出利润函数：收入-成本=利润将实际问题转换为代数式，然后利用函数的性质，或者均值不等式来求解最值，但是要注明定义域，属于中档题19.已知是公差为的等差数列， 是公比为的等比数列，正整数组.（1）若，求的值；（2）若数组中的三个数构成公差大于的等差数列，且，求的最大值.（3）若，试写出满足条件一个数组和对
10、应的通项公式.(注：本小问不必写出解答过程)【答案】(1) ;（2）;(3) ,.【解析】试题分析：（1）由条件，知即所以因为，所以 （2）由 ，即，所以，同理可得，因为成等差数列，所以记，则有，因为，所以，故，即所以记，则奇数，又公差大于1，所以，所以，即，当时，取最大值为（3）满足题意的数组， 此时通项公式为，例如：， 试题解析：（1）由条件，知即所以 因为，所以 （2）由 ，即，所以，同理可得，因为成等差数列，所以记，则有，因为，所以，故，即所以记，则为奇数，又公差大于1，所以，所以，即，当时，取最大值为 （3）满足题意的数组， 此时通项公式为，例如：， 20.已知函数，其中是自然对数的
11、底数.（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上为单调函数，求的取值范围；（3）当时，试判断方程是否有实数解，并说明理由.【答案】（1）极小值为，无极大值（2）或（3）无实根，理由见解析【解析】【分析】（1）当时，求导数，确定函数的单调性，即可求函数的极值；（2）函数在区间上为单调函数等价于或在区间上恒成立，再利用分离变量最值法即可得解；（3）当时，可变形为，再左右分别构造函数求最值即可得解.【详解】解：（1）当时，则，当时，时，即函数的减区间为，增区间为，即函数的极小值为，无极大值；（2）由函数，则，由函数在区间上为单调函数，则或区间上恒成立，即或在区间上恒成立，设，则，当时，即函数在为减函数，则，即或，即或，故的取值范围为或；（3）当时，方程没有实数解理由如下：当时，则即为，令，当时，当时，即函数的增区间为，减区间为，即，即，令，则，当时，当时，即函数的增区间为，减区间为，即，则，即无实数解，故当时，方程没有实数解.【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了函数与方程的思想，属中档题.
