1、9.7抛物线1.抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px (p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点
2、在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.()2.设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.B.2,2C.1,1D.4,4答案C解析Q(2,0)，设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1.3.(2012四川)已知抛
3、物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于()A.2B.2C.4D.2答案B解析由题意设抛物线方程为y22px(p0)，则M到焦点的距离为xM23，p2，y24x.y428，|OM|2.4.动圆过点(1,0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_.答案y24x解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.5.若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为_.答案4解析因为椭圆1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y22px
4、的焦点为(2,0)，则p4.题型一抛物线的定义及应用例1已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标.思维启迪由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|PF|的问题可转化为求|PA|d的问题.解将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部，如图.设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知|PA|PF|PA|d，当PAl时，|PA|d最小，最小值为，即|PA|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2，点P的坐标为(2,2).思维升华与抛物线有关的最值问题，
5、一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.B.3C.D.答案A解析抛物线y22x的焦点为F(，0)，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(
6、0,2)的距离.因此所求的最小值等于 ，选A.题型二抛物线的标准方程和几何性质例2抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2y29相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程.思维启迪首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数.解由题意，得抛物线方程为x22ay (a0).设公共弦MN交y轴于A，N在y轴右侧，则|MA|AN|，而|AN|.|ON|3，|OA|2，N(，2).N点在抛物线上，52a(2)，即2a，故抛物线的方程为x2y或x2y.抛物线x2y的焦点坐标为，准线方程为y.抛物线x2y的焦点坐标为，准线方程为y.思维升华(1)由抛物线的标准方程，
7、可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(1)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A.若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A.y24xB.y28xC.y24xD.y28x(2)(2013江西)已知点A(2,0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|MN|等于()A.2 B
8、.12 C.1 D.13答案(1)B(2)C解析(1)直线方程为y2(x)，令x0，得y，故有4|，a8，y28x.(2)由抛物线定义知M到F的距离等于M到准线l的距离MH.即|FM|MN|MH|MN|FO|AF|1.题型三抛物线焦点弦的性质例3设抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴.证明：直线AC经过原点O.思维启迪证直线AC经过原点O，即证O、A、C三点共线，为此只需证kOCkOA.本题也 可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决.证明方法一设AB：xmy，代入y22px，得y22pmyp20.由根与系数的关
9、系，得yAyBp2，即yB.BCx轴，且C在准线x上，C(，yB).则kOCkOA.直线AC经过原点O.方法二如图，记准线l与x轴的交点为E，过A作ADl，垂足为D.则ADEFBC.连接AC交EF于点N，则，.|AF|AD|，|BF|BC|，|EN|NF|，即N是EF的中点，从而点N与点O重合，故直线AC经过原点O.思维升华本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力.在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到yAyBp2这个重要结论.还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何题目. 已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A
10、(x1，y1)、B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2；(2)为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0).由题意可设直线方程为xmy，代入y22px，得y22p(my)，即y22pmyp20.(*)则y1、y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.因为y2px1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.(2).因为x1x2，x1x2|AB|p，代入上式，得(定值).(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A、B作准线的垂线，垂足为C、D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|(|A
11、C|BD|)(|AF|BF|)|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.题型四直线与抛物线的位置关系例4已知抛物线C：ymx2(m0)，焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标.(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值.(3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.思维启迪抛物线上的点到抛物线的焦点距离，往往转化为该点到准线的距离.解(1)抛物线C：x2y，它的焦点F(0，).(2)|RF|yR，23，得m.(3)存
12、在，联立方程消去y得mx22x20，依题意，有(2)24m(2)0m.设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则(*)P是线段AB的中点，P(，)，即P(，yP)，Q(，).得(x1，mx)，(x2，mx)，若存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则0，即(x1)(x2)(mx)(mx)0，结合(*)化简得40，即2m23m20，m2或m，而2(，)，(，).存在实数m2，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形.思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦
13、点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.解(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：x1(x0).化简得y24x(x0).(2)设过点M(m,0)(
14、m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).设l的方程为xtym，由得y24ty4m0，16(t2m)0，于是又(x11，y1)，(x21，y2)，0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y20.又x，于是不等式等价于y1y210y1y210.由式，不等式等价于m26m14t2.对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于m26m10，即32m32.由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有0，且m的取值范围是(32，32).直线与圆锥曲线问题的求解策略典例：(12分)设抛物线C：y22px(p
15、0)的焦点为F，直线l过F且与抛物线C交于M，N两点，已知当直线l与x轴垂直时，OMN的面积为2(O为坐标原点).(1)求抛物线C的方程；(2)是否存在直线l，使得以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y 轴上，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由. 思维启迪(1)求MN的长，由面积得p的值；(2)问题的几何条件是：线段MN的中垂线与y轴的交点和M，N构成等腰直角三角形，因此依次待定直线，表示中点，得中垂线与y轴交点，利用直角边垂直关系列式求解.规范解答解(1)当直线l与x轴垂直时，则|MN|2p，SOMN2p2，即p2.抛物线C的方程为y24x.3分(2)直线l与x轴垂直时，不满足
16、.设正方形的第三个顶点为P.故可设直线l：yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(0，y0)，联立可化简得k2x2(2k24)xk20，则代入直线l可得MN的中点为(，)，则线段MN的垂直平分线为y(x1)，故P(0，).8分又0，则x1x2(y1y0)(y2y0)0.即x1x2y1y2y0(y1y2)y0.14y0y0，化解得ky4y03k0，由y0代入上式，化简得(3k44)(k21)0.解得k .存在直线l：y (x1).12分解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出0时参数范 围(或指
17、出直线过曲线内一点)第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1x2(或y1y2， y1y2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.温馨提醒本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力；(1)题比较基础，易于掌握；(2)题的基本点是设而不求，难点是如何把几何条件转化为代数方程，重点考查解题思想与方法，其中我们要习惯于把垂直关系转化为向量的数量积为零.方法与技巧1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分yax2与y22px (p0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准
18、方程有时可设为y2mx或x2my(m0).2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y22px (p0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)y1y2p2，x1x2；(2)若直线AB的倾斜角为，则|AB|；(3)若F为抛物线焦点，则有.失误与防范1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程.2.注意应用抛物线的定义解决问题.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.抛物线yx2的焦点坐标是()A.(0，)B.(，0)C.(0，)D.(，0)答案C解析把原方程先化为标准方程x22y，则2p2，即焦点坐标为(0，
19、)，故选C.2.(2013四川)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A.B.C.1D.答案B解析抛物线y24x的焦点F(1,0)，双曲线x21的渐近线是yx，即xy0，所求距离为.选B.3.已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A.x1B.x1C.x2D.x2答案B解析y22px的焦点坐标为(，0)，过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，将其代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22p，p2，抛物线的方程为y24x，其
20、准线方程为x1.4.已知抛物线y22px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于()A.4B.4C.p2D.p2答案A解析若焦点弦ABx轴，则x1x2，则x1x2；若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB：yk(x)，联立y22px得k2x2(k2p2p)x0，则x1x2.则y1y2p2.故4.5.如图，抛物线C1：y22px和圆C2：(x)2y2，其中p0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则的值为()A.p2B.C. D.答案B解析设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，D(x2，y2)，则|AB|AF|BF|x1x1，同理
21、|CD|x2.又|AB|CD|x1x2.二、填空题6.若点P到直线y1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程是_.答案x212y解析由题意可知点P到直线y3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y3为准线的抛物线，且p6，所以其标准方程为x212y.7.已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|2，则|BF|_.答案2解析设A(x0，y0)，由抛物线定义知x012，x01，则直线ABx轴，|BF|AF|2.8.已知抛物线C：y22px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若AM
22、，则p_.答案2解析如图，由AB的斜率为，知60，又AM，M为AB的中点.过点B作BP垂直准线l于点P，则ABP60，BAP30.M为焦点，即1，p2.三、解答题9.如图，已知抛物线y22px (p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原 点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程. 解设直线OA的方程为ykx，k0，则直线OB的方程为yx，由得x0或x.A点坐标为，同理得B点坐标为(2pk2，2pk)，由|OA|1，|OB|8，可得解方程组得k664，即k24.则p2.又p0，则p，故所求抛物线方程为y2x.10.(2013福建)如图，抛物线E：y24x的焦点为F，准线l与x轴的交
23、点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；(2)若|AF|2|AM|AN|，求圆C的半径.解(1)抛物线y24x的准线l的方程为x1.由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)，所以点C到准线l的距离d2，又|CO|，所以|MN|222.(2)设C(，y0)，则圆C的方程为(x)2(yy0)2y，即x2xy22y0y0.由x1，得y22y0y10，设M(1，y1)，N(1，y2)，则由|AF|2|AM|AN|，得|y1y2|4，所以14，解得y0，此时0.所以圆心C的坐标为(，)或(，)，从而|CO|2
24、，|CO|，即圆C的半径为.B组专项能力提升(时间：30分钟)1.设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|等于()A.9B.6C.4D.3答案B解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又F(1,0).由0知(x11)(x21)(x31)0， 即x1x2x33，|x1x2x3p6.2.已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，则点A的坐标为()A.(2,2)B.(2，2)C.(2，)D.(2，2)答案D解析如图所示，由题意，可得|OF|1，由抛物线的定
25、义，得|AF|AM|，AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，3，|AF|AM|3，设A，13，解得y02.2，点A的坐标是(2，2).3.(2012安徽)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若|AF|3，则AOB的面积为()A.B.C.D.2答案C解析如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|3，由抛物线定义知：点A到准线x1的距离为3，点A的横坐标为2.将x2代入y24x得y28，由图知点A的纵坐标y2，A(2,2)，直线AF的方程为y2(x1).联立直线与抛物线的方程解之得或由图知B，SAOB|OF|yAyB|1|2|.故
26、选C.4.已知直线l1：4x3y110和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_.答案3解析因为x1恰为抛物线y24x的准线，所以可画图观察.如图，连接PFd2PF，d1d2d1PFFQ3.5.如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若BC2BF，且AF3，则此抛物线的方程为_.答案y23x解析如图，分别过A，B作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的定义知AFAA1，BFBB1，BC2BF，BC2BB1，BCB130，AFx60.则AA1F为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，设
27、l交x轴于K，则KFA1F1AA1AF，即p，抛物线方程为y23x.6.抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点.(1)若2，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值.解(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为xmy1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24.因为2，所以y12y2.联立和，消去y1，y2，得m.所以直线AB的斜率是2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB.因为2SAOB2|OF|y1y2|4，所以当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.
