1、空间向量与立体几何(复习二)【学情分析】：学生能用向量计算空间角、空间距离。但有时建立的坐标系并非直角。由于法向量的方向有两个，导致计算的角的大小与实际情况不一致，不善于取舍、修正。【教学目标】：（1）知识目标：运用空间向量计算空间角及空间距离计算。适当运用传统方法。（2）过程与方法目标：总结归纳，讲练结合，以练为主。（3）情感与能力目标：提高学生的计算能力和空间想象能力。【教学重点】：。计算空间角。【教学难点】：计算空间角，角的取舍。【课前准备】：投影【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习1。两条异面直线所成的角，转化为分别与这两条异面直线共线的两个向量的夹角（或补角）。（要特别
2、关注两个向量的方向）2。直线与平面所成的角，先求直线与平面的法向量的夹角（取锐角）再求余角。3。二面角的求法：方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）如图：二面角-l-的大小为，A，Bl，AC，BD, ACl，BDl 则=,方法二：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角（或补角）。4。点P到平面的距离：先在内任选一点Q，求出PQ与平面的夹角则 这里只用向量解题，没包括传统的解法。二、实例例2如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC于B，BCA=90，PB=BC=CA=，点E，点F分别是PC，AP的中点.（1）求证：侧面P
3、AC侧面PBC；（2）求异面直线AE与BF所成的角；（3）求二面角ABEF的平面角.解：（1）PB平面ABC，平面PBC平面ABC，又ACBC， AC平面PBC 侧面PAC侧面PBC. （2）以BP所在直线为z轴，CB所在直线y轴，建立空间直角坐标系，由条件可设（3）平面EFB的法向量=(0,1,1)，平面ABE的法向量为=（1，1，1） 例3如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点.（I）用向量方法求直线EF与MN的夹角；（II）求直线MN与平面ENF所成角的余弦值；（III）求二面角NEFM的平面角的余弦值. 解：建立如图
4、所示的空间直角坐标系Axyz，则有E（，0，1，），F（1，0），M（，1，1），N（1，1）. （1）EF=（，-1），MN=（，-，0），EFMN=（，-1）（，-，0）=-+0=0.EFMN，即直线EF与MN的夹角为90.（2）由于FN=（0，0，1），MN=（，-，0），FNMN=0，FNMN.EFFN=F，MN平面ENF.所成角的余弦为零。（3）二面角MEFN的平面角的余弦值为.此处可引导特色班的学生尝试传统的方法来解题。三、小结（见一）四、作业1在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=CC1=2，ACB=90，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1EG. （）
5、确定点G的位置； （）求直线AC1与平面EFG所成角的大小.解：（）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2）， 设G（0，2，h），则10+1（2）+2h=0. h=1，即G是AA1的中点. （）设是平面EFG的法向量，则所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）， 即AC1与平面EFG所成角为2在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，ABBC，CB=3，AB=4，A1AB=60. （）求证：平面CA1B平面A1ABB1； （）求直线A1C与平
6、面BCC1B1所成角的余弦值； （）求点C1到平面A1CB的距离.答案：（）先证 BC平面A1ABB1，平面CA1B平面AA1BB1， （） （）C1到平面A1BC的距离为.教学与测试（基础题）1空间四边形中，则的值是（ ）A B C D答：D 。22若向量，则这两个向量的位置关系是_。答：垂直 。3如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中. （）求的长； （）求点到平面的距离.解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，设.为平行四边形，（II）设为平面的法向量，的夹角为，则到平面的距离为4如图，在长方体，中，点在棱上移动.（1）证明：； （2）当为的中点时，求点到面的距
7、离； （3）等于何值时，二面角的大小为.解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则（1）（2）因为为的中点，则，从而，设平面的法向量为，则也即，得，从而，所以点到平面的距离为（3）设平面的法向量，由 令，依题意（不合，舍去）， .时，二面角的大小为.（中等题）5如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，已知，求： （）异面直线与的距离； （）二面角的平面角的正切值.解：（I）以为原点，、分别为轴建立空间直角坐标系.由于，在三棱柱中有,设又侧面，故. 因此是异面直线的公垂线，则，故异面直线的距离为.（II）由已知有故二面角的平面角的大小为向量的夹角.6如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上一点，. 已知求（）异面直线与的距离； （）二面角的大小.解：（）以为原点，、分别为轴建立空间直角坐标系.由已知可得设 由，即 由，又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线,的距离为.（）作，可设.由得即作于，设，则由，又由在上得因故的平面角的大小为向量的夹角.故 即二面角的大小为
