1、模块综合测评(二)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知在等比数列an中,a54,a8,则公比q()A2 B2 C DC因为an为等比数列,a54,a8,所以a8a5q3,即4q3,解得q故选C2设正弦函数ysin x在x0和x附近的瞬时变化率为k1、k2,则k1、k2的大小关系为()Ak1k2Bk1k23已知函数f(x)x22f(1)ln x,则曲线yf(x)在x1处的切线斜率为()A1 B2 C1 D2Df(x)2x,令x1得f(1)212f(1),所以f(1)2即曲线yf(x)在x1处的
2、切线斜率k2,故选D4已知an是等差数列,且a1a4a745,a2a5a839,则a3a6a9的值是()A24 B27 C30 D33D根据等差数列的性质可知a1a4a7,a2a5a8,a3a6a9也成等差数列,故a3a6a92394533故选D5等比数列an满足a28a50,设Sn是数列的前n项和,则()A11 B8 C5 D11A由a28a50得a1q8a1q40,解得q易知是等比数列,公比为2,首项为,所以S2,S5,所以11,故选A6函数yf(x)的导函数yf(x)的图像如图所示,则函数yf(x)的图像可能是()ABCDD观察导函数f(x)的图像可知,f(x)的函数值从左到右依次为小于
3、0,大于0,小于0,大于0,对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增观察选项可知,排除A,C如图所示,f(x)有3个零点,从左到右依次设为x1,x2,x3,且x1,x3是极小值点,x2是极大值点,且x20,故选项D正确,故选D7已知数列an的前n项和Sn2n23n(nN*),若pq5,则apaq等于()A10 B15 C5 D20D因为Sn2n23n(nN*),所以anSnSn14n5(n2)又a1S11,适合上式,所以数列an的通项公式为an4n5(nN*)于是apaq4(pq)20故选D8设函数f(x)aln xbx2,若函数f(x)的图像在点(1,f(1)处的切线方程为yx,
4、则函数yf(x)的增区间为()A(0,1)BCDCf(x)aln xbx2的定义域为(0,),f(x)2bx,函数f(x)的图像在点(1,f(1)处的切线方程为yx,解得f(x)2x,欲求yf(x)的增区间,只需f(x)2x0,解得:x,即函数yf(x)的增区间为,故选C二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,那么()2412mxyzAx1ByCzDm5ABC由表格知,第三列为首项为4,公比为的等比数列,x1根据
5、每行成等差数列得第四列前两个数字分别为5,故第四列所成的等比数列的公比为,y5,同理z6,故选ABC10如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图像,则()A在x2时,函数yf(x)取得极值B在x1时,函数yf(x)取得极值Cyf(x)的图像在x0处切线的斜率小于零D函数yf(x)在区间上单调递增AD由图可知,x2是导函数f(x)的一个变号零点,故当x2时,函数f(x)取得极值,选项A正确;x1不是导函数f(x)的一个变号零点,故当x1时,函数f(x)不能取得极值,选项B错误;yf(x)的图像在x0处的切线斜率为f(x)0,选项C错误;当x(2,2)时,f(x)0,此时函数yf(x)单调递增,
6、选项D正确故选AD11设等差数列an的前n项和为Sn,且满足S2 0200,S2 021|a1 011|Ca1 0110D数列中绝对值最小的项为a1 011ABDS2 0200,S2 0210,2 021a1 0110,a1 0110,a1 011|a1 011|,故A,B都正确,C错误,由等差数列的单调性即可得出:此数列中绝对值最小的项为a1 011,故D正确故选ABD12如果定义在R上的函数f(x),对任意两个不相等的实数x1,x2,都有x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1),则称函数f(x)为“H函数”,下列函数是“H函数”的有()Ayex1By3x2(sin xcos
7、 x)Cyx33x23x1Dy ABC对于任意给定的不等实数x1,x2,不等式x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)恒成立,不等式等价为(x1x2)f(x1)f(x2)0恒成立,即函数f(x)是定义在R上的增函数对于A:yex1满足函数定义在R上的增函数,故是“H函数”,故A正确对于B:y3x2(sin xcos x),所以y32(cos xsin x)32sin0,函数单调递增,满足条件,故B正确对于C:yx33x23x1,所以y3x26x33(x1)20,所以yx33x23x1在定义域上单调递增,故C正确;对于D:y ,即y ,所以y当x0时,函数单调递增,当xx6的正整
8、数解,则n的最小值为_9设n是不等式log21)x(1)xx6的正整数解,log2(1)n(1)n n6,即 (1)n(1)n2n6, 26,即an,则a,又an单调递增,且a2120,若关于x的方程F(x)f(0,a,0)有三个不同的实根,则a_(本题第一空2分,第二空3分)2xy08令F1(x)f(1,2,0)x22x,F2(x)f(1,2,0)x22x,F1(x)2x2在R上单调递增,F2(x)2x2在R上单调递减,由F1(x)和F2(x)可得F1(0)F2(0)0,且F1(0)F2(0)2,即两函数有一个公共点,两曲线有过该点的公切线,公切线方程为y2x,即2xy0F(x) ,F(x)
9、 ,令g(x)f(0,a,0)ax,当x0时,由整理可得x2axa0,由0可得a4或a0,而a0,所以a4,因为两根之和为负数,两根之积为正数,所以两根为负数,显然符合x0;当x0时,由 整理可得x2ax2a0,由0可得a8或a0,而a0,所以a8因为两根之和为正数,两根之积为正数,所以两根为正数,显然符合x0若方程F(x)f(0,a,0)有三个根,则直线yax与F(x)的图像有三个交点,易得当yax(a0)与F(x)左侧图像相交与F(x)右侧图像相切时,方程F(x)f(0,a,0)有三个不同的实根,则a8故答案为:2xy0;8四、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或
10、演算步骤)17(本小题满分10分) 在对任意n1满足Sn1Sn12(Sn1);Sn12Snan;Snnan1n(n1)这三个条件中任选一个,补充在下面问题中问题:已知数列an的前n项和为Sn,a24,_,若数列an是等差数列,求出数列an的通项公式;若数列an不是等差数列,说明理由注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分解若选择条件:因为对任意n1,nN*,满足Sn1Sn12(Sn1),所以Sn1SnSnSn12,即an1an2,因为无法确定a1的值,所以a2a1不一定等于2,所以数列an不一定是等差数列若选择条件:由Sn12Snan,则Sn1Snan2,即an1an2,nN*,又因为a
11、24,所以a12,所以数列an是等差数列,公差为2,因此数列an的通项公式为an2n若选择条件:因为Snnan1n(n1),所以Sn1(n1)an(n1)n(n2,nN*),两式相减得,annan1(n1)an2n(n2),即an1an2(n2),又S1a22,即a2a12,所以an1an2,nN*,又a24,a2a12,所以a12,所以数列an是以2为首项,2为公差的等差数列所以an22(n1)2n18(本小题满分12分)设函数f(x)ax2(3a1)x3a2ex(1)若曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线斜率为0,求a;(2)若f(x)在x1处取得极小值,求a的取值范围解(1)因为f(
12、x)ax2(3a1)x3a2ex,所以f(x)ax2(a1)x1ex, f(2)(2a1)e2由题设知f(2)0,即(2a1)e20,解得a(2)由(1)得f(x)ax2(a1)x1ex(ax1)(x1)ex若a1,则当x时,f(x)0,所以f(x)在x1处取得极小值若a1,则当x(0,1)时,ax1x10所以1不是f(x)的极小值点综上可知,a的取值范围是(1,)19(本小题满分12分)已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn,且满足:a3a4117,a2a522(1)求数列an的通项公式an;(2)若数列bn是等差数列,且bn,求非零常数c解(1) an为等差数列, a3a4a2a52
13、2,又a3a4117,a3,a4是方程x222x1170的两个根又公差d0,a3a4,a39,a413an4n3(2)由(1)知,Snn142n2n,bn,b1,b2,b3bn是等差数列,2b2b1b3,2c2c0,c(c0舍去)20(本小题满分12分)某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂,经营中,第一年支出12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年蔬菜销售收入50万元设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)前n年的总收入前n年的总支出投资额72万元)(1)该厂从第几年开始盈利?(2)该厂第几年年平均纯利润达到最大?并求出年平均纯利润的最大值解(1)由题意知f(n)50n
14、722n240n72由f(n)0,即2n240n720,解得2n18,由nN*知,从第三年开始盈利(2)年平均纯利润40216,当且仅当n6时等号成立即第6年,投资商年平均纯利润达到最大,年平均纯利润最大值为16万元21(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Snn22kn(kN*),且Sn的最大值为4(1)求数列an的通项公式an;(2)令bn,求数列bn的前n项和解(1)由题意知,当nk时,Sn取得最大值4,所以k22kkk24,解得k2或k2(舍去),所以Snn24n当n1时,a1S13当n2时,anSnSn152n经验证n1时也符合该式故数列an的通项公式为an52n(nN*)(2
15、)由(1)知bn设数列bn的前n项和为Tn,则Tn,Tn,两式相减得Tn2,所以Tn4422(本小题满分12分)已知函数f(x)ln(1x)xx2(k0)(1)当k2时,求曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间解(1)当k2时,f(x)ln (1x)xx2,f(x)12x由于f(1)ln 2,f(1),所以曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为yln 2(x1),即3x2y2ln 230(2)f(x),x(1,)当k0时,f(x)所以,在区间(1,0)上,f(x)0;在区间(0,)上,f(x)0故f(x)的单调递增区间是(1,0),单调递减区间是(0,)当0k1时,由f(x)0,得x10,x20所以,在区间(1,0)和上,f(x)0;在区间上,f(x)0故f(x)的单调递增区间是(1,0)和,单调递减区间是当k1时,f(x)故f(x)的单调递增区间是(1,)当k1时,由f(x)0,得x1(1,0),x20所以,在区间和(0,)上,f(x)0;在区间上,f(x)0故f(x)的单调递增区间是和(0,),单调递减区间是