1、10.2 排列与组合 1排列与组合的概念 3排列数、组合数的公式及性质【答案】(1)(2)(3)(4)【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序()(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(4)kCknnCk1n1.()1用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A24 B48 C60D72【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是 1，3，5；分为两步：先从 1，3，5 三个数中选一个作为个位数有 C13种情况，再将剩下的 4 个数字排列得到
2、 A44种情况，则满足条件的五位数有 C13A4472(个)故选 D.【答案】D 26把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A144B120 C72D24【解析】“插空法”，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为 A3443224.【答案】D 3用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()A8B24 C48D120【解析】末位数字排法有 A12种，其他位置排法有 A34种，共有 A12A3448(种)【答案】C 4某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言(用
3、数字作答)【解析】依题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40 人中任选两人的排列数，所以全班共写了 A24040391 560(条)留言【答案】1 560题型一 排列问题【例1】(1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有_种不同的排法(2)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有_种【解析】(1)问题即为从 7 个元素中选出 5 个全排列，有 A572 520(种)排法(2)当最左端排甲时，不同的排法共有 A55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有 C14A44种故不同的排法共有 A55C14A4412096216(
4、种)【答案】(1)2 520(2)216【思维升华】排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.跟踪训练1 由0，1，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的自然数 求：(1)有多少个含2，3，但它们不相邻的五位数？(2)有多少个含数字1，2，3，且必须按由大到小顺序排列的六位数？【解析】(1)先不考虑 0 是否在首位，0，
5、1，4，5 先排三个位置，则有 A34个，2，3 去排四个空档，有 A24个，即有 A34A24个；而 0 在首位时，有 A23A23个，即有 A34A24A23A23252(个)含有 2，3，但它们不相邻的五位数(2)在六个位置先排 0，4，5，先不考虑 0 是否在首位，则有A36个，去掉 0 在首位，即有 A36A25个，0，4，5 三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1，2，3 必须由大到小进入相应位置，并不能自由排列，所以有 A36A25100(个)六位数.题型二 组合问题【例2】(1)若从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是()A60 B6
6、3 C65D66(2)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有_种不同选法【解析】(1)因为 1，2，3，9 中共有 4 个不同的偶数和5 个不同的奇数，要使和为偶数，则 4 个数全为奇数或全为偶数或 2 个奇数和 2 个偶数，故有 C45C44C25C2466(种)不同的取法(2)只需从 A，B，C 之外的 9 人中选择 2 人，即有 C2936(种)不同的选法【答案】(1)D(2)36【思维升华】组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取
7、(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理 跟踪训练2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货现从35种商品中选取3种(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？【解析】(1)从余下的 34 种商品中，选取 2 种有 C234561(
8、种)，某一种假货必须在内的不同取法有 561 种(2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C334种或者 C335C234C3345 984(种)某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种(3)从 20 种真货中选取 1 件，从 15 种假货中选取 2 件有 C120C2152 100(种)恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种(4)选取 2 件假货有 C120C215种，选取 3 件假货有 C315种，共有选取方式 C120C215C3152 1004552 555(种)至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种(5)选取 3 件的总数为 C335，因此共有选
9、取方式 C335C3156 5454556 090(种)至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种.题型三 排列与组合问题的综合应用 角度一 相邻问题【例3】(2018济南调研)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A33!B3(3！)3 C(3！)4D9!【解析】把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种坐法【答案】C 角度二 相间问题【例4】某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是_【解析】先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空安排小品节目和相声节目的顺序有三种
10、：“小品 1，小品 2，相声”，“小品 1，相声，小品 2”和“相声，小品 1，小品 2”对于第一种情况，形式为“小品 1 歌舞 1 小品 2相声”，有A22C13A2336(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成 4 个空，其形式为“小品 1相声小品 2”，有 A22A3448(种)安排方法由分类加法计数原理知共有 363648120(种)安排方法【答案】120角度三 特殊元素(位置)问题【例5】(2018郑州检测)从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有_个
11、【解析】分三类：第一类，没有 2，3，由其他三个数字组成三位数，有 A336(个)；第二类，只有 2 或 3 其中的一个，需从 1，4，5 中选两个数字组成三位数，有 2C23A3336(个)；第三类，2，3 均有，再从 1，4，5 中选一个，因为 2 需排在3 的前面，所以可组成12C13A339(个)由分类加法计数原理，知这样的三位数共有 51 个【答案】51【思维升华】排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列(2)相间问题插空法先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的
12、空当中，它与捆绑法有同等作用(3)特殊元素(位置)优先安排法优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置(4)多元问题分类法将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数 跟踪训练3(1)(2018山西四校联考)有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为()A150B180 C200D280(2)将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有()A150种B114种 C100种D72种【解析】(1)分两类：一类，3 个班分派的毕业生人数分别为2，2，1，则有C25C23A22 A3390(种)分派方法；另一类，3 个班分派的毕业生人数分别为 1，1，3，则有 C35A3360(种)分派方法，所以不同分派方法种数为 9060150，故选 A.(2)先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有 2，2，1 或者 3，1，1，所以共有C25C23C112C35C12C11225(种)分组方法因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有 4 种方法，所以不同的保送方案共有 254100(种)【答案】(1)A(2)C
