1、基础诊断考点突破课堂总结第5讲 椭 圆基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.椭圆的实际背景，椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，A级要求；2.椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单几何性质，B级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1椭圆的概念(1)第一定义：在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的椭圆焦点焦距基础诊断考点突破课堂总结集合PM|MF1MF22a，F1F22c，其中a0，c0，且a，c为常数：若，则集合P为椭圆；若，则集合P为线段；若，则集合P为空集(2)第二定义：平面内到一个定点F的距离和到
2、一条定直线(F不在l上)的距离的比是常数e()时，则这个点的轨迹是椭圆定点是椭圆的，定直线叫椭圆的，常数是椭圆的ac ac ac 0eb0)y2a2x2b21(ab0)图形基础诊断考点突破课堂总结性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为；短轴B1B2的长为.焦距F1F2.离心率e.a，b，c的关系c2.ca2a 2b 2c(0,1)a2b2 续表基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)
3、平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()基础诊断考点突破课堂总结 2.(2014大纲全国卷改编)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C于 A，B 两点若AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为_解析 由椭圆的定义可知AF1B 的周长为 4a，所以 4a4 3，故 a 3，又由 eca 33，得 c1，所以 b2a2c22，则 C 的方程为x23
4、 y221.答案 x23y221基础诊断考点突破课堂总结 3(2013新课标全国卷改编)设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的点，PF2F1F2，PF1F230，则 C 的离心率为_解析 在 RtPF2F1 中，令 PF21，因为PF1F230，所以 PF12，F1F2 3.故 e2c2aF1F2PF1PF2 33.答案 33基础诊断考点突破课堂总结4(苏教版选修21P33T5改编)如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是_解析 将椭圆方程化为x22y22k1，焦点在 y 轴上，则2k2，即k0，所以 0kb0)，由
5、e 22，知ca 22，故b2a212.由于ABF2 的周长为 ABBF2AF2(AF1AF2)(BF1BF2)4a16，故 a4.b28，椭圆 C 的方程为x216y281.基础诊断考点突破课堂总结(2)法一 若椭圆的焦点在x轴上，设方程为 x2a2 y2b2 1(ab0)由题意得2a32b，9a2 0b21，解得a3，b1.所以椭圆的标准方程为x29 y21.若焦点在y轴上，设方程为y2a2x2b21(ab0)基础诊断考点突破课堂总结由题意得2a32b，0a2 9b21，解得a9，b3.所以椭圆的标准方程为y281x29 1.综上所述，椭圆的标准方程为x29 y21或y281x29 1.基
6、础诊断考点突破课堂总结 法二 设椭圆的方程为x2m y2n 1(m0，n0，mn)，则由题意知 9m1，2 m32 n或9m1，2 n32 m，解得m9，n1或m9，n81.椭圆的标准方程为x29 y21或y281x29 1.答案(1)x216y281(2)x29y21或y281x291基础诊断考点突破课堂总结规律方法 根据条件求椭圆方程常用的主要方法是定义法和待定系数法定义法的要点是根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.基础诊断考点突破课堂总结【训练2】求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆x24 y231有相同的
7、离心率且经过点(2，3)；(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；(3)经过两点32，52，3，5.基础诊断考点突破课堂总结解(1)由题意，设所求椭圆的方程为x24 y23t1 或y24x23 t2(t1，t20)，椭圆过点(2，3)，t1224 3232，或 t2 324223 2512.故所求椭圆标准方程为x28 y261 或y2253x22541.基础诊断考点突破课堂总结(2)由于焦点的位置不确定，设所求的椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)或y2a2x2b21(ab0)，由已知条件得2a53，2c25232，
8、解得 a4，c2，b212.故椭圆方程为x216y2121 或y216x2121.基础诊断考点突破课堂总结(3)设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn)，由322m522n1，3m5n1，解得m16，n 110.椭圆方程为y210 x26 1.基础诊断考点突破课堂总结考点三 椭圆的几何性质 【例3】(1)(2014江西卷)设椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于_(2)(2014苏北四市模拟)已知椭圆x2a2y2b21的左顶点为A，左焦点为F，点P为该椭圆上任意一点
9、；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e 12，则 AP FP 的取值范围是_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由题意知F1(c,0)，F2(c,0)，其中ca2b2，因为过F2且与x轴垂直的直线为xc，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为Ac，b2a，Bc，b2a.因为AB平行于y轴，且F1OOF2，所以F1DDB，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为0，b22a，又ADF1B，所以kADkF1B1，即b2a b22ac0b2a0cc1，整理得 3b22ac，所以 3(a2c2)2ac，又eca且0e1，所以3e22e 30，解得e 33(e 3舍去)基础诊断考点突破课堂总结(2)因为
10、椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a2.因为离心率e12，所以c1，b a2c2 3，则椭圆方程为x24y23 1，所以A点的坐标为(2,0)，F点的坐标为(1,0)设P(x，y)，则AP FP(x2，y)(x1，y)x23x2y2.由椭圆方程得y2334x2，所以AP FP x23x34x2514(x6)24，因为x2,2，所以APFP0,12答案(1)33 (2)0,12基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)求椭圆的离心率的方法：直接求出a，c来求解e.通过已知条件列出方程组，解出a，c的值；构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二
11、次方程求解；通过取特殊值或特殊位置，求出离心率(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb,0e1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】已知椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，上顶点为 A，P 为 C1 上任一点，MN 是圆 C2：x2(y3)21的一条直径，与 AF 平行且在 y 轴上的截距为 3 2的直线 l恰好与圆 C2 相切(1)求椭圆 C1 的离心率；(2)若PM PN 的最大值为 49，求椭圆 C1 的方程解(1)由题意可知，直线 l 的方程为 bxcy(3 2)c0，因为直线 l 与圆 C2：
12、x2(y3)21 相切，所以 d|3c3c 2c|b2c21，化简得 c2b2，即 a22c2，从而 e 22.基础诊断考点突破课堂总结(2)设 P(x，y)，圆 C2 的圆心记为 C2(0,3)，则 x22c2y2c21(c0)，又因为PM PN(PC2 C2M)(PC2 C2N)(PC2 C2N)(PC2 C2N)PC 22C2N 2x2(y3)21(y3)22c217(cyc)基础诊断考点突破课堂总结当 c3 时，(PM PN)max172c249，解得 c4，此时椭圆方程为x232y2161；当 0c3 时，(PM PN)max(c3)2172c249，解得 c5 23.但 c5 23
13、0，且 c5 233，故舍去综上所述，椭圆 C1 的方程为x232y2161.基础诊断考点突破课堂总结考点四 直线与椭圆的位置关系 【例 4】(2015苏、锡、常、镇四市调研)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B，C 是椭圆x2a2y2b21(ab0)上不同的三点，A3 2，3 22，B(3，3)，C 在第三象限，线段 BC 的中点在直线 OA 上基础诊断考点突破课堂总结(1)求椭圆的标准方程；(2)求点 C 的坐标；(3)设动点 P 在椭圆上(异于点 A，B，C)，且直线 PB，PC 分别交直线 OA 于 M，N 两点，证明：OM ON 为定值，并求出该定值(1)解 由已知，得1
14、8a292b21，9a2 9b21，解得a227，b2272.所以椭圆的标准方程为x227y22721.基础诊断考点突破课堂总结(2)解 设点 C(m，n)(m0，n0)，则 BC 的中点为m32，n32.由已知，求得直线 OA 的方程为 x2y0，从而 m2n3.又点 C 在椭圆上，m22n227.由，解得 n3(舍)，n1，从而 m5.所以点 C 的坐标为(5，1)基础诊断考点突破课堂总结(3)证明 设 P(x0，y0)，M(2y1，y1)，N(2y2，y2)P，B，M 三点共线，y132y13y03x03，整理得 y1 3y0 x0 x02y03.P，C，N 三点共线，y212y25y0
15、1x05，整理得 y2 5y0 x0 x02y03.点 P 在椭圆上，x202y2027，x20272y20.基础诊断考点突破课堂总结从而 y1y23x205y206x0y0 x204y204x0y0933y206x0y0272y204x0y01833292.所以OM ON 5y1y2452.OM ON 为定值，定值为452.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 直线与椭圆的位置关系相关问题，往往与平面向量相结合，解决这类问题的常规思路是联立直线方程与椭圆方程，解方程组求出直线与椭圆的交点坐标，然后根据所给的向量条件再建立方程，解决相关问题涉及弦中点问题常常用“点差法”解决，往往更简单基础诊断考点
16、突破课堂总结【训练 4】(2015苏州调研)如图，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的右顶点为 A(2,0)，点 P2e，12 在椭圆上(e 为椭圆的离心率)(1)求椭圆的方程；(2)若点 B，C(C 在第一象限)都在椭圆上，满足OC BA，且OC OB 0，求实数 的值基础诊断考点突破课堂总结解(1)由条件，a2，ec2，代入椭圆方程，得c24 14b21.b2c24，b21，c23.椭圆的方程为x24 y21.基础诊断考点突破课堂总结(2)设直线 OC 的斜率为 k，则直线 OC 方程为 ykx，代入椭圆方程x24 y21，即 x24y24，得(14k2)x24，xC214k2.则 C2
17、14k2，2k14k2.又直线 AB 方程为 yk(x2)，代入椭圆方程 x24y24，得(14k2)x216k2x16k240.基础诊断考点突破课堂总结xA2，xB24k2114k2，则 B24k2114k2，4k14k2.OC OB 0，24k2114k2 214k2 4k14k22k14k20.k212，C 在第一象限，k0，k 22.OC 214k2，2k14k2，BA224k2114k2，0 4k14k2 414k2，4k14k2，由OC BA，得 k214.k 22，32.基础诊断考点突破课堂总结微型专题 圆锥曲线上点的对称问题圆锥曲线上两点关于直线的对称问题是高考命题的热点，该问
18、题集中点弦、直线与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系、方程、函数、不等式、点差法等重要数学知识和方法于一体，符合在知识网络交汇处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内设置问题的命题特点，此类试题综合性强，难度大，对数学知识和能力的考查具有一定的深度，具有很好的选拔功能，是高考命题的热点圆锥曲线上两点关于直线的对称问题主要有联立方程法和点差法两种解法基础诊断考点突破课堂总结【例 5】椭圆 E 经过点 A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点 F1，F2在 x 轴上，离心率 e12，其中F1AF2 的平分线所在的直线 l的方程为 y2x1.(1)求椭圆 E 的方程；(2)在椭圆上是否存在关于直
19、线 l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由基础诊断考点突破课堂总结点拨 第(1)问，依据已知条件，结合椭圆方程的性质即可求得椭圆方程；第(2)问，思路一，先假设存在关于直线l对称的相异两点，设出关于直线l对称两点所在的直线方程，求得对称点的中点坐标，再代入直线l，确定对称点的中点坐标，得出矛盾；思路二，假设存在关于直线l对称的相异两点，利用点差法，求得对称点的中点横、纵坐标的关系，即可确定对称点的中点坐标，得出矛盾基础诊断考点突破课堂总结解(1)设椭圆 E 的方程为x2a2y2b21(ab0)，由题意，可得 22a232b21，a2b2c2，ca12，解得a4，b2 3，c2，
20、所以椭圆 E 的方程为x216y2121.基础诊断考点突破课堂总结(2)法一(联立方程法)假设在椭圆上存在关于直线 l 对称的相异两点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，设线段 MN 的中点为 P(x0，y0)因为直线 MN 与直线 l 垂直，所以设直线 MN 的方程为 y12xm，由此得 x2m2y，将其代入椭圆方程，得 4y26my3m2120.因为 y1，y2 是此方程的两个根，所以 y1y23m2.所以 y012(y1y2)3m4.基础诊断考点突破课堂总结又点 P 在直线 x2m2y 上，所以 x02m2y0m2，所以点 P的坐标为m2，3m4.又点 P 在直线 y2x1 上，所以3
21、m4 2m21，解得 m4，所以点 P 的坐标为(2,3)因为点 P 的坐标满足椭圆方程，所以点 P 在椭圆上，不在椭圆内，故不存在这样的两点基础诊断考点突破课堂总结法二(点差法)假设在椭圆上存在关于直线 l 对称的相异两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，设线段 MN 的中点为 P(x0，y0)因为 M，N 两点在椭圆上，故有 3x214y2148,3x224y2248，两式相减，得 3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.又 P 为线段 MN 的中点，则有 x1x22x0，y1y22y0，所以3x0(x1x2)4y0(y1y2)0.因为直线 l 与直线 MN 垂直，所以x
22、1x2.基础诊断考点突破课堂总结所以y1y2x1x23x04y012.所以 3x02y0.又点 P(x0，y0)在直线 y2x1 上，所以 y02x01.由得点 P 的坐标为(2,3)，因为点 P 的坐标满足椭圆方程，所以点 P 在椭圆上，不在椭圆内，故不存在这样的两点点评 本题是一道探究椭圆上是否存在关于已知直线对称的相异两点的存在性问题，既可用方程思想求解，也可用点差法解答，因为结论是不存在，所以解题的关键是找出矛盾，这个矛盾可以是线段MN的中点P在椭圆上，不在椭圆内.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1椭圆定义的集合语言：PM|MF1MF22a,2aF1F2往往是解决计算问题的关键，如果题
23、目的条件能转化为动点到两定点距离和为常数的问题可考虑利用椭圆定义，或涉及到椭圆上的点到焦点的距离，也可考虑椭圆定义基础诊断考点突破课堂总结2求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2ny21(m0，n0且mn)基础诊断考点突破课堂总结易错防范1在解关于离心率 e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根2注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2y2b21(ab0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点 P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.
