1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时数列求和学 习 目 标核 心 素 养1能由简单的递推公式求出数列的通项公式(重点)2掌握数列求和的基本方法(重点、难点)1通过求解数列的前n项和，培养数学运算素养2通过学习数列求和的方法，提升逻辑推理素养常见数列求和方法阅读教材P15P16例7以上及P26P27例5以上部分，完成下列问题(1)公式法等差数列的前n项和公式：Snn(a1an)na1n(n1)d等比数列前n项和公式：前n个正整数平方和：122232n2(2)分组求和法一个数列的每一项如果可以平分成两个或多个等差数列或等比数列，那么可以通过适当分组，进而利用等差、等比数列求和公式分别求和，从而
2、得到原数列的和(3)裂项相消法数列中的每一项可以平分成前后可以相互抵消的两项之差的求和方法(4)错位相减法由一个等差与一个等比数列对应项乘积构成的数列，可以利用错位相减法转化成等比数列求和思考：(1)已知数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn前n项和应用什么方法？提示分组求和法(2)已知an，求数列an的前n项和应用什么方法？提示裂项相消法11等于()A BC DB因为，所以原式112数列n2n的前n项和为()A(n1)2n12 Bn2n12C(n1)2n2 Dn2n2A设数列n2n的前n项和为Sn，则Sn12222323n2n，所以2Sn122223(n1)2nn2n1由得Snn
3、2n1(222232n)n2n1n2n12n123数列an的通项公式为an2nn，则其前n项和Sn_2n12n(n1)Sn2112222332nn(222232n)(123n)n(n1)2n12n(n1)4把裂为两项，以便求数列的和，则_分组求和法【例1】已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由得bnb1qn13n1，又a1b11，a14b434127，1(141)d27，解得d2ana1(n1)d1(n1)22n1(n1,2,3，)(
4、2)由(1)知an2n1，bn3n1，因此cnanbn2n13n1从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2分组转化求和法的应用条件和解题步骤(1)应用条件一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成(2)解题步骤1等差数列an中，a24，a4a715(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an2n，求b1b2b3b10的值解(1)设等差数列an的公差为d由已知得解得所以ana1(n1)dn2(2)由(1)可得bn2nn，所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)(2112)55211532
5、 101错位相减法求和【例2】已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x60的根(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解(1)方程x25x60的两根为2,3，由题意得a22，a43设数列an的公差为d，则a4a22d，故d，从而a1所以an的通项公式为ann1(2)设的前n项和为Sn，由(1)知，则SnSn，两式相减得Sn1，所以Sn2利用错位相减法的一般类型及思路(1)适用的数列类型：anbn，其中数列an是公差为d的等差数列，bn是公比为q1的等比数列.(2)思路：设Sna1b1a2b2anbn(*)，,则qSna1b2a2b3an1bnanbn1(*)，,(*)(*)得：
6、(1q)Sna1b1d(b2b3bn)anbn1，就转化为根据公式可求的和.提醒用错位相减法求和时容易出现以下两点错误：(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号.(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n1项和当作n项和.2已知an，求数列an的前n项和Sn解Sn，Sn，两式相减得Sn所以Sn裂项相消法求和探究问题1观察下列两组代数式，会发现什么特点？你能给出一般式吗？(1)与；(2)与提示，一般式：2观察下列两组代数式，你能发现它们之间的关系吗？你能用一个表达式表示其规律吗？(1)与；(2)与提示，表达式：【例3】设数列an满足a13a2(2n1)an2n(1)求an的通项公式
7、；(2)求数列的前n项和思路探究：(1)利用an满足的关系式，通过消项求得数列的通项公式；(2)观察数列的结构特征，利用裂项相消法求得数列的前n项和解(1)因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)，两式相减得(2n1)an2，所以an(n2)，又由题设可得a12，满足上式，所以an的通项公式为an(2)设的前n项和为Sn，由(1)知，则Sn111(变条件)把例3中数列an满足的条件“a13a2(2n1)an2n”换为“anan12an1an，a11”，试解答例3的(1)(2)题解(1)由anan12an1an得2，所以数列是以2为公差，以1为首项的等差
8、数列，故2(n1)2n1，所以an(2)设的前n项和为Sn，由(1)知，则Sn12(变结论)例3的条件不变，设bn，若数列bn的前n项和为Sn，Sn，求n的最小值解由例3的解析可知an，故2n1，bn()，所以Sn(1)(1)，由Sn得(1)，解得n，又nN，故n的最小值为450常见的裂项方法(其中n为正整数)(1)(2)(3)(4)()(5)logaloga(n1)logan(6)tan (n1)tan n提醒利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项
9、公式相等求数列的前n项和的几种方法(1)错位相减法适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和(2)分组求和法把一个数列分成几个可以直接求和的数列(3)裂项相消法把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和(4)奇偶并项法当数列通项中出现(1)n或(1)n1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论(5)倒序相加法例如，等差数列前n项和公式的推导方法1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前n项和时应用Sn较为合理()(2)当n2时，()(3)数列an是周期为k的周期数列，那么SkmmSk(m，k为大于1的正整数)答案(1)(2)(3)提示(1)正确；(2)不正确；(3)正确210029929829722212的值是()A5 000 B5 050C10 100 D20 200B原式(10099)(10099)(9897)(9897)(21)(21)10099989721100(1100)5 0503数列1，2，3，4，的前n项和为()A(n2n2)Bn(n1)1C(n2n2)Dn(n1)A设数列的前n项和为Sn，则Sn(123n)n(n1)n(n1)14求数列的前n项和解因为，所以数列的前n项和为- 11 - 版权所有高考资源网
