1、3.1 空间向量及其运算（习题课）学习目标 1. 熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题.学习过程 一、课前准备：（阅读课本p115）复习：1. 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模； 叫零向量，记着 ； 具有 叫单位向量.2. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.3.实数与向量a的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下： (1)|a| . (2)当0时，a与A. ；当0时，a与A. ；当0时，a .4. 向量加法和数乘向量运算律：交换律：a
2、b 结合律：(ab)c 数乘分配律：(ab) 5. 表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.空间向量共线定理：对空间任意两个向量（）， 的充要条件是存在唯一实数， 使得 ； 推论： l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是 6. 空间向量共面：共面向量： 同一平面的向量. 定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在 ， 使得 .推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是： 存在 ，使 对空间任意一点O，有 7. 向量的数量积： .8. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基
3、向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用i,j,k表示.9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着 .10. 设A，B，则 .11. 向量的直角坐标运算：设a，b，则ab ； ab ；a ； ab 动手试试1在下列命题中：若a、b共线，则a、b所在的直线平行；若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为pxaybzc其中正确
4、命题的个数为（ ）A0 B. 1 C. 2 D. 32在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、是（ ）A有相同起点的向量 B等长向量 C共面向量 D不共面向量3已知a（2，1，3），b（1，4，2），c（7，5，），若a、b、c三向量共面，则实数=（ ）A. B. C. D. 4若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件5已知ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（ ）A2 B3 C4 D56. 则（ ）A15 B5 C3 D1 典型例题例1 如图，空间
5、四边形OABC中，点M在OA上，且OM=2MA,点为的中点，则 . 变式：如图，平行六面体中，,点分别是的中点，点Q在上，且,用基底表示下列向量： ; ; ; .例2 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，,点是的中点，求证：. 变式：正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，点M是的中点，在直线上求一点N，使得学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1直三棱柱ABCA1B1C1中，若， 则（ ）A. B. C. D. 2.、（ ）A B 与不平行也不垂直C. ， D以上情况都可能.3. 已知+，|2，|3，|，则向量与之间的夹角为（ ）A30 B45 C60 D以上都不对4.已知且与互相垂直，则的值是（ ）A. .1 B. C. D. 5. 若A(m1，n1,3)， B. (2m,n,m2n)，C(m3,n3,9)三点共线，则m+n= 课后作业 1、已知三点,点在上运动（O为坐标原点）,求当取得最小值时,点的坐标.2、如图，在棱长为1的正方体中，点分别是的中点. 求证：； 求与所成角的余弦； 求的长.
