1、江苏省泰州中学2020届高三数学下学期第五次模拟考试试题（含解析）一、填空题1. 已知集合，则等于 【答案】【解析】试题分析：考点：集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2. 设是虚数单位，复数满足，则复数的虚部为_【答案】【解析】分析】利用复数的除法运算求得，由此求得的虚部.
2、【详解】依题意，所以的虚部为.故答案为：【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.3. 执行下图的程序框图，如果输入，则输出的值为 【答案】【解析】试题分析：由题意，考点：程序框图4. 函数y=的定义域是 .【答案】【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足，函数定义域为考点：函数定义域5. 若将甲、乙两个球随机放入编号为1，的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，号盒子中各有一个球的概率是 【答案】.【解析】试题分析：将甲、乙两个球随机放入编号为，的三个盒子中，共有种方法，其中在，号盒子中各有一个球有种方法，因此所求概率是考点：古典概型概率6. 若，满足不等式
3、组，则的最大值为_.【答案】3【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求得目标函数的最值.【详解】画出不等式组表示的平面区域如下图所示：目标函数，即与直线平行.数形结合可知，当且仅当目标函数过点时，取得最大值.故.故答案为：.【点睛】本题考查简单线性规划问题的处理，属基础题.7. 已知两条直线，两个平面，给出四个命题：若，则 若，则若，则 若，则其中正确命题的序号是_【答案】【解析】分析】根据直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断即可.【详解】对，由线面垂直的性质以及判定定理可知，正确；对，若，则异面或者平行，错误；对，由面面垂直的判定定理可知，正确；对，若，则可
4、能在内或与平行或与相交，错误；故答案为：【点睛】本题主要考查了判断直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.8. 等差数列的公差为2，是数列的前n项的和，若，则_【答案】10【解析】【分析】利用等差数列奇数项的和与偶数项的和的关系即可求解.【详解】等差数列的公差为2，则，解得.故答案为：10【点睛】本题考查了等差数列的奇数项的和与偶数项的和，掌握等差数列的性质是关键，属于基础题.9. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为_.【答案】【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，根据题意可以知道双曲线的右焦点坐标，结合双曲线标准方程中之间的关系求出的值，最后利用
5、双曲线的渐近线方程进行求解即可.【详解】因为抛物线的焦点坐标为，所以双曲线的右焦点也是，即，而，所以该双曲线的渐近线方程为.故答案为：【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程，考查了抛物线的焦点，考查了数学运算能力.10. 在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为_【答案】【解析】【分析】判断出点的轨迹，然后根据直线和圆的位置关系，求得到直线的距离的最大值.【详解】设直线与轴交于，直线与轴交于，.当时，直线为，直线为，所以两条直线的交点为.当时，两条直线的斜率分别为、，斜率乘积为，故，所以点的轨迹是以为直径的圆（除两点外）.设以为直径的圆的圆心为，半径，圆
6、的方程为.点满足圆的方程.综上所述，点点的轨迹是以为直径的圆（除两点外）.圆心到直线的距离为.所以点到直线的距离的最大值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线和直线的位置关系，考查直线和圆的位置关系，属于中档题.11. 已知点在内，且满足，设、的面积依次为、，则_【答案】 【解析】【详解】因为，所以，所以12. 已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围为_【答案】 【解析】分析】求出函数的解析式，分别画出函数与的图象，将函数有三个零点转化为函数与的图象的交点有三个求解即可【详解】与相切时 （正舍），与相切时 ， 与不相切.由图可知实数的取值范围为 .故答案为.【点睛】已知函数有零点求参数取
7、值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解13. 已知函数，若方程的解为，_【答案】【解析】【分析】根据，可得，所以，再根据角的范围和同角公式可得结果.【详解】依题意可知，因为，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了同角公式和诱导公式，属于基础题.14. 已知，是函数，的两个极值点，若，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】先由题得
8、所以，.化简得=，再构造函数，利用导数求函数的值域即得解.【详解】由题得函数的定义域为，所以是方程的两个实数根，所以，因为，所以，所以.所以=记，所以由，所以在单调递减，又由洛必达法则得当时，即，所以函数g(x)的值域为.即的取值范围为.故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和取值范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、解答题15. 的内角，所对的边分别为，.已知.（1）求的大小；（2）若在边上，的面积为，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后利用两角和的正弦公式、诱导公式进行恒等变换，由此求得的值，进而求得的大小.（2
9、）利用三角形的面积求得，由余弦定理求得，利用勾股定理证得，由此求得进而求得的值.【详解】（1）因为，所以，所以，即，因为在中，所以，且，所以，因为，所以.（2）因为，所以，因为的面积为，所以，解得，由余弦定理得，所以，即，所以，所以.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查运算求解能力，考查数形结合、函数与方程、化归与转化等数学思想.16. 如图，在四棱锥PABCD中，M是PA上的点，为正三角形，（1）求证：平面平面PAC；（2）若，平面BPC，求证：点M为线段PA的中点【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】分析】（1）取BD的中点O，连结OA，
10、OC，可证，又由，可得平面PAC，即可得证；（2）取AB的中点N，连结MN和DN，首先可得，所以，即可得到平面BPC又由平面BPC，可得平面平面BPC根据面面平行的性质可得，即可得证；【详解】（1）取BD中点O，连结OA，OC，为正三角形，在平面内，过O点垂直于BD的直线有且只有一条，A，O，C三点共线，即，AC，平面PAC，平面PAC平面MBD，平面平面PAC（2）取AB的中点N，连结MN和DN，因为，且，所以所以，即为正三角形，又DN，BC，AB共面，平面BPC，平面BPC，平面BPC平面BPC，DN，平面DMN，平面平面BPC平面DMN，平面BPC平面PAB，平面平面BPC=PB，N是A
11、B的中点，M为线段PA的中点【点睛】本题考查面面垂直的证明，线面平行以及面面平行的性质定理及判定定理的应用，属于中档题.17. 已知椭圆的离心率为，焦距为斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，（1）求椭圆的方程；（2）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为若，和点共线，求【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据离心率和焦距求得，由此求得，进而求得椭圆的标准方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出根与系数关系，进而求得点的坐标，同理求得点坐标.求得、，结合三点共线列方程，化简求得的值.【详解】（1）由题意得，所以，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为（2
12、）设，则，又，所以可设，直线的方程为，由消去可得：，则，即，又，代入式可得，所以，所以，同理可得故，因为三点共线，所以，将点的坐标代入化简可得，即【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于难题.18. 某市开发了一块等腰梯形的菜花风景区（如图）经测量，长为百米，长为百米，与相距百米，田地内有一条笔直的小路（在上，在上）与平行且相距百米现准备从风景区入口处出发再修一条笔直的小路与交于，在小路与的交点处拟建一座瞭望塔（1）若瞭望塔恰好建在小路的中点处，求小路的长；（2）两条小路与将菜花风景区划分为四个区域，若将图中阴影部分规划为观赏区求观赏区面积的最小值
13、【答案】（1）百米；（2）（）平方百米【解析】【分析】（1）过点P、N、C分别做AB的垂线，垂足分别为Q、M、G，在直角三角形AMN中，结合勾股定理，即可求解；（2）以直线CD所在直线为轴，边CD的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，得出面积，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）过点P、N、C分别做AB的垂线，垂足分别为Q、M、G，因为P是AN的中点，所以，由已知条件易知是等腰直角三角形，所以，所以，在直角三角形AMN中，由勾股定理得，答：小路AN的长为百米；（2）以直线CD所在直线为轴，边CD的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，则直线，联立直线，得，所以的高为，
14、所以，令，则，所以当即时，S的最小值为答：观赏区面积的最小值为（）平方百米【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，以及基本不等式的应用问题，其中解答中认真审题，建立适当的直角坐标系，求得面积的表达式，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.19. 已知函数，（，是自然对数的底数）（1）讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求得，然后对分成和两种情况进行分类讨论，由此求得的单调区间.（2）首先令，代入，求得的一个取值范围.构造函数，利用的导函数研究的最小值，由此求得的取值范围.【详解】（1），当时，函数在
15、上递减；当时，由，解得，故函数在上单调递减，由，解得，故函数在上单调递增综上所述，当时，在上递减；当时，在上递减，在上递增.（2）当时，即，故，令，则，若，则当时，函数在上单调递增，当时，当时，单调递增，则，符合题意；若，则，由得，故，存在，使得，且当时，在上单调递减，当时，不合题意，综上，实数的取值范围为【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.20. 已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，且满足，（1）求数列，的通项公式；（2）令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有；（3）若数列满足，记，是否存在
16、整数，使得对任意的 都有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）存在整数，使得对任意的都有成立，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用等差等比数列的基本量表示已知条件，解方程组得到基本量，利用等差等比数列的通项公式得到答案；（2）根据（1）的结论得到数列的通项公式，利用指数的运算裂项，相消求和后得到的表达式，判定单调性，然后利用不等式的基本性质即可证明；（3）假设存在满足要求的整数，取得到的范围，进而求得的值为，然后证明当时，对任意的，都有成立为此先要根据，利用等比数列的求和公式，求得，结合，求得，然后利用作差法证明即可.【详解】（1）设等差数列的公
17、差为d，等比数列的公比为，则，所以，因为，所以所以，解得所以，（2）因为所以又因为对任意的，都有单调递增，即，所以对任意的，都有成立；（3）假设存在满足要求的整数，令，则，解得；令，则，解得；令，则，解得；所以，又已知，故若存在，则下证：当时，对任意的，都有成立；即又；所以则而对任意的，单调递增，所以即对任意的都有成立，得证.所以，存在整数，使得对任意的都有成立【点睛】本题考查等差比数列得综合问题，涉及等差等比数列的通项公式，求和公式，裂项求和法，存在性问题和探索性方法，考查不等式的证明，属难题.20192020学年江苏省泰州中学高三年级第五次模拟考试数学第II卷21. 已知矩阵，列向量.（1
18、）求矩阵；（2）若，求，的值.【答案】（1）；（2），【解析】试题分析：（1）根据矩阵乘法得矩阵；（2）根据逆矩阵性质得，再根据矩阵乘法得结果.试题解析：（1）；（2）由，解得 ，又因为，所以，.22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为，直线的极坐标方程为（1）求直线的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线的距离的最大值【答案】（1）,；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用极坐标方程、参数方程和普通方程互化的公式求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通
19、方程；（2）设N（，sin），0，2）先求出点P到直线l的距离再求最大值.【详解】（1）因为直线l的极坐标方程为，即sincos40由xcos，ysin，可得直线l的直角坐标方程为xy40将曲线C的参数方程消去参数a，得曲线C的普通方程为（2）设N（，sin），0，2）点M的极坐标（，），化为直角坐标为（2，2）则所以点P到直线l的距离，所以当时，点M到直线l的距离的最大值为【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角函数的图像和性质，考查点到直线的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23. 在一次运动会上，某单位派出了由6名主力队员和5
20、名替补队员组成的代表队参加比赛.（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为，求随机变量的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场，那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）由题可知服从超几何分布，求得的取值，根据概率公式求得对应概率，即可求得其数学期望；（2）根据题意，将问题根据主力分别有人上场进行分类，即可容易求得.【详解】（1）由题可知服从超几何分布，的可取值为，故可得；.故.（2）要满足题意，则可以是3名主力2
21、名替补；4名主力1名替补；5名主力.若是3名主力2名替补，则共有种；若是4名主力1名替补，则共有种；若是5名主力，则共有种；故要满足题意，共有种出场方式.【点睛】本题考查超几何分布的数学期望的求解，以及组合问题的分类分布求解，属综合中档题.24. （1）已知：及，（，求；（结果用，表示）（2）已知，猜想的表达式并用数学归纳法证明你的结论【答案】（1）或，；（2）猜想，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据组合数的性质以及组合数公式证明即可；（2）根据，的值猜想出，再由数学归纳法证明即可.【详解】（1），可得或；解得；（2），猜想下面用数学归纳法证明：时，猜想成立；假设时猜想成立即则时，由及得又则即则，则猜想成立由知【点睛】本题主要考查了组合公式以及性质的应用，利用数学归纳法证明恒等式，属于中档题.
