1、江苏省泰州中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.若将6本不同的书放到5个不同的盒子里，有多少种不同的放法（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将6本不同的书放到5个不同的盒子里，每本书都有5种放法，然后由乘法原理可得答案.【详解】将6本不同的书放到5个不同的盒子里，每本书都有5种放法，根据乘法原理可得不同放法为种.故选：C【点睛】本题考查的是分步乘法计数原理，较简单.2.等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用组合数公式的性
2、质即可.【详解】由组合数公式的性质可得：.故选：B.【点睛】本题考查组合及组合数公式的性质，组合数公式：，属于基础题.3.已知是虚数单位，复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ，所以复数的虚部为 ，故选B.4.已知随机变量服从正态分布，且，等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：画正态曲线图，由对称性得图象关于对称，且，结合题意得到的值.详解：随机变量服从正态分布，曲线关于对称，且，由，可知，故选B.点睛：本题主要考查正态分布，正态曲线有两个特点，（1）正态曲线对称；（2）在正态曲线下方和轴上方范围内的区域面积为.5.我国古代有着辉煌的数学研究成果
3、周牌算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、缉古算经等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这l0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件，可以求,运用公式，求出.【详解】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件，所以，因此,故本题选A.【点睛】本题考查了求对立事件的概率问题，考查了运算能力.6.甲乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7若
4、两人各投2次，则两人投中次数相等的概率为（ ）A 0.2484B. 0.25C. 0.90D. 0.3924【答案】D【解析】【分析】根据题意，两人投中次数相等：两人两次都未投中，两人各投中一次，和两人两次都投中，进而根据相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得到答案【详解】由题意，甲、乙两人投篮，投中的概率分别为，则甲、乙两人各投次：两人两次都未投中的概率：；两人各投中一次的概率：；两人两次都投中的概率：.所以，两人投中次数相等的概率为：.故选：D.【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题.7.若，则为（ ）A. 251B. 250
5、C. 252D. 249【答案】A【解析】【分析】根据题意，是展开式中的系数，因此将等式左边变形为关于的二项式，再求的系数.【详解】由题意，又，因为，即.故选：A.【点睛】本题考查了二项式定理中展开式的系数，关键是将已知等价变形，得到关于的二项式，属于基础题.8.已知，随机变量的分布列如下：当增大时，则（ ）A. 增加，增加B. 增加，减小C. 减小，增加D. 减小，减小【答案】C【解析】【分析】由，得到a的范围，再分别求得期望和方差，然后利用一次函数和二次函数的性质求解.【详解】由，解得，由一次函数的性质得：当增大时，则减少，由二次函数的性质得：当增大时，增加，故选：C【点睛】本题主要考查离
6、散型随机变量的期望与方差，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每题所给的选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的不得分）9.已知为虚数单位，则关于复数的说法正确的是（ ）A. B. 对应复平面内的点在第三象限C. 的虚部为D. 【答案】AD【解析】【分析】根据，利用复数的乘除运算得到，再逐项验证.【详解】因为，所以，所以， ，z的虚部为-1，z所对应的点为（0,-1），在坐标轴上，故选：AD【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10.对于二项式，以下判断正确的有（ ）A. 存在，
7、展开式中有常数项；B. 对任意，展开式中没有常数项；C. 对任意，展开式中没有的一次项；D. 存在，展开式中有的一次项.【答案】AD【解析】【分析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案【详解】设二项式展开式的通项公式为，则，不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确故答案选AD【点睛】本题考查二项式定理，关键在于合理利用通项公式进行综合分析，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题11.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，表示由甲箱
8、中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. 事件与事件相互独立D. 、两两互斥【答案】BD【解析】【分析】根据每次取一球，易得，是两两互斥的事件，求得，然后由条件概率求得，再逐项判断.【详解】因为每次取一球，所以，是两两互斥的事件，故D正确；因为，所以，故B正确；同理，所以，故AC错误；故选：BD【点睛】本题主要考查互斥事件，相互独立事件，条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生
9、喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人附表：附：A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】设男生人数为，列出列联表，计算出的观测值，结合题中条件可得出关于的不等式，解出的取值范围，即可得出男生人数的可能值.【详解】设男生的人数为，根据题意列出列联表如下表所示：男生女生合计喜欢抖音不喜欢抖音合计则，由于有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则，即，得，则的可能取值有、，因此，调查人数中男生人数的可能值为或.故选：BC.【点睛】本题考查利用独立性检验求出人数的可能取值，解题时要列举出列联表，并结合临界值表
10、列不等式求解，考查计算能力，属于中等题.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，第16题第一空2分，第二空3分）13.设，则_【答案】2【解析】【分析】根据复数的四则运算得出，再求即可.【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及求复数的模，属于中档题.14.被除所得的余数是_【答案】1【解析】【分析】变形，利用二项式定理展开即可求出被除所得的余数.【详解】因为，所以转化为求被除所得的余数，因为，所以被除所得的余数是1，故答案为：1【点睛】本题主要考查了利用二项式定理研究整除问题，考查了推理运算能力，属于中档题.15.利用组合数的性质进行计算（结果保留数字的形式）：（1
11、）_；（2）_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）逆用二项展开式公式即可求解；（2）由组合数的性质即可求解.【详解】（1）由二项展开式知，（2）由组合数的性质可知，.【点睛】本题主要考查了二项展开式公式的逆用，组合数的性质，考查了计算推理能力，属于中档题.16.已知的展开式中，二项式系数的和为，则它的二项展开式中，系数最大的是第_项【答案】5【解析】【分析】根据二项式系数和求出n的值，确定二项展开式的系数最大项在奇数项，建立不等式求解即可.【详解】由题意知，解得,由的展开式通项公式知二项展开式的系数最大项在奇数项，设二项展开式中第项的系数最大，则，解得，故其展开式中系数最大的项
12、第5项.故答案为: 5【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，涉及二项展开式中二项式系数和与系数和问题，容易出错.要正确区分这两个概念.四、解答题（本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余12分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上（1）求复数；（2）若为纯虚数， 求实数的值【答案】（1）.（2）.【解析】【详解】（1）设， 由题意：.，得联立，解得得. （2）所以且， 解得.18.从5名男生和4名女生中选出4人参加辩论比赛（1）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种不同选法？（2）如
13、果4个人中既有男生又有女生，那么有多少种不同选法？【答案】（1）91种；（2）120种【解析】【分析】（1）用间接法分析，先计算在9人中任选4人的选法数，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数，即可得答案；（2）用间接法分析，先计算在9人中任选4人的选法数，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数，即可得答案.【详解】（1）先在9人中任选4人，有种选法, 其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有种, 则甲与女姓中的乙至少要有1人在内的选法有种.（2）先在9人中任选4人，有种选法，其中只有男生的选法有种，只有女生的选法有种，则4人中必须既有男生又有女生的选法有种.【点睛】本题主要考查
14、了组合的应用，间接法，逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.19.设，求：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）取和，代入计算，两式相加得到答案.（2）根据（1）中结论直接得到答案.（3）利用二项式定理的通项，考虑系数的正负，计算得到答案.【详解】（1）取得到，取得到，两式相加得到.（2）根据（1）知：.（3）展开式通项为：，故当为偶数时，对应系数为正；当为奇数时，对应系数为负，故.【点睛】本题考查了赋值法求系数和，二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.20.从2016年到2019年的某城市方便面销量情况如图所示：年份2016201720182
15、019时间代号1234年销量（万包）462444404385（1）根据上表，求关于的线性回归方程用所求回归方程预测2020年（）方便面在该城市的年销量；（2）某媒体记者随机对身边的10位朋友做了一次调查，其中3位受访者认为方便面是健康食品现从这10人中抽取3人进行深度访谈，记表示随机抽取的3人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量的分布列及数学期望参考公式：回归方程：，其中，参考数据：【答案】（1），356万包；（2）分布列详见解析，【解析】【分析】（1）直接利用回归方程公式计算得到答案.（2）的可能值为0，1，2，3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】（1），所以.当时，.
16、 （2）依题意，10人中认为方便面是健康食品的有3人，的可能值为0，1，2，3，所以； ；，故分布列为：.【点睛】本题考查了回归方程，分布列，数学期望，意在考查学生计算能力和应用能力.21.某社区名居民参加年国庆活动，他们年龄在岁至岁之间，将年龄按、分组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求的值，并求该社区参加年国庆活动的居民的平均年龄（每个分组取中间值作代表）；（2）现从年龄在、的人员中按分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈，用表示参与座谈的居民的年龄在的人数，求的分布列和数学期望；（3）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地岁至岁之间的市民中抽取名进行调查，其中有名
17、市民的年龄在的概率为，当最大时，求的值.【答案】（1），平均年龄；（2）分布列见解析，；（3）.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形面积之和为，求出的值，再将所有矩形底边中点值乘以矩形面积，再将所得的数相加即可得出该社区年国庆活动的居民的平均年龄；（2）先根据分层抽样得知，所抽取的人中，年龄在的抽取人、年龄在的抽取人，可得出随机变量的可能取值为、，并利用古典概型的概率公式计算出随机变量分别取、时的概率，列出随机变量的分布列，并利用数学期望公式计算出随机变量的数学期望；（3）设年龄在的人数为，可知，利用独立重复试验的概率公式得出，分析出数列的单调性，可求出的最大值及对应的的值.【详解
18、】（1）由频率分布直方图知，解得，所以该社区参加年国庆活动的居民的平均年龄为；（2）年龄在的人数为，年龄在的人数为.根据分层抽样，可知年龄在的抽取人、年龄在的抽取人.所以的可能取值为0，1，2，且，所以的分布列为所以；（3）由题可知年龄在内的频率为.设年龄在的人数为，所以.设，由得，此时；由得，此时.所以当时，最大.【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数的计算、同时也考查了超几何分布列与二项分布的应用，在解题时要弄清随机变量所服从的概率分布类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.22.袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把
19、它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中重复上述过程次后，袋中白球的个数记为（1）求随机变量的概率分布及数学期望；（2）求随机变量的数学期望关于的表达式【答案】（1）概率分布详见解析，；（2）【解析】【分析】（1）的可能取值为3，4，5，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.（2）设，则，计算概率得到数学期望，整理化简得到，根据数列知识得到答案.【详解】（1）由题意可知3，4，5当时，即二次摸球均摸到白球，其概率是；当时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是；当时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是，所以随机变量的概率分布如下表：数学期望. （2）设，0，1，2，3，4，5则， ， 由此可知，又，故是首项为，公比为的等比数列，即.【点睛】本题考查了分布列，数学期望，根据递推公式求通项公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，确定是解题的关键.
