1、第22讲与圆有关的位置关系1点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)： (1)点P在圆上dr； (2)点P在圆内dr 2直线和圆的位置关系 (1)设r是O的半径，d是圆心O到直线l的距离直线和圆的位置关系图形公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系公共点名称直线名称相交2dr交点割线相切1dr切点切线相离0dr 无无(2)切线的性质：切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 (3)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(4)切线长：经过圆外一点作圆的一条切
2、线；这一点与切点之间的线段长度叫做点到圆的切线长切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角3三角形的外接圆和内切圆名称图形内、外心性质三角形的外接圆三边垂直平分线的交点称为三角形的外心三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等三角形的内切圆三条角平分线的交点称为三角形的内心三角形的内心到三角形三条边的距离相等考点1：圆的切线的判定与性质【例题1】如图，AB是O的直径，且长为10，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP的中点，延长CO交O于点D，连接AD，过点D作O的切线交PB的延长线于点E，连CE.(1)若ADC30，求的
3、长；(2)求证：DACECP；(3)在点P运动过程中，若tanDCE，求AD的长【点拨】(1)利用同弧所对圆周角与圆心角之间的关系，可求得DOB60，利用弧长公式求的长；(2)先证得四边形DCPE是矩形，从而证明DACECP；(3)可以利用tanDCE在RtDAC中获得三边的数量关系，在RtAOC中建立方程求解【解答】解：(1)ADC30，OAOD，OAD30.DOB60.l.(2)证明：连接OP.AOOP，点C是AP的中点，DCP90.DE是O的切线，CDE90.AB是O的直径，APB90.四边形DCPE是矩形DCEP.又ACCP，ACDCPE90，DACECP(SAS)(3)由(2)知，四
4、边形DCPE是矩形，DACECP，ADCCEPDCE.tanDCE，tanADC.设ACx，则DC2x，ADx.在RtAOC中，OC2x5，AO2AC2OC2，52x2(2x5)2，解得x10(舍去)，x24.AD4.归纳：1.切线的判定：在判定直线与圆相切时，若直线与圆的公共点已知，证明方法是“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点未知，证明方法是“作垂线，证半径”这两种情况可概括为一句话：“有交点，连半径，无交点，作垂线” 2求线段长度时通常在构造的直角三角形中(注意直径所对的圆周角也可得直角三角形)利用三角函数或勾股定理求解，有时也需根据圆中相等的角得到相似三角形，根据相似三角形对应边成比
5、例建立等式进行求解考点2：圆的切线综合应用【例题2】（甘肃兰州，27，10分）如图，三角形ABC是O的内接三角形，AB是O的直径，ODAB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且DE=DC（1）求证：CF是O的切线； （2）若O的半径为5，BC=，求DE的长 【提示】（1）第一步：连接OC，易知A=OCA，由ODAB证得AAEO=90；第二步：根据“等边对等角”有DEC=DCE，代换得OCE+DCE=90，从而证得结论；（2）第一步：作DHEC，根据“等角的余角相等”可得EDH=A，EDC中根据三线合一得EH =HC=EC，于是AB=10，由勾股定理可得AC=；第三步：由AEOABC得，代入数据
6、求得AE，进一步求出EC、EH；第四步：由等角的正弦相等得sinA= sinEDH，从而，进而求得DE的长【解答】解：（1）证明：连接OC，则A=OCA， ODAB，AOE=90，AAEO=90， DE =DC，DEC=DCE，AEO=DEC， AEO= DCE，OCE+DCE=90，CF是O的切线 （2）作DHEC，则EDH=A，DE =DC， EH =HC=EC， O的半径为5，BC= AB=10，AC=，AEOABC，AE=，EC=AC-AE=，EH=EC=， EDH=A，sinA= sinEDH，即，DE=归纳：当C与AB相切时，只有一个交点，同时要注意AB是线段，当圆的半径R在一定范
7、围内时，斜边AB与C相交且只有一个公共点考点3：圆与其它知识的综合应用 【例题3】【例1】如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F.(1)求证：CF是O的切线；(2)若ED3，cosF，求O的半径【分析】(1)要判断CF是切线，根据切线的判定“有切点，连半径”，连接CB、OC，根据圆周角定理得ACB90，即BCD90，则根据直角三角形斜边上的中线性质得CEBE，所以BCECBE，根据角之间的等量代换证得OCE90，进而证得CF是切线；(2)由题意得CEBEDE3，在RtBFE中，利用cosF和tanF可计算出BF，再利用勾
8、股定理可得EF，由CFCEEF得CF，最后在RtOCF中，利用正切函数可计算出OC.【解析】(1)证明：如图，连接CB、OC，BD为O的切线，DBAB，ABD90，AB是直径，ACB90，BCD90，E为BD的中点，CEBE，BCECBE，而OCBOBC，OBCCBEOCBBCE90，OCCF，CF是O的切线； (2)解：CEBEDE3，在RtBFE中，cosF，tanF，BF4，EF5，CFCEEF8，在RtOCF中，tanF，OC6.即O的半径为6一、选择题：1. 矩形ABCD中，AB8，BC3，点P在边AB上，且BP3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是()
9、A点B，C均在圆P外B点B在圆P外、点C在圆P内C点B在圆P内、点C在圆P外D点B，C均在圆P内【答案】C【解析】：画出矩形后求解出DP的长度即圆的半径，然后求出BP，CP的长度与DP的长度作比较就可以发现答案在RtADP中，DP7，在RtBCP中，BP6，PC9.PCDP，BPDP，点B在圆P内，点C在圆P外答案：C2. 在ABC中，C90，AC3 cm，BC4 cm，若A，B的半径分别为1 cm,4 cm，则A，B的位置关系是()A外切 B内切 C相交 D外离【答案】A【解析】：如图所示，由勾股定理可得AB5(cm)，A，B的半径分别为1 cm,4 cm，圆心距dRr，A，B的位置关系是外
10、切答案：A3. （2018重庆市B卷）（4.00分）如图，ABC中，A=30，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，O恰好与AC相切于点D，连接BD若BD平分ABC，AD=2，则线段CD的长是（）A2 B C D【答案】B【解答】解：连接ODOD是O的半径，AC是O的切线，点D是切点，ODAC在RtAOD中，A=30，AD=2，OD=OB=2，AO=4，ODB=OBD，又BD平分ABC，OBD=CBDODB=CBDODCB，即CD=故选：B4. （2019黑龙江哈尔滨3分）如图，PA.PB分别与O相切于A.B两点，点C为O上一点，连接AC.BC，若P50，则ACB的度数为（）A6
11、0B75C70D65【答案】D【解答】解：连接OA.OB，PA.PB分别与O相切于A.B两点，OAPA，OBPB，OAPOBP90，AOB180P18050130，ACBAOB13065故选：D5. (2019湖北仙桃)（3分）如图，AB为O的直径，BC为O的切线，弦ADOC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD下列结论：CD是O的切线；CODB；EDAEBD；EDBCBOBE其中正确结论的个数有（）A4个B3个C2个D1个【答案】A【解答】解：连结DOAB为O的直径，BC为O的切线，CBO90，ADOC，DAOCOB，ADOCOD又OAOD，DAOADO，CODCOB在COD和COB中，C
12、ODCOB（SAS），CDOCBO90又点D在O上，CD是O的切线；故正确，CODCOB，CDCB，ODOB，CO垂直平分DB，即CODB，故正确；AB为O的直径，DC为O的切线，EDOADB90，EDA+ADOBDO+ADO90，ADEBDO，ODOB，ODBOBD，EDADBE，EE，EDAEBD，故正确；EDOEBC90，EE，EODECB，ODOB，EDBCBOBE，故正确；故选：A二、填空题：6. （2019江苏苏州3分）如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为 .【答案】【解答】切线性质得到7. （2018山东泰安3分）如图，M的半径为2，圆心M的
13、坐标为（3，4），点P是M上的任意一点，PAPB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 .【答案】6【解答】解：PAPB，APB=90，AO=BO，AB=2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交M于点P，当点P位于P位置时，OP取得最小值，过点M作MQx轴于点Q，则OQ=3、MQ=4，OM=5，又MP=2，OP=3，AB=2OP=6，8. （2018山东威海3分）如图，在扇形CAB中，CDAB，垂足为D，E是ACD的内切圆，连接AE，BE，则AEB的度数为【答案】135【解答】解：如图，连接ECE是ADC的内心，AEC=90+
14、ADC=135，在AEC和AEB中，EACEAB，AEB=AEC=135，故答案为1359. （2018年江苏省泰州市3分）如图，ABC中，ACB=90，sinA=，AC=12，将ABC绕点C顺时针旋转90得到ABC，P为线段AB上的动点，以点P为圆心，PA长为半径作P，当P与ABC的边相切时，P的半径为【答案】或【解答】解：如图1中，当P与直线AC相切于点Q时，连接PQ设PQ=PA=r，PQCA，=，=，r=如图2中，当P与AB相切于点T时，易证A、B、T共线，ABTABC，=，=，AT=，r=AT=综上所述，P的半径为或三、解答题：10. 在RtABC中，C90，AC3，BC4，若以C为圆
15、心，R为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，求R的值解：当O与AB相切时，AB5，SABCABCDACBC，CD；如图，当C与斜边AB相交时，点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时ACRBC，即3R4.故答案为：3R4或R11. 如图，AB是O的直径，BAC60，P是OB上一点，过点P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于点D，连接OC.(1)求证：CDQ是等腰三角形；(2)如果CDQCOB，求BPPO的值【解析】：(1)证明：AB是O的直径，ACB90.PQAB，APQ90.又BAC60，OAOC，OAC是等边三角形，ABCQ30.ACO60.DCQ180906030.D
16、CQQ.CDQ是等腰三角形(2)设O的半径为x，则AB2x，ACx，BCx.CDQCOB，CQBCx.AQACCQ(1)x.APAQx.BPABAPx，POAPAOx.BPPO.12. (2018扬州)如图，在ABC中，ABAC，AOBC于点O，OEAB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F.(1)求证：AC是O的切线；(2)若点F是OA的中点，OE3，求图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，点P是BC边上的动点，当PEPF取最小值时，直接写出BP的长【解析】：(1)证明：作OHAC于点H.ABAC，AOBC，AO平分BAC.又OEAB，OHAC，OHOE，即OH为O的半径
17、AC是O的切线(2)点F是OA的中点，OA2OF2OE6.又OE3，OAE30，AOE60.AE3.S阴影SAOES扇形EOF33.(3)作F点关于BC的对称点F，连接EF交BC于点P，此时PEPF最小OFOFOE，FOEF.AOEFOEF60，F30.FEAF.EFEA3，即PEPF最小值为3.在RtOPF中，OPtan30OF，在RtABO中，OBtan30OA2，BP2.13. (2018聊城)如图，在RtABC中，C90，BE平分ABC交AC于点E，作EDEB交AB于点D，O是BED的外接圆(1)求证：AC是O的切线；(2)已知O的半径为2.5，BE4，求BC，AD的长【点拨】(1)证
18、AC是O的切线，可转化为证OEAC；(2)求BC，AD的长可通过证明BDEBEC和AOEABC.【解答】解：(1)证明：连接OE.OBOE，OBEOEB.BE平分ABC，OBECBE.OEBCBE.OEBC.又C90，AEO90，即OEAC.又OE是O的半径，AC为O的切线(2)EDBE，BEDC90.又DBEEBC，BDEBEC.，即.BC.AEOC90，AA，AOEABC.，即.AD.14. （2019四川省凉山州8分）如图，点D是以AB为直径的O上一点，过点B作O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F（1）求证：DF是O的切线；（2）若OBBF
19、，EF4，求AD的长【分析】（1）连接OD，由AB为O的直径得BDC90，根据BEEC知13、由ODOB知24，根据BC是O的切线得3+490，即1+290，得证；（2）根据直角三角形的性质得到F30，BEEF2，求得DEBE2，得到DF6，根据三角形的内角和得到ODOA，求得AADOBOD30，根据等腰三角形的性质即可得到结论【解答】解：（1）如图，连接OD，BD，AB为O的直径，ADBBDC90，在RtBDC中，BEEC，DEECBE，13，BC是O的切线，3+490，1+490，又24，1+290，DF为O的切线；（2）OBBF，OF2OD，F30，FBE90，BEEF2，DEBE2，D
20、F6，F30，ODF90，FOD60，ODOA，AADOBOD30，AF，ADDF615. （2019湖北省鄂州市）（10分）如图，PA是O的切线，切点为A，AC是O的直径，连接OP交O于E过A点作ABPO于点D，交O于B，连接BC，PB（1）求证：PB是O的切线；（2）求证：E为PAB的内心；（3）若cosPAB，BC1，求PO的长【分析】（1）连结OB，根据圆周角定理得到ABC90，证明AOPBOP，得到OBPOAP，根据切线的判定定理证明；（2）连结AE，根据切线的性质定理得到PAE+OAE90，证明EA平分PAD，根据三角形的内心的概念证明即可；（3）根据余弦的定义求出OA，证明PAO
21、ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可【解答】（1）证明：连结OB，AC为O的直径，ABC90，ABPO，POBCAOPC，POBOBC，OBOC，OBCC，AOPPOB，在AOP和BOP中，AOPBOP（SAS），OBPOAP，PA为O的切线，OAP90，OBP90，PB是O的切线；（2）证明：连结AE，PA为O的切线，PAE+OAE90，ADED，EAD+AED90，OEOA，OAEAED，PAEDAE，即EA平分PAD，PA、PD为O的切线，PD平分APBE为PAB的内心；（3）解：PAB+BAC90，C+BAC90，PABC，cosCcosPAB，在RtABC中，cosC，AC，AO，PAOABC，PO5
