1、第七节函数的图像 考纲传真会运用函数的图像理解和研究函数的性质1利用描点法作函数的图像方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等);(4)描点连线2利用图像变换法作函数的图像(1)平移变换(2)对称变换yf (x)的图像yf (x)的图像;yf (x)的图像yf (x)的图像;yf (x)的图像yf (x)的图像;yax(a0且a1)的图像ylogax(a0且a1)的图像(3)伸缩变换yf (x)的图像yf (ax)的图像;yf (x)的图像yaf (x)的图像(4)翻转变换yf (x)的图像y|f (x)|的图像;yf (x
2、)的图像yf (|x|)的图像1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)函数yf (1x)的图像,可由yf (x)的图像向左平移1个单位得到()(2)函数yf (x)的图像关于y轴对称即函数yf (x)与yf (x)的图像关于y轴对称()(3)当x(0,)时,函数yf (|x|)的图像与y|f (x)|的图像相同()(4)若函数yf (x)满足f (1x)f (1x),则函数f (x)的图像关于直线x1对称()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步,乙先跑步到中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地已
3、知甲骑车比乙骑车的速度快,且两人骑车速度均大于跑步速度现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图像表示,则下列给出的四个函数图像中,甲、乙的图像应该是()图271A甲是图,乙是图B甲是图,乙是图C甲是图,乙是图 D甲是图,乙是图B设甲骑车速度为V甲骑,甲跑步速度为V甲跑,乙骑车速度为V乙骑,乙跑步速度为V乙跑,依题意V甲骑V乙骑V乙跑V甲跑,故选B.3函数f (x)的图像向右平移1个单位长度,所得图像与曲线yex关于y轴对称,则f (x)()Aex1 Bex1Cex1 Dex1D依题意,与曲线yex关于y轴对称的曲线是yex,于是f (x)相当于yex向左平移1个单位的结果,f (x)
4、e(x1)ex1.4(2016浙江高考)函数ysinx2的图像是()Dysin(x)2sinx2,函数为偶函数,可排除A项和C项;当x时,sinx2sin1,排除B项,故选D.5若关于x的方程|x|ax只有一个解,则实数a的取值范围是_.【导学号:66482067】(0,)在同一个坐标系中画出函数y|x|与yax的图像,如图所示由图像知当a0时,方程|x|ax只有一个解作函数的图像作出下列函数的图像:(1)y|x|;(2)y|log2(x1)|;(3)y;(4)yx22|x|1.解(1)先作出yx的图像,保留yx图像中x0的部分,再作出yx的图像中x0部分关于y轴的对称部分,即得y|x|的图像
5、,如图实线部分. 3分(2)将函数ylog2x的图像向左平移一个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y|log2(x1)|的图像,如图. 6分(3)y2,故函数图像可由y图像向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图. 9分(4)y且函数为偶函数,先用描点法作出0,)上的图像,再根据对称性作出(,0)上的图像,得图像如图. 12分规律方法画函数图像的一般方法(1)直接法当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征直接作出;(2)图像变换法若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到,可利用图像变换作出易错警示:注意平移变换与伸缩变换
6、的顺序对变换单位及解析式的影响变式训练1分别画出下列函数的图像:(1)y|lg x|;(2)ysin|x|.解(1)y|lg x|函数y|lg x|的图像,如图. 6分(2)当x0时,ysin|x|与ysinx的图像完全相同,又ysin|x|为偶函数,图像关于y轴对称,其图像如图. 12分识图与辨图(1)(2016全国卷)函数y2x2e|x|在2,2的图像大致为() (2)(2015全国卷)如图272,长方形ABCD的边AB2,BC1,O是AB的中点点P沿着边BC,CD与DA运动,记BOPx.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f (x),则yf (x)的图像大致为()图272【导学号:
7、66482068】ABC D(1)D(2)B(1)f (x)2x2e|x|,x2,2是偶函数,又f (2)8e2(0,1),故排除A,B.设g(x)2x2ex,则g(x)4xex.又g(0)0,g(2)0,g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点,f (x)2x2e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点,排除C.故选D.(2)当点P沿着边BC运动,即0x时,在RtPOB中,|PB|OB|tanPOBtanx,在RtPAB中,|PA|,则f (x)|PA|PB|tanx,它不是关于x的一次函数,图像不是线段,故排除A和C;当点P与点C重合,即x时,由上得f tan1,又当点P与边CD的中点重合,
8、即x时,PAO与PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形,故f |PA|PB|2,知f f ,故又可排除D.综上,选B.规律方法函数图像的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图像的左右位置;从函数的值域,判断图像的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图像的变化趋势;(3)从函数的奇偶性,判断图像的对称性;(4)从函数的周期性,判断图像的循环往复;(5)从函数的特征点,排除不合要求的图像图273变式训练2(1)已知函数f (x)的图像如图273所示,则f (x)的解析式可以是()Af (x)Bf (x)Cf (x)1Df (x)x(2)(2016河南平顶山二模)函数yasinbx(b0
9、且b1)的图像如图274所示,那么函数ylogb(xa)的图像可能是()图274(1)A(2)C(1)由函数图像可知,函数f (x)为奇函数,应排除B,C.若函数为f (x)x,则x时,f (x),排除D,故选A.(2)由题图可得a1,且最小正周期T,所以b2,则ylogb(xa)是增函数,排除A和B;当x2时,ylogb(2a)0,排除D,故选C.函数图像的应用角度1研究函数的性质已知函数f (x)x|x|2x,则下列结论正确的是()【导学号:66482069】Af (x)是偶函数,递增区间是(0,)Bf (x)是偶函数,递减区间是(,1)Cf (x)是奇函数,递减区间是(1,1)Df (x
10、)是奇函数,递增区间是(,0)C将函数f (x)x|x|2x去掉绝对值得f (x)画出函数f (x)的图像,如图,观察图像可知,函数f (x)的图像关于原点对称,故函数f (x)为奇函数,且在(1,1)上递减角度2确定函数零点的个数已知f (x)则函数y2f 2(x)3f (x)1的零点个数是_5方程2f 2(x)3f (x)10的解为f (x)或1.作出yf (x)的图像,由图像知零点的个数为5.角度3求参数的值或取值范围(2016浙江杭州五校联盟一诊)若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:P,Q都在函数yf (x)的图像上;P,Q关于原点对称,则称(P,Q)是函数yf (x)的一个“伙伴点组
11、”(点组(P,Q)与(Q,P)看作同一个“伙伴点组”)已知函数f (x)有两个“伙伴点组”,则实数k的取值范围是()A(,0)B(0,1)C. D(0,)B根据题意可知,“伙伴点组”的点满足:都在函数图像上,且关于坐标原点对称可作出函数yln(x)(x0)的图像,使它与直线ykx1(x0)的交点个数为2即可当直线ykx1与yln x的图像相切时,设切点为(m,ln m),又yln x的导数为y,即km1ln m,k,解得m1,k1,可得函数yln x(x0)的图像过(0,1)点的切线的斜率为1,结合图像可知k(0,1)时两函数图像有两个交点故选B.角度4求不等式的解集函数f (x)是定义在4,
12、4上的偶函数,其在0,4上的图像如图275所示,那么不等式0的解集为_图275在上,ycosx0,在上,ycosx0.由f (x)的图像知在上0,因为f (x)为偶函数,ycosx也是偶函数,所以y为偶函数,所以0的解集为.规律方法函数图像应用的常见题型与求解方法(1)研究函数性质:根据已知或作出的函数图像,从最高点、最低点,分析函数的最值、极值从图像的对称性,分析函数的奇偶性从图像的走向趋势,分析函数的单调性、周期性从图像与x轴的交点情况,分析函数的零点等(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围):构造函数,转化为两函数图像的交点个数问题,在同一坐标系中分别作出两函数的图像,
13、数形结合求解(3)研究不等式的解:当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图像可作出时,常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题,从而利用数形结合求解 思想与方法1识图:对于给定函数的图像,要从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图像与函数解析式中参数的关系2用图:借助函数图像,可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质利用函数的图像,还可以判断方程f (x)g(x)的解的个数,求不等式的解集等易错与防范1图像变换是针对自变量x而言的,如从f (2x)的图像到f (2x1)的图像是向右平移个单位,先作如下变形f (2x1)f ,可避免出错2明确一个函数的图像关于y轴对称与两个函数的图像关于y轴对称的不同,前者是自身对称,且为偶函数,后者是两个不同函数的对称关系3当图形不能准确地说明问题时,可借助“数”的精确,注重数形结合思想的运用