1、第七节函数的图像 考纲传真会运用函数的图像理解和研究函数的性质1利用描点法作函数的图像方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；(4)描点连线2利用图像变换法作函数的图像(1)平移变换(2)对称变换yf (x)的图像yf (x)的图像；yf (x)的图像yf (x)的图像；yf (x)的图像yf (x)的图像；yax(a0且a1)的图像ylogax(a0且a1)的图像(3)伸缩变换yf (x)的图像yf (ax)的图像；yf (x)的图像yaf (x)的图像(4)翻转变换yf (x)的图像y|f (x)|的图像；yf (x
2、)的图像yf (|x|)的图像1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yf (1x)的图像，可由yf (x)的图像向左平移1个单位得到()(2)函数yf (x)的图像关于y轴对称即函数yf (x)与yf (x)的图像关于y轴对称()(3)当x(0，)时，函数yf (|x|)的图像与y|f (x)|的图像相同()(4)若函数yf (x)满足f (1x)f (1x)，则函数f (x)的图像关于直线x1对称()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地已
3、知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图像表示，则下列给出的四个函数图像中，甲、乙的图像应该是()图271A甲是图，乙是图B甲是图，乙是图C甲是图，乙是图 D甲是图，乙是图B设甲骑车速度为V甲骑，甲跑步速度为V甲跑，乙骑车速度为V乙骑，乙跑步速度为V乙跑，依题意V甲骑V乙骑V乙跑V甲跑，故选B.3函数f (x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线yex关于y轴对称，则f (x)()Aex1 Bex1Cex1 Dex1D依题意，与曲线yex关于y轴对称的曲线是yex，于是f (x)相当于yex向左平移1个单位的结果，f (x)
4、e(x1)ex1.4(2016浙江高考)函数ysinx2的图像是()Dysin(x)2sinx2，函数为偶函数，可排除A项和C项；当x时，sinx2sin1，排除B项，故选D.5若关于x的方程|x|ax只有一个解，则实数a的取值范围是_.【导学号：66482067】(0，)在同一个坐标系中画出函数y|x|与yax的图像，如图所示由图像知当a0时，方程|x|ax只有一个解作函数的图像作出下列函数的图像：(1)y|x|；(2)y|log2(x1)|；(3)y；(4)yx22|x|1.解(1)先作出yx的图像，保留yx图像中x0的部分，再作出yx的图像中x0部分关于y轴的对称部分，即得y|x|的图像
5、，如图实线部分. 3分(2)将函数ylog2x的图像向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y|log2(x1)|的图像，如图. 6分(3)y2，故函数图像可由y图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图. 9分(4)y且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图像，再根据对称性作出(，0)上的图像，得图像如图. 12分规律方法画函数图像的一般方法(1)直接法当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图像变换法若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出易错警示：注意平移变换与伸缩变换
6、的顺序对变换单位及解析式的影响变式训练1分别画出下列函数的图像：(1)y|lg x|；(2)ysin|x|.解(1)y|lg x|函数y|lg x|的图像，如图. 6分(2)当x0时，ysin|x|与ysinx的图像完全相同，又ysin|x|为偶函数，图像关于y轴对称，其图像如图. 12分识图与辨图(1)(2016全国卷)函数y2x2e|x|在2,2的图像大致为() (2)(2015全国卷)如图272，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f (x)，则yf (x)的图像大致为()图272【导学号：
7、66482068】ABC D(1)D(2)B(1)f (x)2x2e|x|，x2,2是偶函数，又f (2)8e2(0,1)，故排除A，B.设g(x)2x2ex，则g(x)4xex.又g(0)0，g(2)0，g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，f (x)2x2e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.(2)当点P沿着边BC运动，即0x时，在RtPOB中，|PB|OB|tanPOBtanx，在RtPAB中，|PA|，则f (x)|PA|PB|tanx，它不是关于x的一次函数，图像不是线段，故排除A和C；当点P与点C重合，即x时，由上得f tan1，又当点P与边CD的中点重合，
8、即x时，PAO与PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f |PA|PB|2，知f f ，故又可排除D.综上，选B.规律方法函数图像的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性；(4)从函数的周期性，判断图像的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图像图273变式训练2(1)已知函数f (x)的图像如图273所示，则f (x)的解析式可以是()Af (x)Bf (x)Cf (x)1Df (x)x(2)(2016河南平顶山二模)函数yasinbx(b0
9、且b1)的图像如图274所示，那么函数ylogb(xa)的图像可能是()图274(1)A(2)C(1)由函数图像可知，函数f (x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f (x)x，则x时，f (x)，排除D，故选A.(2)由题图可得a1，且最小正周期T，所以b2，则ylogb(xa)是增函数，排除A和B；当x2时，ylogb(2a)0，排除D，故选C.函数图像的应用角度1研究函数的性质已知函数f (x)x|x|2x，则下列结论正确的是()【导学号：66482069】Af (x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf (x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf (x)是奇函数，递减区间是(1,1)Df (x
10、)是奇函数，递增区间是(，0)C将函数f (x)x|x|2x去掉绝对值得f (x)画出函数f (x)的图像，如图，观察图像可知，函数f (x)的图像关于原点对称，故函数f (x)为奇函数，且在(1,1)上递减角度2确定函数零点的个数已知f (x)则函数y2f 2(x)3f (x)1的零点个数是_5方程2f 2(x)3f (x)10的解为f (x)或1.作出yf (x)的图像，由图像知零点的个数为5.角度3求参数的值或取值范围(2016浙江杭州五校联盟一诊)若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：P，Q都在函数yf (x)的图像上；P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数yf (x)的一个“伙伴点组
11、”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”)已知函数f (x)有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是()A(，0)B(0,1)C. D(0，)B根据题意可知，“伙伴点组”的点满足：都在函数图像上，且关于坐标原点对称可作出函数yln(x)(x0)的图像，使它与直线ykx1(x0)的交点个数为2即可当直线ykx1与yln x的图像相切时，设切点为(m，ln m)，又yln x的导数为y，即km1ln m，k，解得m1，k1，可得函数yln x(x0)的图像过(0，1)点的切线的斜率为1，结合图像可知k(0,1)时两函数图像有两个交点故选B.角度4求不等式的解集函数f (x)是定义在4,
12、4上的偶函数，其在0,4上的图像如图275所示，那么不等式0的解集为_图275在上，ycosx0，在上，ycosx0.由f (x)的图像知在上0，因为f (x)为偶函数，ycosx也是偶函数，所以y为偶函数，所以0的解集为.规律方法函数图像应用的常见题型与求解方法(1)研究函数性质：根据已知或作出的函数图像，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值从图像的对称性，分析函数的奇偶性从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性从图像与x轴的交点情况，分析函数的零点等(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图像的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图像，
13、数形结合求解(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图像可作出时，常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题，从而利用数形结合求解 思想与方法1识图：对于给定函数的图像，要从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图像与函数解析式中参数的关系2用图：借助函数图像，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质利用函数的图像，还可以判断方程f (x)g(x)的解的个数，求不等式的解集等易错与防范1图像变换是针对自变量x而言的，如从f (2x)的图像到f (2x1)的图像是向右平移个单位，先作如下变形f (2x1)f ，可避免出错2明确一个函数的图像关于y轴对称与两个函数的图像关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系3当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用