1、2020-2021学年度第一学期高三期末联考理科数学试卷一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1若集合，则（ ）ABCD2设复数(其中，为虚数单位)，则“”是“为纯虚数”的（ ）A充要条件 B既不充分又不必要条件 C充分不必要条件 D必要不充分条件3设等差数列的前项和为，若，则 （ ）A4B6C10D124已知，且，则向量与夹角的大小为（ ）ABCD52020年是“干支纪年法”中的庚子年.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、 丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，
2、“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、癸未，甲申、乙酉、丙戌、癸巳，.共得到60个组合，周而复始，循环记录.今年国庆节是小明10岁生日，那么他80岁生日时的年份是“干支纪年法”中的（ ）A己亥年B戊戌年C庚戌年D辛丑年6在(x23x2)5的展开式中x的系数为（ ）A140 B240 C360 D8007已知定义在R上的奇函数满足，且当时，则的值为（ ）A2 B CD8若，则（ ）AB0CD或09某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ）A BC D10已知函数，其中，且，若对一切恒成立，则（ ）.ABC是偶
3、函数D是奇函数11已知双曲线，过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点、两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为（ ）ABCD12已知函数，若，则 的最小值为（ ）ABCD二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13某程序框图如图所示，若运行该程序后输出_.144位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则4人取的都不是自己的帽子有_.种取法15在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，
4、一定符合上述指标的是_平均数； 标准差； 平均数且标准差；平均数且极差小于或等于2； 众数等于1且极差小于或等于4.16如图所示，在三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为_.三解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.17已知各项均为正数的数列的前n项和满足，且.（1）求的通项公式：（2）设数列满足，并记为的前n项和，求.18如图，已知三棱台中，平面平面ABC，是正三角形，侧面是等腰梯形，E为AC的中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.192020年国庆节期间，我国高速公路继
5、续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:2010:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:209:40记作、9:4010:00记作，10:0010:20记作，10:2010:40记作，例如：10点04分，记作时刻64.（）估计这600辆车在9:2010:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10
6、辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:2010:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；（）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布，其中可用3日数据中的600辆车在9:2010:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:4610:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.附：若随机变量T服从正态分布，则，.20椭圆过点，其上下顶点分别为点A，B，且直线，的斜率之积为.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左顶点作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T.若
7、，求证：直线过定点.21已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围选做题22选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）若曲线：分别交直线和曲线于点，求.23选修4-5；不等式选讲已知函数，且的解集为.（1）求的值；（2）若，是正实数，且，求证：.高三理科数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案CDCACBDBABAC二、填空题13. 14.9 15. (4) (5) 16. 三、解答题17（1）由，结合，
8、因此由得，又，得从而是首项为2公差为3的等差数列，故的通项公式为.（2）18（1）证明：分别取、的中点、，连接、，为正三角形，平面平面，平面平面，平面，平面，同理可得，平面，、四点共面等腰梯形中，、分别为、的中点，又，、平面，平面，平面，（2）解：由（1）知，平面，平面，两两垂直，故以为原点，、所在的直线分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，2，1，2，2，设平面的法向量为，则，即，令，则，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为19（）这600辆车在9:2010:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：，即1004（）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10
9、辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在20，60这一区间内的车辆数，即，所以X的可能的取值为0，1，2，3，4.所以，.所以X的分布列为：X01234P（）由（1）得，所以，估计在9:4610:40之间通过的车辆数也就是在46，100通过的车辆数，由，得，所以估计在在9:4610:40之间通过的车辆数为.20（1）解：，解得， 将，都代入椭圆方程，得，椭圆方程为；（2）证明：设，直线的方程为.将代入椭圆方程，整理得，由，得.整理，得，即.化简，得，即.当时，直线的方程为，恒过左顶点，不合题意当时，直线的方程为，恒过点.直线过定点.21解：（1）因为，所以当时，令，得在上单调递减
10、；令，得，在上单调递增当时，令，得 在上单调递减；令，得或在和上单调递增当时，在时恒成立，在单调递增当时，令，得在上单调递减；令，得或在和上单调递增综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增（2）不等式，等价于时，设函数，则当时，此时单调递减；当时，此时单调递增，综上，的取值范围为22（1）直线的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为：直线的极坐标方程为：曲线的参数方程为 （为参数），转换为直角坐标方程为，整理得：曲线的极坐标方程为：（2）曲线：分别交直线和曲线于点， 所以，解得 同理，解得， 所以
11、 .23解：（1）因为，所以等价于，由有解，得，且解集为.因为的解集为.因此.（2）证明：将（1）中所得带入可知知：，因为，为正实数，方法一：所以由柯西不等式得：当且仅当时，等号成立.因此成立.方法二：当且仅当时，等号成立.因此成立.理科数学单选填空详解1C解：，故，故选：C.2D若复数是纯虚数，则，则不能证得为纯虚数，为纯虚数可以证得，故“”是“为纯虚数”的必要非充分条件，故选：D.3C由题意，所以，故选C4A因为,所以，又因为，因为，所以向量与的夹角的大小为.故选：A5C解：由于一个甲子是60周年，故小明80岁生日时和20岁生日的“干支纪年法”的年份一样，故只需在10岁的基础上再向后推算1
12、0即可，由于“天干”以10为周期，故向后推算10后还是“庚”，“地支”以12为周期， 故向后推算10后还是“戌”，故他80岁生日时的年份是“干支纪年法”中的庚戌年.故选：C.6B因为(x23x2)5(x1)5(x2)5，所以(x1)5的展开式中x的系数为，常数项为1，(x2)5的展开式中x的系数为，常数项为，所以原式中x的系数为.故选：B7D由题意，函数满足，所以函数的周期为，又由当时，因为函数奇函数，所以，所以，则，令，可得，可得，所以.故选：D8B由，可得，即，因为，所以，所以，解得，所以，所以，所以，又，所以，所以.9A由三视图可知三棱锥为如图所示，在中,；在中,；在中,；在中,；故表面
13、积为.10B由知且，利用辅助角公式可得，其中，又对一切恒成立，知是的最值，所以，即，所以，即，所以，可得，所以，对于选项A：，又因为，则，当时，当时，故选项A不正确；对于选项B：，故选项B正确；对于选项C：是奇函数，故选项C不正确；对于选项D：是偶函数，故选项D不正确，故选：B11A解：由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为，即， 如下图所示:由点到直线距离公式可知：，又，即，设，由双曲线对称性可知，而，由正切二倍角公式可知：，即，化简可得：，即，由双曲线离心率公式可知：.故选：A.12C由题意，得，即，又，得在上单调递增，综上知：，令，则，得；，得；故在上单调递减，在上单调递增.，故选：C1
14、3输入，第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，；第四次循环：，此时，输出，故答案为：.149 4人拿的都不是自己的帽子共有种，15（4）（5）错，举反例：；其平均数，但不符合上述指标；错，举反例：；其标准差，但不符合上述指标；错，举反例：；其平均数且标准差，但不符合上述指标；对，若极差小于，符合上述指标； 若极差小于或等于，有可能；，在平均数的条件下，只有成立，符合上述指标；对，在众数等于且极差小于或等于，则最大数不超过，符合指标，所以选.16由题意知：在中，根据余弦定理有：，中有，即为等边三角形，若为中点，连接，可得，而，则在中有，又且，即面，又由面知：面面，三棱锥的外接球球心：在中，过三等份点作的垂线与的垂直平分线的交点即为球心，所以令外接球半径为R，则：，解得，所以由球的表面积，故答案为：.
