1、第三节 三角函数的图象与性质 备考方向明确 方向比努力更重要 复习目标学法指导1.正弦函数、余弦函数的图象.2.正弦函数、余弦函数的性质.(1)周期函数的概念;(2)正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性;(3)正弦函数、余弦函数的递增区间和递减区间;(4)正弦函数、余弦函数的最大、最小值.1.三角函数的图象从形上完全反映了三角函数的性质,求三角函数的定义域、值域时应注意利用三角函数的图象.正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形,应把三角函数的对称性与奇偶性结合,体会两者的统一.2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基
2、础,三角函数的定义域是研究其他一切 性质的前提,求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组).3.三角函数的值域问题,实质是含有三角函数的复合函数的值域问题.3.正切函数的性质和图象(1)正切函数的周期性与奇偶性;(2)正切函数的单调区间;(3)正切函数的图象.会求形如 y=Asin(x+)的函数的单调区间、最值、周期.知识链条完善 把散落的知识连起来 网络构建 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 y=sin x y=cos x y=tan x R R x|x 2+k,kZ -1,1-1,1 R 在2k-2,2k+2 (kZ)上单调递增;在2k+2,2k+3 2(kZ)上单调递
3、减 在2k-,2k (kZ)上单调递增;在2k,2k+(kZ)上单调递减 在(k-2,k+2)(kZ)上 单调递增 x=时,ymax=1;x=2k-2(kZ)时,ymin=-1 x=时,ymax=1;x=2k+(kZ)时,ymin=-1 无最值 2k+2(kZ)2k(kZ)奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 对称中心(k+2,0)(kZ)对称中心(2k,0)(kZ)对称轴 l:对称轴 l:x=k (kZ)2 2 x=k+2(kZ)(k,0)(kZ)拓展空间 1.图象理解(1)正、余弦函数的图象夹在两条直线 y=1 之间,画图时应依据此限制条件;正切函数的图象也是夹在各直线 x=k+2,kZ 之间
4、,但图象与其不相交,画图时应首先标明这些直线.(2)画正、余弦曲线时,可先画出一个周期内的图象,再扩展至定义域内.一个周期内的图象可用“五点作图法”绘制.这些点的类型是“起点,终点,顶点,交点”.2.性质理解(1)三角函数存在多个单调区间,之间不能用“”联结,而是“每一个”.(2)三角函数奇偶性的判断与代数函数奇偶性的判断步骤一致:先看定义域是否关于原点对称;如果定义域关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系,另外三角函数中奇函数一般可化为y=Asin x或y=Atan x,偶函数一般可化为y=Acos x+b的形式.(3)正、余弦函数的对称轴都经过最高点或最低点,而对称中心的横坐标皆为函
5、数的零点,但正切函数的对称中心的横坐标不仅仅是零点.3.与求三角函数值域相关的结论(1)利用sin x,cos x的有界性.(2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(x+)+k 的形式,逐步分析x+的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域(或最值).(3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(或最值)问题.温故知新 解析:sin 168=sin(180-12)=sin 12,cos 10=sin(90-10)=sin 80.因为y=sin x在0,90上是增函数,所以sin 11sin 12sin 80.故选C.1.下列关系式中正确的是()(A)sin 11
6、cos 10sin 168(B)sin 168sin 11cos 10(C)sin 11sin 168cos 10(D)sin 168cos 10sin 11 C 2.函数 y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间(2,32)内的图象是()D 解析:y=tan x+sin x-|tan x-sin x|=2tan,(,232sin,(,).2x xx x 3.(2017全国卷)函数 f(x)=15sin(x+3)+cos(x-6)的最大值为()(A)65(B)1 (C)35(D)15 A 解析:f(x)=15(12sin x+32 cos x)+12sin x+32 cos
7、 x,f(x)=65(12sin x+32 cos x)=65sin(x+3),所以 f(x)max=65,故选 A.4.(2018浙江六校联考)函数 y=3sin x+3 cos x,x0,2的单调递增区间是 .解析:化简可得 y=23 sin(x+6),由 2k-2x+62k+2(kZ),得-23+2kx 3+2k(kZ),又 x0,2,所以函数的单调递增区间是0,3.答案:0,3 5.给出下列四个命题:若 cos =cos ,则-=2k,kZ;函数 y=2cos(2x+3)的图象关于 x=12对称;函数 y=cos(sin x)(xR)为偶函数;函数 y=sin|x|是周期函数,且周期为
8、 2.其中假命题的是 .(写出所有符合要求的序号)解析:命题:若=-,则 cos =cos ,原命题为假命题;命题:当 x=12时,cos(2x+3)=cos 2=0,故 x=12不是 y=2cos(2x+3)的对称轴;命题:函数y=sin|x|不是周期函数.答案:高频考点突破 在训练中掌握方法 考点一 三角函数的定义域与值域【例 1】(1)函数 y=sincosxx的定义域为 .(1)解析:由题知 sin x-cos x0.y=sin x 和 y=cos x 的图象,如图所示.在0,2内,满足 sin x=cos x 的 x 为 4,54,再结合正弦、余弦函数的周期是 2,所以原函数的定义域
9、为x|2k+4x2k+54,kZ.答案:x|2k+4x2k+54,kZ(2)解:令 t=sin x,因为|x|4,所以 t-22,22,所以 y=-t2+t+1=-(t-12)2+54,所以当 t=12时,ymax=54,t=-22 时,ymin=122.所以函数 y=cos2x+sin x(|x|4)的最大值为 54,最小值为122.(2)求函数 y=cos2x+sin x(|x|4)的最大值与最小值.反思归纳 (1)三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域常借助三角函数线或三角函数图象来求解.(2)闭区间上值域(或最值)问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的值域(或最值)问题,要讨
10、论参数对值域(或最值)的影响.(3)利用换元法求三角函数值域(或最值)时要注意三角函数的有界性,如:y=sin2x-4sin x+5,令t=sin x,则y=(t-2)2+11,解法错误.解析:由题意得 f(x)=sin2x+3 cos x-34=-cos2x+3 cos x+14=-(cos x-32)2+1.因为 x0,2,所以 cos x0,1.所以当 cos x=32 时,f(x)max=1.迁移训练 1.(2017全国卷)函数 f(x)=sin2x+3 cos x-34(x0,2)的最大值是 .答案:1 解析:设 sin x-cos x=t,t=2 sin(x-4),因为 x0,所以
11、 x-4-4,34,所以 t-1,2,sin xcos x=212t,所以 y=t+212t=-12(t-1)2+1,当 t=-1 时,y 的最小值为-1.2.函数y=sin x-cos x+sin xcos x,x0,的最小值为 .答案:-1 考点二 三角函数的奇偶性【例 2】判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=2sin1x ;解:(1)因为 2sin x-10,所以 sin x 12,即 x2k+6,2k+56(kZ),此区间不关于原点对称.所以 f(x)是非奇非偶函数.(2)f(x)=lg(sin x+21 sin x).解:(2)由题意知函数 f(x)的定义域为 R.f(-x)=lg
12、sin(-x)+21 sin()x=lg(-sin x+21 sin x)=lg211sinsinxx=-lg(21 sin x+sin x)=-f(x).所以函数 f(x)是奇函数.反思归纳 判断三角函数的奇偶性时,必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间,如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数必为非奇非偶函数.另外,对较复杂的解析式,可选择先化简再判断,也可直接用-x取代x,再化简判断,还可利用f(-x)f(x)=0是否成立来判断其奇偶性.迁移训练 1.若函数 f(x)=sin 3x(0,2)是偶函数,则 等于()(A)2(B)23(
13、C)32(D)53 C 解析:当=32时,f(x)=sin 323x=sin(13x+2)=cos 13x 为偶函数.故选 C.2.关于 x 的函数 f(x)=sin(x+)有以下命题:对任意的,f(x)都是非奇非偶函数.不存在,使 f(x)既是奇函数,又是偶函数.存在,使 f(x)是奇函数.对任意的,f(x)都不是偶函数.其中假命题是 (填序号).解析:当=2+k,kZ 时,f(x)为偶函数;当=k,kZ 时,f(x)为奇函数.无论 为何值,f(x)都不能恒等于零,故不存在,使 f(x)既是奇函数,又是偶函数.由此可知是假命题,故填.答案:考点三 三角函数的图象【例 3】(1)如图所示,函数
14、 y=cos x|tan x|(0 x 32且 x 2)的图象是()(1)解析:y=sin,0,2sin,23sin,0)在区间0,3上单调递增,在区间 3,2上单调递减,则=.解析:因为 y=sin x(0)过原点,所以当 0 x 2,即 0 x 2时,y=sin x 是增函数;当 2x 32,即 2x 32时,y=sin x 是减函数.由 y=sin x(0)在0,3上单调递增,在 3,2上单调递减知,2=3,故=32.答案:32 课堂类题精练 在练习中体会学习的乐趣 类型一 三角函数的定义域与值域 1.函数 y=tan(x-4)的定义域是()(A)x|x 4 (B)x|x-4(C)x|x
15、k+4,kZ (D)x|xk+34,kZ D 解析:由 x-4k+2(kZ)得 xk+34,kZ.2.函数 y=tan(sin x)的值域为()(A)-4,4 (B)-22,22 (C)-tan 1,tan 1(D)以上均不对 C 解析:因为-1sin x1,y=tan x 在-1,1上单调递增,所以 tan(-1)ytan 1,即 y-tan 1,tan 1.解析:y=2cossinxx(0 x)表示 A(0,2)与动点 B(-sin x,cos x)连线的斜率,又动点 B 在以原点为圆心,1 为半径的圆上,0 x,所以点 B 在 y 轴左侧的半圆上,当直线 AB 与圆相切时,直线 AB 的
16、斜率最小,即 ymin=3.答案:3 3.函数 y=2cossinxx(0 x0,所以 2k-22x2k(kZ),解得 k-4xk(kZ).故选 C.6.已知f(x)=ax+bsin3x+3且f(-3)=7,则f(3)=.解析:f(-3)=-3a-bsin33+3=7,所以3a+bsin33=-4,所以f(3)=3a+bsin33+3=-4+3=-1.答案:-1 7.已知函数 f(x)=cos xsin x(xR),给出下列四个命题:若 f(x1)=-f(x2),则 x1=-x2;f(x)的最小正周期是 2;f(x)在区间-4,4上是增函数;f(x)的图象关于直线 x=34对称.其中真命题是
17、(填真命题的序号).解析:f(x)=12sin 2x,当 x1=0,x2=2时,f(x1)=-f(x2),但 x1-x2,故是假命题;f(x)的最小正周期为,故是假命题;当 x-4,4时,2x-2,2,故是真命题;因为 f(34)=12sin 32=-12,故 f(x)的图象关于直线 x=34对称,故是真命题.答案:类型三 三角函数的图象 8.函数 y=tan(12x-3)在一个周期内的图象是()A 解析:函数 y=tan(12x-3)的周期是 2,可排除 B,D;对于选项 C,图象过(3,0)点,代入解析式不成立,可排除 C.解析:在同一直角坐标系中画出 y=x2和 y=cos x 的图象,观察交点的个数为 2.9.方程x2=cos x的实根个数是 .答案:2 点击进入课时训练
