1、2.2.2 双曲线的简单几何性质第1课时 双曲线的简单几何性质内 容 标 准学 科 素 养1.掌握双曲线的简单几何性质2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.运用直观想象提升数学运算发展逻辑推理01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 双曲线的几何性质预习教材P4951，思考并完成以下问题椭圆的简单几何性质有哪些？研究方法是什么？双曲线是否有类似的性质呢？提示：范围、对称性、顶点、离心率研究方法是：通过方程来研究图形的几何性质 知识梳理(1)双曲线的几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y
2、2a2x2b21(a0，b0)图形性质焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)焦距范围 或 y 或 x 对称性对称轴：；对称中心：性质顶点|F1F2|2c xaxaR yayaR 坐标轴原点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)轴实轴：线段，长：；虚轴：线段，长：；实半轴长：，虚半轴长：离心率e 性质渐近线 A1A22aB1B22b abca(1，)ybax yabx(2)等轴双曲线是指实轴长与虚轴长相等的
3、双曲线，其渐近线方程为 yx，离心率等于 2.自我检测1若点 M(x0，y0)是双曲线y24x2251 上支上的任意一点，则 x0 的取值范围是_，y0 的取值范围是_答案：(，)2，)2双曲线 4x22y21 的实轴长等于_，虚轴长等于_，焦距等于_答案：1 2 33双曲线x22 y2141 的离心率为_答案：2 2探究一 根据双曲线方程研究几何性质阅读教材 P51例 3求双曲线 9y216x2144 的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程题型：根据双曲线方程研究其几何性质方法步骤：将方程化成标准方程的形式写出 a2，b2，从而求出 a，b，c 的值求出双曲线的几何性质例 1 求
4、双曲线 9y24x236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程解析 将 9y24x236 化为标准方程x29 y241，即x232y2221，a3，b2，c 13.因此顶点坐标为 A1(3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为 F1(13，0)，F2(13，0)，实轴长 2a6，虚轴长 2b4，离心率 eca 133，渐近线方程为 ybax23x.方法技巧 1.已知双曲线的方程研究其几何性质时，若不是标准方程，则应先化为标准方程，确定方程中 a，b 的对应值，利用 c2a2b2 得到 c 值，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出它的几何性质2求双曲线的渐近线方程时要特别注意焦点在
5、 x 轴上还是在 y 轴上，以免写错跟踪探究 1.求双曲线 25y24x21000 的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程解析：双曲线的方程 25y24x21000 可化为x225y241，所以焦点在 x 轴上，所以a225，b24，因此实半轴长 a5，虚半轴长 b2，顶点坐标为(5,0)，(5,0)由 c a2b2 29，得焦点坐标为(29，0)，(29，0)离心率 eca 295，渐近线方程 y25x.探究二 根据双曲线的几何性质求标准方程阅读教材 P51例 4双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(图(1)，它的最小半径为 12 m，上口半径为
6、 13 m，下口半径为 25 m，高为 55 m试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到 1 m)题型：根据双曲线的几何性质求其标准方程方法步骤：根据双曲线的对称性，建立适当的坐标系设出标准方程求出方程中的 a2，b2，进而求出 c.例 2 求满足下列条件的双曲线的方程：(1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，实轴长与虚轴长之比为 23，且经过点 P(6，2)；(2)已知双曲线的焦点在 x 轴上，离心率为53，且经过点 M(3,2 3)；(3)若双曲线的渐近线方程为 2x3y0，且两顶点间的距离是 6.解析(1)设双曲线方程为y2a2x2b21(a0，b0)双曲线过点 P(6，2)，4a2
7、6b21.由题意得ab23，4a2 6b21，解得a243，b23.故所求双曲线方程为3y24 x23 1.(2)设所求双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)e53，e2c2a2a2b2a21b2a2259，ba43.由题意得ba43，9a212b21，解得a294，b24.所求的双曲线方程为4x29 y241.(3)设双曲线方程为 4x29y2(0)，即x24y291(0)，由题意得 a3.当 0 时，49，36，双曲线方程为x29 y241；当 0，b0)，则ba12.点 A(2，3)在双曲线上，4a2 9b21.联立，无解当焦点在 y 轴上时，设所求方程为y2a2x2b21(a0，
8、b0)，则ab12.点 A(2，3)在双曲线上，9a2 4b21.联立，解得 a28，b232.所求双曲线的标准方程为y28x2321.法二：由双曲线的渐近线方程为 y12x，可设双曲线方程为x222y2(0)，A(2，3)在双曲线上，2222(3)2，即 8.所求双曲线的标准方程为y28x2321.探究三 求双曲线的离心率例 3(1)点 P 在双曲线x2a2y2b21(a0，b0)上，F1，F2 是这条双曲线的两个焦点，F1PF290，且F1PF2 的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是()A2 B3C4 D5(2)设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲
9、线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_解析(1)由题意得不妨设|PF1|，|PF2|，|F1F2|成等差数列，分别设为 md，m，md，则mmd2a，md2c，md2m2md2，解得 m4d8a，c5d2，离心率 eca5aa 5.故选 D.(2)不妨设一个焦点 F(c,0)，虚轴的一个端点 B(0，b)，则 kFB bc.又双曲线的渐近线为 ybax，bcba1，即 b2ac，c2a2ac，c2aca20，即 e2e10，e1 52(舍负)，e1 52.答案(1)D(2)1 52方法技巧 求双曲线离心率的方法(1)若可求得 a，c，则直接利用 eca得解；(2)若已知 a，b，可直接利
10、用 e1ba2得解；(3)若得到的是关于 a，c 的齐次方程 pc2qacra20(p，q，r 为常数，且 p0)，则转化为关于 e 的方程 pe2qer0 求解跟踪探究 3.已知 F1，F2 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点，PQ 是经过 F1且垂直于 x 轴的双曲线的弦，如果PF2Q90，求双曲线的离心率解析：设 F1(c,0)，将 xc 代入双曲线的方程得c2a2y2b21，那么 yb2a.由|PF2|QF2|，PF2Q90，知|PF1|F1F2|，所以b2a 2c，所以 b22ac，所以 c22aca20，所以ca22ca10，即 e22e10，所以 e1 2或 e1
11、 2(舍去)，所以双曲线的离心率为 1 2.课后小结(1)通过双曲线方程可以讨论双曲线的几何性质，通过双曲线的几何性质也可以得到双曲线方程(2)渐近线是双曲线特有的性质，渐近线和离心率都可以描述双曲线的“张口”大小素养培优1考虑问题不全面致误已知双曲线的渐近线方程为 y13x，求其离心率易错分析 因为渐近线方程为 y13x，所以ba13，即 a3b，所以 a29b2，a29(c2a2)，即 10a29c2，c2a2109，所以 e 103.本解法忽视了该双曲线的焦点位置不确定，故13ba或13ab两种情况，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的学科素养自我纠正 由题意得ba13或ab13，故c2a
12、2a213或a2c2a213，e2113或 e213，e 103 或 e 10.2解题缺乏依据致误点 P 是双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)和圆 C2：x2y2a2b2 的一个交点，且有 2PF1F2PF2F1，其中 F1，F2是双曲线 C1 的左、右两个焦点，求双曲线 C1 的离心率易错分析 因为圆的半径 r a2b2c，又因为F1PF290，2PF1F2PF2F1，所以PF1F230，PF2F160.在 RtF1PF2 中，|F1F2|2c，故|PF1|3c，|PF2|c.又点 P 在双曲线上，且在双曲线右支上，所以|PF1|PF2|3cc2a，所以 eca231 31.此解法步骤不严谨，解析缺乏依据考查直观想象、逻辑推理自我纠正 因为圆的半径 r a2b2c，所以圆过双曲线 C1 的焦点，即 F1F2 为圆的直径所以F1PF290.因为 2PF1F2PF2F1，所以PF1F230，PF2F160.在 RtF1PF2 中，|F1F2|2c.故|PF1|3c，|PF2|c.又点 P 在双曲线上，且在双曲线右支上，所以|PF1|PF2|3cc2a，所以 eca231 31.04 课时 跟踪训练
