1、13.3 三角形的内角与外角第十三章三角形13.3 三角形的内角与外角13.3 三角形的内角与外角与边一样，三角形的角也是构成三角形的元素.本节我们学习三角形的三个内角之间的关系，并进一步学习其他与三角形有关的角.新课导入13.3 三角形的内角与外角学习目标1.会运用平行线的性质与平角的定义证明三角形的内角和等于180,体会转化思想在数学中的运用.2.掌握三角形内角和定理.3.掌握直角三角形的性质和判定.4.了解三角形外角的定义，掌握三角形外角的性质.13.3 三角形的内角与外角13.2.1 三角形的内角在小学，通过度量或剪拼，我们已经知道三角形的内角和等于180，这样的方法获得的结论可靠吗?
2、由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于180，不能完全令人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180.因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和等于180.13.3 三角形的内角与外角探究你还记得在小学是如何通过剪拼的方法得出三角形的内角和吗？下图给出了两种剪拼的方法，从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？从这个操作过程中，可以发现证明三角形内角和定理的思路：过三角形的一个顶点作一条直线平行于该顶点的对边，由平行线的性质和平角的定义就能证明三角形的内角和等于180。13.3 三角形的内角与外角在图(1)中，将ABC的B和
3、C剪下，分别拼在A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线l，移动后的B和C各有一条边在直线上.想一想，直线l与ABC的边BC有什么关系?你能由这个图想出证明“三角形的内角和等于180”的方法吗?13.3 三角形的内角与外角由上述拼合过程得到启发，过ABC的顶点A作直线l平行于ABC的边BC.由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180”这个结论.已知：ABC.求证：A+B+C=18013.3 三角形的内角与外角13.3 三角形的内角与外角以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180，得到如下三角形的内角和定理：三个内角的和等于180.由右图，你能给出这个定
4、理的其他证法吗？13.3 三角形的内角与外角典例精析例1 如图，在ABC中，BAC=B=75，AD是ABC的角平分线.求ADB的度数.13.3 三角形的内角与外角典例精析例2 右图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80方向，C岛在B岛的北偏西40方向.从B岛看A，C两岛的视角ABC是多少度?从岛看A，B两岛的视角ACB呢?分析：A，B，C三岛的连线构成ABC，所求的ACB是ABC的一个内角.如果能求出CAB，ABC，就能求出ACB.13.3 三角形的内角与外角你还能给出其他解法吗?13.3 三角形的内角与外角当堂练习1.如图，从A处观测C处的仰角CAD=3
5、0，从B处观测C处的仰角CBD=45.从C处观测A，B两处的视角ACB是多少度?解：BCD=180CBDD=1804590=45，ACD=180A D=1803090=60，ACB=ACD BCD=6045=15.13.3 三角形的内角与外角当堂练习2.如图，在ABC中，A=40，求B+C+ADE+AED的度数.解：A=40，ADE+AED=18040=140.同理，C+B=180A=18040=140.B+C+ADE+AED=140+140=280.13.3 三角形的内角与外角利用三角形的内角和定理，可以得到一些特殊三角形的内角的关系.如图，在直角三角形ABC中，C=90，由三角形的内角和定
6、理，得13.3 三角形的内角与外角典例精析例2 如图，C=D=90，AD，BC相交于点E，CAE与DBE有什么关系？为什么？13.3 三角形的内角与外角思考我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗?请你说说理由.有两个角互余的三角形是直角三角形.理由如下：如图所示，A+B=90C=180(A+B)=180 9090.ABC是直角三角形.由三角形的内角和定理可得(请你自己完成证明)：有两个角互余的三角形是直角三角形.13.3 三角形的内角与外角当堂练习1.如图，在ABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D.ACD与B有什么关系?
7、为什么?解：ACD=B.ACB=90,A+B=90.CDAB，ADC=90,A+ACD=90.ACD=B.13.3 三角形的内角与外角当堂练习2.如图，在ABC中，C=90，点D，E分别在边AB，AC上，且1=2，ADE是直角三角形吗?为什么?解：ADE是直角三角形.C=90,A+2=90.1=2，A+1=90,ADE=90.ADE是直角三角形.13.3 三角形的内角与外角13.3.2 三角形的外角如图，把ABC的一边BC延长，得到ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，13.3 三角形的内角与外角思考如图，在ABC中，A=70，B=60.ACD是ABC的一个外
8、角.能由A，B求出ACD吗?如果能，ACD与A，B有什么关系?任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系?13.3 三角形的内角与外角解：能，ACD=A+B如图，任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角都有这种关系.13.3 三角形的内角与外角一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论(请你自己证明)：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和13.3 三角形的内角与外角典例精析 例4 如图，BAE，CBF，ACD是ABC的三个外角，它们的和是多少?你还能给出其他解法吗?13.3 三角形的内角与外角当堂练习 说出下列图形中1和2的度数：解：(1)2=80+60=140 ，1=1802=180140=40.(2)2=30+40=70，1=180 70=110.(3)1=9040=50，2=18040=140.13.3 三角形的内角与外角13.3 三角形的内角与外角谢谢观看
