1、15.4不等式选讲1理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：；.2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：c；c；c.3通过一些简单问题，了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法1几个重要的不等式(1)a2b2_(a，bR)，当且仅当_时，等号成立(2)_(a，b0)，当且仅当_时，等号成立(3)_(a，b，c0)，当且仅当_时，等号成立(4)_(ai0，i1，2，n)，当且仅当_时，等号成立2绝对值不等式(1)定理1：如果a，b是实数，那么_，当且仅当_时，等号成立(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么_，当且仅当_时，等号成立(3)a_3证明不等式
2、的方法(1)比较法比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是_与0比较大小或_与1比较大小(2)综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的_、_而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或_法(3)分析法证明命题时，我们还常常从要证的_出发，逐步寻求使它成立的_，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种_的思考和证明方法当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以_寻找证明的思路，而用_叙述、表达整个证明过程(4
3、)反证法先假设要证的命题_，以此为出发点，结合_，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的_，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)_的结论，以说明假设_，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法(5)放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_或_，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法(6)数学归纳法与自然数n有关的不等式可考虑用数学归纳法证明(详见第十三章“推理与证明”)【自查自纠】1(1)2abab(2)ab(3)abc(4)a1a2an2(1)ab0(2)(ab)(bc)0(3)axaxa3(1)作差作商(2)推理论证由因导果(3)结论充分条
4、件执果索因分析法综合法(4)不成立已知条件推理矛盾不正确(5)放大缩小设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是()A|ab|ac|bc|Ba2aC|ab|2D.解法一：当ab1时，|ab|0，故C不成立解法二：|ab|ac(bc)|ac|bc|，故A成立a2a200.由a0，a2.故B成立.故D成立故选C.不等式|x5|x3|10的解集为()A5，7 B4，6C(，57，) D(，46，)解：原不等式等价于 或或得 或 或由上知原不等式的解集为x|x4或x6故选D.()若存在实数x使3成立，则实数a的取值范围是()A2，1 B2，2C2，3 D2，4解：，根据题意的最小值不大于
5、3，得3，解得2a4，故选D.对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1.则|x2y1|的最大值为_解：|x1|1，0x2.|y2|1，1y21，1y3，62y2.由同向不等式可加性，得6x2y0.5x2y11，即|x2y1|5.故填5.()若关于实数x的不等式a无解，则实数a的取值范围是_解：由于|x5|x3|表示数轴上点x到点5和3的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x5|x3|a无解，可得a8.故填(，8类型一绝对值不等式已知函数f(x)|x2|x5|.(1)证明：3f(x)3；(2)求不等式f(x)x28x15的解集解：(1)证明：f(x)|x2|x5|当2x5时，32x7
6、3，3f(x)3.(2)由(1)可知：当x2时，f(x)x28x15的解集为；当2x5时，f(x)x28x15的解集为x|5x5当x5时，f(x)x28x15的解集为x|5x6综上，不等式f(x)x28x15的解集为x|5x6【评析】处理含绝对值不等式问题，去绝对值符号是关键从这几年的考题来看，绝对值符号内一般都是一次式，采用零点分段法进行分段讨论是常用方法对于形如|xa|xb|c(或c)的不等式，利用绝对值的几何意义、图象去解不等式，也较为直观、简捷()在实数范围内，不等式|2x1|2x1|6的解集为_解法一：原不等式可化为 或 或 解得x，即原不等式的解集为.解法二：原不等式可化为3，其几
7、何意义为数轴上到，两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x或x时，到，两点的距离之和恰为3，所以当x时，满足题意，原不等式的解集为.故填.类型二含字母参数的绝对值不等式已知函数f(x)|x1|2a(aR)(1)解关于x的不等式f(x)3.(2)若不等式f(x)ax，xR恒成立，求a的取值范围解：(1)由f(x)3，即|x1|2a3，得|x1|32a.当32a0时，即a，不等式的解集为；当32a0时，即a，不等式等价于：2a3x132a，得2a2x42a.综上，当a时，不等式的解集为；当a时，不等式的解集为x|2a2x42a(2)解法一：由f(x)ax得a(x2)|x1|，当x1时，a
8、(1，0)，a0；当1x2时，a(x2)x1恒成立a恒成立，(，0，a0；当x2时，12a2a恒成立，aR；当x2时，a(1，)，a1.综上，xR，使得不等式f(x)ax恒成立的a的取值范围是0，1解法二：由f(x)ax，得|x1|2aax，即|x1|a(x2)依题意，y|x1|的图象恒在ya(x2)图象的上方，而ya(x2)恒过(2，0)点，由图象分析得0a1.【评析】绝对值不等式中含参数时，通常要进行分类探求，注意分类要做到不重不漏；对于含参数的绝对值不等式在某区间内的恒成立问题，一般采用分离参数法或结合函数的图象来求自变量、参数的范围()已知函数f(x)|xa|，其中a1.(1)当a2时
9、，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值解：(1)当a2时，f(x)|x4|当x2时，由2x64，解得x1；当2x4时，20，b0，求证ab.证法一：左边右边()0，原不等式成立证法二：不等式左边0，右边0，1.原不等式成立【评析】用比较法证明不等式，一般有作差(或商)，变形，判断三个步骤，利用作商法时要注意前提条件变形的主要手段是通分、因式分解或配方在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二(2)()已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c26，并确定a，b，c为何值时，等号成立证法一：因为a，b，c均为正数，
10、由平均值不等式得a2b2c23(abc)，所以.故a2b2c23(abc).又3(abc)26，所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立当且仅当3(abc)时，式等号成立，即abc3时，原式等号成立证法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，所以a2b2c2abbcac.同理.故a2b2c2a2b2c2abbcac6.所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立，当且仅当(ab)2(bc)2(ac)23时，式等号成立即当且仅当abc3时，原式等号成立【评析】综合法是由因导果的证明方法用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的结构特点，
11、选择恰当的公式作为依据，其中均值不等式是最常用的，证法一两次运用三元均值不等式证明，证法二主要是运用不等式的性质证明(3)()设x0，y0且xy，求证(x3y3)(x2y2).证明：因为x0，y0且xy，所以要证(x3y3)(x2y2)，只需证(x3y3)2(x2y2)3，即2x3y33x2y2(x2y2)，只需证2xy3(x2y2)，因为x2y22xy，所以2xy3(x2y2)成立，从而得证【评析】对于一些难以看出综合推理出发点的题目，我们可以从要证的结论入手，通常采用分析法求证分析法证明不等式是“执果索因”，要注意书写的格式和语言的规范(4)()已知x，y，zR，且xyz1，x2y2z2，
12、证明：x，y，z.证明：分两种情况讨论：若x，y，z三数中有负数，不妨设x0，x2y2z2x2x2x2x，矛盾若x，y，z三数中有最大者大于，不妨设x，则x2y2z2x2x2x2xx，矛盾故x，y，z.【评析】对于一些直接证明比较困难的命题常常采用反证法证明利用反证法的关键是在假设结论不成立后，如何由已知和相关性质定理推出矛盾(5)()设s，求证：n(n1)s123nn(n1)，s357(2n1)n(n2)，n(n1)sg(a)，我们可将左边放缩成f1(a)，但必须同时保证f1(a)g(a)0，否则称为放缩过度(6)()已知m为正整数，用数学归纳法证明：当x1时，(1x)m1mx.证明：当x0
13、或m1时，原不等式中等号显然成立下面用数学归纳法证明：当x1，且x0，m2时，(1x)m1mx.当m2时，由x0得(1x)212xx212x，不等式成立假设当mk(k2)时不等式成立，即有(1x)k1kx.当mk1时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1xkxkx21(k1)x.所以当mk1时不等式成立由知，原不等式成立【评析】数学归纳法主要是用来证明与正整数有关的命题，需要两步第一步是证明n取第一个值n0(n01或2等)，命题成立(奠基)，第二步是假设nk时(kN，且kn0)命题正确，证明当nk1时命题也正确，关键是从nk到nk1的变形，常采用“放缩法”或“拼凑法”来实现(7)
14、()已知x0，y0，z0，证明.证明：如图，作ABC，并使OAx，OBy，OCz，AOBBOCCOA120，则AB2x2y22xycos120x2y2xy.AB.同理BC，CA.在ABC中，ABBCAC.【评析】由余弦定理知可视为以x，y为边且夹角为120的三角形的第三边，通过构造三角形，再利用图形的直观形象和性质，使不等式证明变得更简捷有些特殊的自然数不等式问题，亦可利用构造函数的方法解决，如变式3(3)(1)设a，b是非负实数，求证：a3b3(a2b2)证法一：(比较法)a3b3(a2b2)a3a2b3b2a2()b2()()()5()5，当ab时，从而()5()5，得()()5()50；
15、当ab时，从而()5()5，得()()5()50.所以a3b3(a2b2)证法二：(综合法)由a2b22ab，且a，b为非负实数，(a2b2)(ab)2ab(ab)，即a3a2bab2b32a2b2ab2.a3b3a2bab2.2(a3b3)a3a2bab2b3(ab)(a2b2)a3b3(a2b2)(2)设a，b，c都是正数，求证：abc.证法一：左边右边0，原不等式成立证法二：由基本不等式得：c，a，b，三式相加即得原不等式成立(3)已知nN，求证：.证明：令f(n)，则f(n1)f(n)0，f(n)在N上是增函数f(n)f(1)，故.1解绝对值不等式要掌握去绝对值符号的方法，必要时运用分类讨论的思想，有时也可利用绝对值的几何意义解题去掉绝对值符号的方法主要有：公式法、分段讨论法、平方法、几何法等这几种方法应用时各有侧重，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但是若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用因此，在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定2在对不等式证明题进行分析，寻找解(证)题的途径时，要提倡综合法和分析法同时使用，如同打山洞一样，由两头向中间掘进，这样可以缩短条件与结论的距离，是数学解题分析中最有效的方法之一
