1、章末评估验收(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若函数f(x)2cos x，则f()等于()Asin Bcos C2sin D2sin 解析：f(x)(2cos x)sin x，当x时，f()sin .答案：A2曲线yf(x)x33x21在点(2，3)处的切线方程为()Ay3x3 By3x1Cy3 Dx2解析：因为yf(x)3x26x，则曲线yx33x21在点(2，3)处的切线的斜率kf(2)322620，所以切线方程为y(3)0(x2)，即y3.答案：C3函数f(x)x33x1的单调递
2、减区间是()A(1，2) B(1，1)C(，1) D(，1)，(1，)解析：f(x)3x23，由f(x)0，可得1x1.答案：B4函数f(x)x3ax23x9，在x3时取得极值，则a等于()A2 B3 C4 D5解析：f(x)3x22ax3.由f(x)在x3时取得极值，即f(3)0，即276a30，所以 a5.答案：D5观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，归纳可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)解析：观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)是奇函数，所以g(x)g
3、(x)答案：D6若函数f(x)x3f(1)x2x，则f(1)的值为()A0 B2 C1 D1解析：f(x)x22f(1)x1，则f(1)122f(1)11，解得f(1)0.答案：A7某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品设该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且Q与P有如下关系：Q8 300170PP2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元 B60元C28 000元 D23 000元解析：设毛利润为L(P)元，由题意知L(P)PQ20QQ(P20)(8 300170PP2)(P20)P3150 P211 700 P166 000，所以L(P)3P2300P11 700.令
4、L(P)0，解得P30或P130(舍去)当20P30时，L(P)0，L(P)为增函数；当P30时，L(P)0，L(P)为减函数，故P30为L(P)的极大值点，也是最大值点，此时L(30)23 000，即最大毛利润为23 000元答案：D8设函数f(x)xln x(x0)，则yf(x)()A在区间(1，e)内均有零点B在区间(1，e)内均无零点C在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点D在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点解析：由题意得f(x)，令f(x)0得x3；令f(x)0得0x3；f(x)0得x3，故知函数f(x)在区间(0，3)上为减函数，在区间(3，)为增函数，在点x3处有极小值1
5、ln 30；又f(1)0，f(e)10，f10.答案：C9对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有()Af(0)f(2)2f(1) Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1) Df(0)f(2)2f(1)解析：当x1时，则f(x)0；当x1时，f(x)0，故f(1)0.由f(x)的任意性知f(x)在0，2上有唯一的极小值f(1)，即f(0)f(1)，f(2)f(1)，所以f(0)f(2)2f(1)答案：C10设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()解析：因为f(x)在x2处取得极小值
6、，所以在x2附近的左侧f(x)0，当x2时，xf(x)0；在x2附近的右侧f(x)0，当2x0时，xf(x)0.答案：C11对任意的xR，函数f(x)x3ax27ax不存在极值点的充要条件是()A0a21 Ba0或a7Ca0或a21 Da0或a21解析：f(x)3x22ax7a，令f(x)0，即3x22ax7a0，对于此方程，4a284a，当0，即0a21时，f(x)0恒成立，函数不存在极值点答案：A12若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3 C6 D9解析：函数的导数为f(x)12x22ax2b，由函数f(x)在x1处有极值，可知函数
7、f(x)在x1处的导数值为0，即122a2b 0，所以ab6，由题意知a，b都是正实数，所以ab9，当且仅当ab3时取到等号答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13若曲线yxa1(aR)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则a_解析：由题意，知yaxa1，故在点(1，2)处的切线的斜率a，又因为切线过坐标原点，所以a2.答案：214函数f(x)ax44ax2b(a0，1x2)的最大值为3，最小值为5，则a_，b_解析：y4ax38ax4ax(x22)，令y0，解得x10(舍)，x2，x3(舍)又f(1)a4abb3a，f(2)16a16abb，f()b
8、4a.所以 所以 a2，b3.答案：2315当x1，2时，x3x2xm恒成立，则实数m的取值范围是_解析：记f(x)x3x2x，所以f(x)3x22x1.令f(x)0，得x或x1.又因为f，f(2)2，f(1)1，f(1)1，所以当x1，2时，(f(x)max2，所以m2.答案：(2，)16在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)ex(x0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_解析：设P(m，em)(m是变量，且m0)，则在点P处切线l的方程为yemem(xm)，令x0，得y(1m)em，故得M
9、(0，(1m)em)过点P作l的垂线，则该垂线的直线方程为yemem(xm)，令x0，得yemmem，故得N(0，emmem)所以t(1m)ememmememm(emem)，t(emem)(1m)令t0，得到m1.当0m1时，t0；当m1时，t0.所以t在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减所以tmax.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)偶函数f(x)ax4bx3cx2dxe的图象过点P(0，1)，且在x1处的切线方程为yx2，求yf(x)的解析式解：因为f(x)的图象过点P(0，1)，所以 e1.又f(x)为偶函数
10、，所以 f(x)f(x)故ax4bx3cx2dxeax4bx3cx2dxe，所以 b0，d0，所以 f(x)ax4cx21.因为函数f(x)在x1处的切线方程为yx2，所以 切点为(1，1)所以 ac11.因为f(x)4ax32cx，所以 f(x)|x14a2c，所以 4a2c1，所以 a，c.所以 函数yf(x)的解析式为f(x)x4x21.18(本小题满分12分)设函数yf(x)4x3ax2bx5在x与x1处有极值(1)写出函数的解析式；(2)指出函数的单调区间；(3)求f(x)在1，2上的最值解：(1)y12x22axb，由题设知当x与x1时函数有极值，则x与x1满足y0，即解得所以 y
11、4x33x218x5.(2)y12x26x186(x1)(2x3)，列表如下：x(，1)1y00yy极大值16y极小值由上表可知(，1)和(，)为函数的单调递增区间，为函数的单调递减区间(3)因为f(1)16，f，f(2)11，所以f(x)在1，2上最小值是，最大值为16.19(本小题满分12分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P万元和Q万元，它们与投入资金x万元的关系有经验公式：P，Q.现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？解：设对乙种商品投资x万元，则甲种商品投资为(3x)万元，总利润为
12、y万元根据题意，得y(0x3)，y.令y0，解得x.由实际意义知x即为函数的极大值点，也是最大值点，此时3x.因此为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元20(本小题满分12分)若函数f(x)4x3ax3在，上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？解：f(x)12x2a，若f(x)在上为单调增函数，则f(x)0在上恒成立，即12x2a0在上恒成立所以 a12x2在，上恒成立，所以 a(12x2)min0.当a0时，f(x)12x20恒成立只有x0时f(x)0所以 a0符合题意若f(x)在上为单调减函数，则f(x)0，在上恒成立，
13、即12x2a0在上恒成立，所以 a12x2在上恒成立，所以 a(12x2)max3.当a3时，f(x)12x233(4x21)0恒成立(且只有x时f(x)0.因此，a的取值范围为a0或a3.21(本小题满分12分)已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值解：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)所以f(1)1，f(1)1.所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1(x0)知，当a0时，f(x)
14、0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值当a0时，由f(x)0，得xa.当x(0，a)时，f(x)0；当x(a，)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上可得，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值22(本小题满分12分)已知函数f(x)2x33x.(1)求f(x)在区间2，1上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求t的取值范围；(3)过点A(1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切(只需写出结论)?解：
15、(1)由f(x)2x33x，得f(x)6x23.令f(x)0，得x或x.因为f(2)10，f，f，f(1)1，所以f(x)在区间2，1上的最大值为f.(2)设过点P(1，t)的直线与曲线yf(x)相切于点(x0，y0)，则y02x3x0，且切线斜率为k6x3，所以切线方程为yy0(6x3)(xx0)，因此ty0(6x3)(1x0)，整理得4x6xt30.设g(x)4x36x2t3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切”等价于“g(x)有3个不同的零点”g(x)12x212x12x(x1)当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下：所以g(0)t3是g(x)的极大值，g(1)t
16、1是g(x)的极小值当g(0)t30，即t3时，g(x)在区间(，1和(1，)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点当g(1)t10，即t1时，g(x)在区间(，0)和0，)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点当g(0)0且g(1)0，即3t1时，因为g(1)t70，g(2)t110，所以g(x)分别在区间1，0，0，1)和1，2)上恰有1个零点由于g(x)在区间(，0)和(1，)上单调，所以g(x)分别在区间(，0)和1，上恰有1个零点综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切时，t的取值范围是(3，1)(3)过点A(1，2)存在3条直线与曲线yf(x)相切，过点B(2，10)存在2条直线与曲线yf(x)相切，过点C(0，2)存在1条直线与曲线yf(x)相切
