1、第2讲导数的简单应用做小题激活思维1(2019全国卷)曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为_y3x因为y3(2x1)ex3(x2x)ex3(x23x1)ex，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率ky|x03，所以所求的切线方程为y3x.2.设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是以下选项中的()C由题图知，当x0时，f(x)0，所以yf(x)在(，0)上单调递增因为当0x2时，f(x)0，所以yf(x)在(0,2)上单调递减又当x2时，f(x)0，所以yf(x)在(2，)上单调递增3函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1B
2、(0,1C1，) D(0，)B函数定义域为(0，)，由yx0得，0x1，故选B.4若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是()A(，2 B(，1C2，) D1，)Df(x)k，由题意知k0，即k在(1，)上恒成立，又当x(1，)时，01，所以k1，故选D.5函数f(x)x34xm在0,3上的最大值为4，则m的值为()A7 B.C3 D4Df(x)x24，x0,3，f(x)0时，x2，f(x)0时，0x2，f(x)0时，2x3.所以f(x)在0,2)上是减函数，在(2,3上是增函数又f(0)m，f(3)3m.所以在0,3上，f(x)maxf(0)4，所以m4，故选D.
3、6已知f(x)x3ax2bxa2在x1处的极值为10，则ab等于()A0或7 B7C0 D7B因为f(x)3x22axb，所以f(1)32ab0，f(1)1aba210，由得或而要在x1处取到极值，则4a212b0，故舍去所以只有所以ab7，故选B.扣要点查缺补漏1导数的几何意义(1)f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，y0)处切线的斜率(2)函数yf(x)在点xx0处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，如T1.2导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在此区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)
4、在此区间内单调递减如T2.(2)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0.如T3.(3)若已知函数的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解如T4.3导数与函数的极值、最值(1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点如T5.(2)极值点不是一个点，而是一个数x0，当xx0时，函数取得极值，在x0处，f(x0)0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件(3)一般地，在闭区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么函数yf(x)在a，
5、b上必有最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间的端点处取得如T6.考点1导数的运算及其几何意义高考串讲找规律高考解读教师授课资源以导数的几何意义为载体，考查曲线切线方程的求法，注意方程思想的应用及复合函数的求导问题.1一题多解(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2xByxCy2x DyxD法一：(直接法)因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(x)f(x)，所以(x)3(a1)(x)2a(x)x3(a1)x2ax，所以2(a1)x20，因为xR，所以a1，所以f(x)x3x，所以f(x)
6、3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D.法二：(特值法)因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(1)f(1)0，所以1a1a(1a1a)0，解得a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D.2(2011大纲版高考)曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为()A. B.C. D1A由题意，得：y(e2x1)e2x(2x)2e2x，则在点(0,2)处的切线斜率为k2e02，切线方程为y2x2.联立得C.与y0和yx围成三角形的面积
7、为SOBCOB1.3(2016全国卷)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_.1ln 2求得(ln x2)，ln(x1).设曲线yln x2上的切点为(x1，y1)，曲线yln(x1)上的切点为(x2，y2)，则k，所以x21x1.又y1ln x12，y2ln(x21)ln x1，所以k2，所以x1，y1ln22ln 2，所以by1kx12ln 211ln 2.与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，kf(x0)(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)求过某点M(x1，y1)的切
8、线方程时，需设出切点A(x0，f(x0)，则切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.考题变迁提素养1(考查导数的运算)设函数f(x)fx22xf(1)ln x，曲线f(x)在(1，f(1)处的切线方程是()A5xy40 B3xy20Cxy0 Dx1Af(x)fx22xf(1)ln x，f(x)2fx2.令x得f2f22f(1)，即f(1)1.又f(1)f2，f3，f(1)2f2f(1)6215.曲线在点(1，f(1)处的切线方程为y15(x1)，即5xy40，故选A.2(与不等式交汇)若曲线yx32x22在点A处的切线方程为y4x6，且点A在直线
9、mxny10(其中m0，n0)上，则的最小值为()A4 B32C64 D8C设A(s，t)，yx32x22的导数为y3x24x，可得切线的斜率为3s24s，切线方程为y4x6，可得3s24s4，t4s6，解得s2，t2或s，t.由点A在直线mxny10(其中m0，n0)，可得2m2n1，则(2m2n)2264，当且仅当nm时，取得最小值64，故选C.3(求切点的坐标)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为_(1,1)函数yex的导函数为yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01.设P(x0，y0)(x00)，函数y的导函数为y，曲线y
10、(x0)在点P处的切线的斜率k2，由题意知k1k21，即11，解得x1，又x00，x01.又点P在曲线y(x0)上，y01，故点P的坐标为(1,1)4(与圆锥曲线交汇)已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_4由已知可设P(4，y1)，Q(2，y2)，点P，Q在抛物线x22y上，P(4,8)，Q(2,2)又抛物线可化为yx2，yx.过点P的切线斜率为y|x44.过点P的切线为y84(x4)，即y4x8.又过点Q的切线斜率为y|x22，过点Q的切线为y22(x2)，即y2x2.联立得点A的纵坐标为4.考点2利用
11、导数研究函数的单调性高考串讲找规律高考解读教师授课资源以函数的单调性为载体，融一元二次不等式的解法、分类讨论思想、函数、方程、不等式的关系于一体，考查学生对知识的灵活应用能力，有一定的难度.角度一：讨论函数的单调性1(2018全国卷节选)已知函数f(x)xaln x.讨论f(x)的单调性解f(x)的定义域为(0，)，且f(x)1.()若a2，则f(x)0，当且仅当a2，x1时f(x)0，所以f(x)在(0，)单调递减()若a2，令f(x)0，得x或x.当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)在，单调递减，在单调递增角度二：已知函数的单调性求参数范围2(2016全国卷)若函数f(x)
12、xsin 2xasin x在(，)单调递增，则a的取值范围是()A1,1B.C. D.切入点：f(x)在(，)单调递增f(x)0在R上恒成立关键点：正确求解不等式f(x)0.Cf(x)1cos 2xacos x1(2cos2x1)acos xcos2xacos x，f(x)在R上单调递增，则f(x)0在R上恒成立，令cos xt，t1,1，则t2at0在1,1上恒成立，即4t23at50在1,1上恒成立，令g(t)4t23at5，则解得a，故选C.教师备选题(2014全国卷)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是()A(，2B(，1C2，) D1，)D利用函数单调性
13、与导函数的关系，将问题转化为恒成立问题由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而00恒成立，得x2或x1时，f(x)0，且x0；2x1时，f(x)1时，f(x)0.所以x1是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1.故选A.2(2019全国卷)已知函数f(x)2x3ax2b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间0,1的最小值为1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由切入点：(1)分a0，a0，a0三类讨论f(x)的单调性；(2)分析f(x)在0,1上的单调性，分情况求
14、a，b的值解(1)f(x)6x22ax2x(3xa)令f(x)0，得x0或x.若a0，则当x(，0)时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在(，0)，单调递增，在单调递减；若a0，f(x)在(，)单调递增；若a0，则当x(0，)时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在，(0，)单调递增，在单调递减(2)满足题设条件的a，b存在当a0时，由(1)知，f(x)在0,1单调递增，所以f(x)在区间0,1的最小值为f(0)b，最大值为f(1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当b1，2ab1，即a0，b1.当a3时，由(1)知，f(x)在0,1单调递减，所以f(x)在区间0,1的最大
15、值为f(0)b，最小值为f(1)2ab.此时a，b满足题设条件当且仅当2ab1，b1，即a4，b1.当0a3时，由(1)知，f(x)在0,1的最小值为fb，最大值为b或2ab.若b1，b1，则a3，与0a3矛盾若b1,2ab1，则a3或a3或a0，与0a3矛盾综上，当且仅当a0，b1或a4，b1时，f(x)在0,1的最小值为1，最大值为1.教师备选题1(2016全国卷)(1)讨论函数f(x)ex的单调性，并证明当x0时，(x2)exx20.(2)证明：当a0,1)时，函数g(x)(x0)有最小值设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域解(1)f(x)的定义域为(，2)(2，)f(x)
16、0，当且仅当x0时，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)上单调递增因此当x(0，)时，f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.(2)g(x)(f(x)a)由(1)知，f(x)a单调递增对任意a0,1)，f(0)aa10，f(2)aa0.因此，存在唯一xa(0,2，使得f(xa)a0，即g(xa)0.当0xxa时，f(x)a0，g(x)xa时，f(x)a0，g(x)0，g(x)单调递增因此g(x)在xxa处取得最小值，最小值为g(xa).于是h(a).由0，得y单调递增，所以，由xa(0,2，得h(a).因为y单调递增，对任意，存在唯一的xa(0,2，af(x
17、a)0,1)，使得h(a).所以h(a)的值域是.综上，当a0,1)时，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是.2(2018全国卷节选)已知函数f(x)(2xax2)ln(1x)2x.(1)若a0，证明：当1x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0；(2)若x0是f(x)的极大值点，求a.解(1)当a0时，f(x)(2x)ln(1x)2x，f(x)ln(1x).设函数g(x)f(x)ln(1x)，则g(x).当1x0时，g(x)0；当x0时，g(x)0.故当x1时，g(x)g(0)0，且仅当x0时，g(x)0，从而f(x)0，且仅当x0时，f(x)0.所以f(x)在(1，)单调递增又f(0
18、)0，故当1x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0.(2)若a0，由(1)知，当x0时，f(x)(2x)ln(1x)2x0f(0)，这与x0是f(x)的极大值点矛盾若a0，设函数h(x)ln(1x).由于当|x|min时，2xax20，故h(x)与f(x)符号相同又h(0)f(0)0，故x0是f(x)的极大值点，当且仅当x0是h(x)的极大值点h(x).如果6a10，则当0x，且|x|min时，h(x)0，故x0不是h(x)的极大值点如果6a10，则a2x24ax6a10存在根x10，故当x(x1,0)，且|x|min时，h(x)0，所以x0不是h(x)的极大值点如果6a10，则h(x)，则
19、当x(1,0)时，h(x)0；当x(0,1)时，h(x)0.所以x0是h(x)的极大值点，从而x0是f(x)的极大值点综上，a.函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号(2)已知函数求极值求f(x)求方程f(x)0的根列表检验f(x)在f(x)0的根的附近两侧的符号下结论(3)已知极值求参数若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f(x0)0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反考题变迁提素养1(知图判断函数极值)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论一定
20、成立的是()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点D绘制表格考查函数的性质如下：区间(，1)(1,1)(1，)1x符号y(1x)f(x)的符号f(x)符号f(x)的单调性单调递减单调递增单调递增据此可得，函数f(x)在x1处取得极小值，在x1处无极值故选D.2(已知最值求参数)已知函数f(x)ln x，若函数f(x)在1，e上的最小值为，则a的值为()A BC DeA由题意，f(x)，若a0，则f(x)0，函数单调递增，所以f(x)minf(1)a，矛盾；若ea1，函数f(x)在1，a上递减，在a，e上递增，所以f(a)，解得a
21、；若1a0，函数f(x)是递增函数，所以f(1)a，矛盾；若ae，函数f(x)单调递减，所以f(e)，解得a，矛盾综上a.故选A.3(已知极值点个数求参数范围)已知n0，若函数f(x)恰有三个极值点，则实数m的取值范围是_由题意知f(x)的导函数f(x)在定义域上有三个零点，且在这三个零点附近的左、右两侧的函数值异号当x0时，令2xn0，得x，因为n0，所以x是f(x)的一个零点，且f(x)在其附近的左、右两侧的函数值异号，故需f(x)2mxln x在(0，)上有两个零点，且在这两个零点附近的左、右两侧的函数值均异号，即y2mx与yln x的图象在(0，)上有两个交点，故m的取值范围是.4(极
22、值点个数的判断)已知函数f(x)ax1ln x(aR) .(1)讨论函数f(x)的定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x1处取得极值，x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的最大值解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，所以函数f(x)在(0，)上单调递减，f(x)在(0，)上没有极值点当a0时，由f(x)0得x.f(x)在上递减，在上递增，即f(x)在x处有极小值综上，当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点；当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点(2)函数f(x)在x1处取得极值，f(1)a10，则a1，从而f(x)x1ln x.x(0，)，f(x)bx2恒成立，x(0，)，1b恒成立令g(x)1，则g(x)，由g(x)0得xe2，则g(x)在(0，e2)上递减，在(e2，)上递增g(x)ming(e2)1，故实数b的最大值是1.
