1、2.2.3直线的一般式方程学 习 目 标核 心 素 养1.掌握直线的一般式方程(重点)2.理解关于x,y的二元一次方程AxByC0(A,B不同时为0)都表示直线(重点、难点)3.会进行直线方程的五种形式之间的转化(难点、易混点)通过学习直线五种形式的方程相互转化,提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养. 初中我们学习过二元一次方程,它的具体形式是AxByC0,前面我们又学习了直线方程的点斜式:yy0k(xx0),斜截式:ykxb,两点式和截距式:1.它们都可以化成为二元一次方程的这种形式,同时在一定条件下,这种形式也可以转化为斜截式和截距式,我们把AxByC0(A、B不同时为零)叫做直线的
2、一般式,下面进入今天的学习直线的一般式方程(1)定义:关于x,y的二元一次方程AxByC0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式(2)适用范围:平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示(3)系数的几何意义:当B0时,则k(斜率),b(y轴上的截距);当B0,A0时,则a(x轴上的截距),此时不存在斜率思考:当A0或B0或C0时,方程AxByC0分别表示什么样的直线?提示(1)若A0,则y,表示与y轴垂直的一条直线(2)若B0,则x,表示与x轴垂直的一条直线(3)若C0,则AxBy0,表示过原点的一条直线1思考辨析(正确的打“”,错误的打“”)(1)直线的一般式方程可以表
3、示平面内任意一条直线()(2)直线的其他形式的方程都可化为一般式()(3)关于x,y的二元一次方程AxByC0(A,B不同时为0)一定表示直线()提示(1)(2)(3)2若方程AxByC0表示直线,则A,B应满足的条件为()A A0 B B0C AB0D A2B20D方程AxByC0表示直线的条件为A,B不能同时为0,即A2B20. 故选D. 3已知直线2xayb0在x轴、y轴上的截距分别为1,2,则a,b的值分别为()A1,2 B2,2C2,2 D2,2Ay0时,x1,解得b2,当x0时,y2,解得a1.4直线3xy10的倾斜角为_60把3xy10化成斜截式得yx,k,倾斜角为60.5直线1
4、的一般式方程是_3x2y60由1得3x2y60.直线的一般式方程与其他形式的互化【例1】(1)已知直线l的一般式方程为2x3y60,请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程,并指出斜率和它在坐标轴上的截距(2)根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式斜率是,经过点A(8,2);经过点B(4,2),平行于x轴;在x轴和y轴上的截距分别是,3;经过两点P1(3,2),P2(5,4)解(1)由l的一般式方程2x3y60得斜截式方程为:yx2.截距式方程为:1.由此可知,直线的斜率为,在x轴、y轴上的截距分别为3,2.(2)由点斜式得y(2)(x8),即x2y40.由斜截式得y2,即y20.由截距式
5、得1,即2xy30.由两点式得,即xy10.1求直线一般式方程的方法2由直线方程的一般式转化为四种特殊形式时,一定要注意其运用的前提条件跟进训练1根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程(1)斜率是且经过点A(5,3);(2)经过A(1,5),B(2,1)两点;(3)在x,y轴上的截距分别是3,1.解(1)由点斜式方程可知,所求直线方程为y3(x5),化为一般式方程为xy350.(2)由两点式方程可知,所求直线方程为,化为一般式方程为2xy30.(3)由截距式方程可得,所求直线方程1,化为一般式方程为x3y30.直线的平行与垂直【例2】(1)已知直线l1:2x(m1)y40与直线l2:
6、mx3y20平行,求m的值;(2)当a为何值时,直线l1:(a2)x(1a)y10与直线l2:(a1)x(2a3)y20互相垂直思路探究利用两直线平行与垂直的条件,但要注意斜率的存在与否解法一:(1)由l1:2x(m1)y40,l2:mx3y20知:当m0时,显然l1与l2不平行当m0时,要使l1l2,需.解得m2或m3,m的值为2或3.(2)由题意知,直线l1l2.若1a0,即a1时,直线l1:3x10与直线l2:5y20显然垂直若2a30,即a时,直线l1:x5y20与直线l2:5x40不垂直若1a0且2a30,则直线l1,l2的斜率k1,k2都存在,k1,k2.当l1l2时,k1k21,
7、即1,a1.综上可知,当a1或a1时,直线l1l2.法二:(1)令23m(m1),解得m3或m2.当m3时,l1:xy20,l2:3x3y20,显然l1与l2不重合,l1l2.同理当m2时,l1:2x3y40,l2:2x3y20,显然l1与l2不重合,l1l2,m的值为2或3.(2)由题意知直线l1l2,(a2)(a1)(1a)(2a3)0,解得a1,将a1代入方程,均满足题意故当a1或a1时,直线l1l2.1直线l1:A1xB1yC10,直线l2:A2xB2yC20,(1)若l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10(或A1C2A2C10)(2)若l1l2A1A2B1B20.2与直线Ax
8、ByC0平行的直线方程可设为AxBym0(mC),与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAym0.跟进训练2已知直线l1:xmy60,直线l2:(m2)x3y2m0.求m的值,使得l1和l2:(1)l1l2;(2)l1l2.解(1)由13m(m2)0得,m1或m3.当m1时,l1:xy60,l2:3x3y20.两直线显然不重合,即l1l2.当m3时,l1:x3y60,l2:x3y60.两直线重合故l1l2时,m的值为1.(2)由1(m2)m30得m,故l1l2时m的值为.含参数的直线一般式方程问题探究问题1直线kxy13k0是否过定点? 若过定点,求出定点坐标提示kxy13k0可化为y1k
9、(x3),由点斜式方程可知该直线过定点(3,1)2若直线ykxb(k0)不经过第四象限,k,b应满足什么条件?提示若直线ykxb(k0)不经过第四象限,则应满足k0且b0.【例3】已知直线l:5ax5ya30.(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限;(2)为使直线l不经过第二象限,求a的取值范围思路探究(1)当直线恒过第一象限内的一定点时,必然可得该直线总经过第一象限;(2)直线不过第二象限即斜率大于0且与y轴的截距不大于0.解(1)证明:法一:将直线l的方程整理为ya,直线l的斜率为a,且过定点A,而点A在第一象限内,故不论a为何值,l恒过第一象限法二:直线l的方程可化为(5x1)a
10、(5y3)0.上式对任意的a总成立,必有即即l过定点A. 以下同法一(2)直线OA的斜率为k3.如图所示,要使l不经过第二象限,需斜率akOA3,a3.1本例中若直线在y轴的截距为2,求字母a的值,这时直线的一般式方程是什么?解把方程5ax5ya30化成斜截式方程为yax.由条件可知2解得a7,这时直线方程的一般式为:7xy20.2本例中,a为何值时,已知直线与2xy30平行?垂直?解若两直线平行时,则解得a2,若两直线垂直时,则5a2(5)(1)0,解得a,故a2时,两直线平行;a时两直线垂直3本例中将方程改为“x(a1)ya20”,若直线不经过第二象限,则a的取值范围又是什么?解(1)当a
11、10,即a1时,直线为x3,该直线不经过第二象限,满足要求(2)当a10,即a1时,直线化为斜截式方程为yx,因为直线不过第二象限,故该直线的斜率大于等于零,且在y轴的截距小于等于零,即解得,所以a1.综上可知a1.直线恒过定点的求解策略(1)将方程化为点斜式,求得定点的坐标;(2)将方程变形,把x, y看作参数的系数,因为此式子对于任意的参数的值都成立,故需系数为零,解方程组可得x, y的值,即为直线过的定点1直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化一般式斜截式截距式AxByC0 (A,B不同时为0)yx(B0)1(A、B、C0)2.两个重要结论结论1:平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于
12、x、y的二元一次方程AxByC0(A、B不同时为零)来表示结论2:任何关于x、y的二元一次方程AxByC0(A、B不同时为零)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线3根据两直线的一般式方程判定两直线平行和垂直的方法一般地,设直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20.(1)l1l2(2)l1l2A1A2B1B20.1如果axbyc0表示的直线是y轴,则系数a,b,c满足条件()Abc0 Ba0Cbc0且a0 Da0且bc0Dy轴方程表示为x0,所以a,b,c满足条件为bc0,a0.2直线xy10与坐标轴所围成的三角形的面积为()A B2 C1 DD由题意得直线与坐标轴交点为(1,0)
13、,(0,1),故三角形面积为.3斜率为2,且经过点P(1,3)的直线的一般式方程为_2xy10由点斜式的y32(x1),整理得2xy104直线x3y40与直线mx4y10互相垂直,则实数m的值为_12因为两条直线垂直,1m340,解得m12.5已知直线l的方程为3x4y120,求直线l的一般式方程,l满足(1)过点(1,3),且与l平行;(2)过点(1,3),且与l垂直解法一:(1)由题设l的方程可化为yx3,l的斜率为.由l与l平行,l的斜率为.又l过(1,3),由点斜式知方程为y3(x1),即3x4y90.(2)由l与l垂直,l的斜率为,又l过(1,3),由点斜式可得方程为y3(x1),即4x3y130.法二:(1)由l与l平行,可设l方程为3x4ym0.将点(1,3)代入上式得m9.所求直线方程为3x4y90.(2)由l与l垂直,可设其方程为4x3yn0.将(1,3)代入上式得n13.所求直线方程为4x3y130.