1、2.2.3直线的一般式方程学 习 目 标核 心 素 养1.掌握直线的一般式方程(重点)2.理解关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同时为0)都表示直线(重点、难点)3.会进行直线方程的五种形式之间的转化(难点、易混点)通过学习直线五种形式的方程相互转化，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养. 初中我们学习过二元一次方程，它的具体形式是AxByC0，前面我们又学习了直线方程的点斜式：yy0k(xx0)，斜截式：ykxb，两点式和截距式：1.它们都可以化成为二元一次方程的这种形式，同时在一定条件下，这种形式也可以转化为斜截式和截距式，我们把AxByC0(A、B不同时为零)叫做直线的
2、一般式，下面进入今天的学习直线的一般式方程(1)定义：关于x，y的二元一次方程AxByC0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示(3)系数的几何意义：当B0时，则k(斜率)，b(y轴上的截距)；当B0，A0时，则a(x轴上的截距)，此时不存在斜率思考：当A0或B0或C0时，方程AxByC0分别表示什么样的直线？提示(1)若A0，则y，表示与y轴垂直的一条直线(2)若B0，则x，表示与x轴垂直的一条直线(3)若C0，则AxBy0，表示过原点的一条直线1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线的一般式方程可以表
3、示平面内任意一条直线()(2)直线的其他形式的方程都可化为一般式()(3)关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同时为0)一定表示直线()提示(1)(2)(3)2若方程AxByC0表示直线，则A，B应满足的条件为()A A0 B B0C AB0D A2B20D方程AxByC0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2B20. 故选D. 3已知直线2xayb0在x轴、y轴上的截距分别为1，2，则a，b的值分别为()A1,2 B2,2C2，2 D2，2Ay0时，x1，解得b2，当x0时，y2，解得a1.4直线3xy10的倾斜角为_60把3xy10化成斜截式得yx，k，倾斜角为60.5直线1
4、的一般式方程是_3x2y60由1得3x2y60.直线的一般式方程与其他形式的互化【例1】(1)已知直线l的一般式方程为2x3y60，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距(2)根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式斜率是，经过点A(8，2)；经过点B(4,2)，平行于x轴；在x轴和y轴上的截距分别是，3；经过两点P1(3，2)，P2(5，4)解(1)由l的一般式方程2x3y60得斜截式方程为：yx2.截距式方程为：1.由此可知，直线的斜率为，在x轴、y轴上的截距分别为3,2.(2)由点斜式得y(2)(x8)，即x2y40.由斜截式得y2，即y20.由截距式
5、得1，即2xy30.由两点式得，即xy10.1求直线一般式方程的方法2由直线方程的一般式转化为四种特殊形式时，一定要注意其运用的前提条件跟进训练1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程(1)斜率是且经过点A(5,3)；(2)经过A(1,5)，B(2，1)两点；(3)在x，y轴上的截距分别是3，1.解(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y3(x5)，化为一般式方程为xy350.(2)由两点式方程可知，所求直线方程为，化为一般式方程为2xy30.(3)由截距式方程可得，所求直线方程1，化为一般式方程为x3y30.直线的平行与垂直【例2】(1)已知直线l1：2x(m1)y40与直线l2：
6、mx3y20平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a2)x(1a)y10与直线l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直思路探究利用两直线平行与垂直的条件，但要注意斜率的存在与否解法一：(1)由l1：2x(m1)y40，l2：mx3y20知：当m0时，显然l1与l2不平行当m0时，要使l1l2，需.解得m2或m3，m的值为2或3.(2)由题意知，直线l1l2.若1a0，即a1时，直线l1：3x10与直线l2：5y20显然垂直若2a30，即a时，直线l1：x5y20与直线l2：5x40不垂直若1a0且2a30，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1，k2.当l1l2时，k1k21，
7、即1，a1.综上可知，当a1或a1时，直线l1l2.法二：(1)令23m(m1)，解得m3或m2.当m3时，l1：xy20，l2：3x3y20，显然l1与l2不重合，l1l2.同理当m2时，l1：2x3y40，l2：2x3y20，显然l1与l2不重合，l1l2，m的值为2或3.(2)由题意知直线l1l2，(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a1，将a1代入方程，均满足题意故当a1或a1时，直线l1l2.1直线l1：A1xB1yC10，直线l2：A2xB2yC20，(1)若l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10(或A1C2A2C10)(2)若l1l2A1A2B1B20.2与直线Ax
8、ByC0平行的直线方程可设为AxBym0(mC)，与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAym0.跟进训练2已知直线l1：xmy60，直线l2：(m2)x3y2m0.求m的值，使得l1和l2：(1)l1l2；(2)l1l2.解(1)由13m(m2)0得，m1或m3.当m1时，l1：xy60，l2：3x3y20.两直线显然不重合，即l1l2.当m3时，l1：x3y60，l2：x3y60.两直线重合故l1l2时，m的值为1.(2)由1(m2)m30得m，故l1l2时m的值为.含参数的直线一般式方程问题探究问题1直线kxy13k0是否过定点？ 若过定点，求出定点坐标提示kxy13k0可化为y1k
9、(x3)，由点斜式方程可知该直线过定点(3,1)2若直线ykxb(k0)不经过第四象限，k，b应满足什么条件？提示若直线ykxb(k0)不经过第四象限，则应满足k0且b0.【例3】已知直线l：5ax5ya30.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围思路探究(1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限；(2)直线不过第二象限即斜率大于0且与y轴的截距不大于0.解(1)证明：法一：将直线l的方程整理为ya，直线l的斜率为a，且过定点A，而点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限法二：直线l的方程可化为(5x1)a
10、(5y3)0.上式对任意的a总成立，必有即即l过定点A. 以下同法一(2)直线OA的斜率为k3.如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率akOA3，a3.1本例中若直线在y轴的截距为2，求字母a的值，这时直线的一般式方程是什么？解把方程5ax5ya30化成斜截式方程为yax.由条件可知2解得a7，这时直线方程的一般式为：7xy20.2本例中，a为何值时，已知直线与2xy30平行？垂直？解若两直线平行时，则解得a2，若两直线垂直时，则5a2(5)(1)0，解得a，故a2时，两直线平行；a时两直线垂直3本例中将方程改为“x(a1)ya20”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？解(1)当a
11、10，即a1时，直线为x3，该直线不经过第二象限，满足要求(2)当a10，即a1时，直线化为斜截式方程为yx，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即解得，所以a1.综上可知a1.直线恒过定点的求解策略(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标；(2)将方程变形，把x, y看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x, y的值，即为直线过的定点1直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化一般式斜截式截距式AxByC0 (A，B不同时为0)yx(B0)1(A、B、C0)2.两个重要结论结论1：平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于
12、x、y的二元一次方程AxByC0(A、B不同时为零)来表示结论2：任何关于x、y的二元一次方程AxByC0(A、B不同时为零)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线3根据两直线的一般式方程判定两直线平行和垂直的方法一般地，设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.(1)l1l2(2)l1l2A1A2B1B20.1如果axbyc0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件()Abc0 Ba0Cbc0且a0 Da0且bc0Dy轴方程表示为x0，所以a，b，c满足条件为bc0，a0.2直线xy10与坐标轴所围成的三角形的面积为()A B2 C1 DD由题意得直线与坐标轴交点为(1,0)
13、，(0，1)，故三角形面积为.3斜率为2，且经过点P(1,3)的直线的一般式方程为_2xy10由点斜式的y32(x1)，整理得2xy104直线x3y40与直线mx4y10互相垂直，则实数m的值为_12因为两条直线垂直，1m340，解得m12.5已知直线l的方程为3x4y120，求直线l的一般式方程，l满足(1)过点(1,3)，且与l平行；(2)过点(1,3)，且与l垂直解法一：(1)由题设l的方程可化为yx3，l的斜率为.由l与l平行，l的斜率为.又l过(1,3)，由点斜式知方程为y3(x1)，即3x4y90.(2)由l与l垂直，l的斜率为，又l过(1,3)，由点斜式可得方程为y3(x1)，即4x3y130.法二：(1)由l与l平行，可设l方程为3x4ym0.将点(1,3)代入上式得m9.所求直线方程为3x4y90.(2)由l与l垂直，可设其方程为4x3yn0.将(1,3)代入上式得n13.所求直线方程为4x3y130.