1、江苏省无锡市环科园联盟2016届九年级数学上学期期中试题一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题的四个选项中，只有一个符合题意）1下列方程7x28x=1 2x25xy+6y2=0 5x21=0 =3y中是一元二次方程的为( )ABCD2下列方程中两根之和等于1的是( )Ax2+x+1=0Bx2x=1Cx2x100=0D3在平面直角坐标系中，以O为圆心的圆过点A（0，4），则点B（2，3）与O的位置关系是( )A在圆内B在圆外C在圆上D无法确定4关于x的方程（a5）x24x1=0有实数根，则a满足( )Aa1Ba1且a5Ca1且a5Da55如图，ABC中，DEBC，且DE：B
2、C=2：3，则下列结论一定正确的是( )AAD：DE=2：3BAD：BD=2：3CAD：AE=2：3DAD：AB=2：36如图，在ABC中，ACB=90，CDAB于点D，则图中相似三角形共有( )A1对B2对C3对D4对7已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是( )A6B2C2或3D4或68如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与ABC相似的是( )ABCD9如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M，N重合，当P点在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值( )A变大B变小C不变D不能确定10
3、如图，在菱形纸片ABCD中，A=60，将纸片折叠，点A、D分别落在点A、D处，且AD经过点B，EF为折痕，当DFCD时，的值为( )ABCD二、仔细填一填（本大题共8小题，每空2分，共16分）11若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_12如果=k（b+d+f0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=_13某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是_14已知（x2+y2+1）（x2+y23）=5，则x2+y2的值等于_15若a，b是方程x2+x2015=0的两实数根，则a2+2a+b=_16如图
4、，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为_cm17如图，在梯形ABCD中，ABDC，ABBC，AB=2cm，CD=4cm以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且AOD=90，则圆心O到弦AD的距离是_cm18如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y=x3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为_三、精心做一做（本大题共9小题，满分84分）19（16分）用适当的方法解下列方程（1）4x21=0（2）x24x+1=0（配方法）（3）5（x+2）=4x（x+2）（4）x22x3=020已知x=1是方程x2+m
5、x5=0的一个根，求m的值及方程的另一个根21已知：ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）（1）画出ABC向下平移4个单位长度得到的A1B1C1，点C1的坐标是_；（2）以点B为位似中心，在网格内画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是_；（3）A2B2C2的面积是_平方单位22如图，在O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3（1）求O的半径； （2）若点P是AB上的一动点，试求线段OP的取值范围23如图，在ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的
6、点，且APD=B（1）求证：ACCD=CPBP；（2）若AB=10，BC=12，当PDAB时，求BP的长24万圣节两周前，某商店购进1000个万圣节面具，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；随着万圣节的临近，预计第二周若按每个10元的价格销售可售出400个，但商店为了尽快减少库存，决定单价降价x元销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价）；节后，商店对剩余面具清仓处理，以第一周售价的四折全部售出（1）当单价降低2元时，计算第二周的销售量和售完这批面具的总利润；（2）如果销售完这批面具共获利1300元，问第二周每个面具的销售价格为多少元？25如图
7、，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若MCQAMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由26阅读下面短文：如图，ABC是直角三角形，C=90，现将ABC补成矩形，使ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图）解答问题：（1）设图中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1_S2（填“”“=”或“”）（
8、2）如图，ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画_个，利用图把它画出来（3）如图，ABC是锐角三角形且三边满足BCACAB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出_个，利用图把它画出来（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？27如图，RtABC中，C=90，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0x3）把PCQ绕点P旋转，得到PDE，点D落在线段PQ上（1）求证：PQAB；（2）若点D在BAC的平分线上，求CP的长；（3）若PDE与ABC重叠部分图形的周长为T，且12T16，求x的取值范围2
9、015-2016学年江苏省无锡市环科园联盟九年级（上）期中数学试卷一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题的四个选项中，只有一个符合题意）1下列方程7x28x=1 2x25xy+6y2=0 5x21=0 =3y中是一元二次方程的为( )ABCD【考点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案【解答】解：7x28x=1是一元二次方程，2x25xy+6y2=0 是二元二次方程，5x21=0是分式方程，=3y是一元二次方程，故选：C【点评】本题考
10、查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是22下列方程中两根之和等于1的是( )Ax2+x+1=0Bx2x=1Cx2x100=0D【考点】根与系数的关系 【专题】计算题【分析】根据根的判别式对A、B、D进行判断；根据根与系数的关系对C进行判断【解答】解：A、=12410，方程没有实数解，所以A选项错误；B、x2x+1=0，=（1）2410，方程没有实数解，所以B选项错误；C、x1+x2=1，所以C选项正确；D、=1240，方程没有实数解，所以D选项错误故选C【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2
11、是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=3在平面直角坐标系中，以O为圆心的圆过点A（0，4），则点B（2，3）与O的位置关系是( )A在圆内B在圆外C在圆上D无法确定【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质 【分析】由已知条件可知圆的半径为4，再根据勾股定理可求出OB的长，和圆的半径4比较大小即可判断点B和O的位置关系【解答】解：以O为圆心的圆过点A（0，4），圆的半径r=4，点B（2，3），OB=4，点B（2，3）与O的位置关系是在圆内，故选A【点评】本题考查了点与圆的位置关系的判断解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与半径进行比较，进而得出结
12、论4关于x的方程（a5）x24x1=0有实数根，则a满足( )Aa1Ba1且a5Ca1且a5Da5【考点】根的判别式 【专题】判别式法【分析】由于x的方程（a5）x24x1=0有实数根，那么分两种情况：（1）当a5=0时，方程一定有实数根；（2）当a50时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值范围【解答】解：分类讨论：当a5=0即a=5时，方程变为4x1=0，此时方程一定有实数根；当a50即a5时，关于x的方程（a5）x24x1=0有实数根16+4（a5）0，a1a的取值范围为a1故选：A【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程
13、有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件5如图，ABC中，DEBC，且DE：BC=2：3，则下列结论一定正确的是( )AAD：DE=2：3BAD：BD=2：3CAD：AE=2：3DAD：AB=2：3【考点】平行线分线段成比例 【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果【解答】解：DEBC，=，AD：AB=2：3，故选：D【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，由平行线得出比例式是解题的关键6如图，在ABC中，ACB=90，CDAB于点D，则图中相似三角形共有(
14、 )A1对B2对C3对D4对【考点】相似三角形的判定 【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形【解答】解：ACB=90，CDAB，ABCACD，ACDCBD，ABCCBD，所以有三对相似三角形故选C【点评】本题主要考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（3）三边对应成比例的两个三角形相似7已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是( )A6B2C2或3D4或6【考点】点与圆的位置关系 【分析】点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：当点在圆内时，直径=最小距离+最大距离；当点在圆外
15、时，直径=最大距离最小距离【解答】解：分为两种情况：当点M在圆内时，如图1，点到圆上的最小距离MB=1，最大距离MA=5，直径AB=1+5=6，半径r=3；当点M在圆外时，如图2，点到圆上的最小距离MB=1，最大距离MA=5，直径AB=51=4，半径r=2故选C【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键8如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与ABC相似的是( )ABCD【考点】相似三角形的判定 【专题】网格型【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案
16、【解答】解：小正方形的边长均为1ABC三边分别为2，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，；只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为故选B【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用9如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M，N重合，当P点在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值( )A变大B变小C不变D不能确定【考点】圆的认识；勾股定理；矩形的性质 【分析】连接OP，根据勾股定理以及矩形的性质定理即可求解【解答】解：直角PAB中，
17、AB2=PA2+PB2，又矩形PAOB中，OP=AB，PA2+PB2=AB2=OP2故选C【点评】本题考查的是圆的认识，涉及到矩形的性质定理以及勾股定理，正确作出辅助线是关键10如图，在菱形纸片ABCD中，A=60，将纸片折叠，点A、D分别落在点A、D处，且AD经过点B，EF为折痕，当DFCD时，的值为( )ABCD【考点】翻折变换（折叠问题） 【专题】压轴题【分析】首先延长DC与AD交于点M，由四边形ABCD是菱形与折叠的性质，易求得BCM是等腰三角形，DFM是含30角的直角三角形，然后设CF=x，DF=DF=y，利用正切函数的知识，即可求得答案【解答】解：延长DC与AD，交于点M，在菱形纸
18、片ABCD中，A=60，DCB=A=60，ABCD，D=180A=120，根据折叠的性质，可得ADF=D=120，FDM=180ADF=60，DFCD，DFM=90，M=90FDM=30，BCM=180BCD=120，CBM=180BCMM=30，CBM=M=30，BC=CM，设CF=x，DF=DF=y，则BC=CM=CD=CF+DF=x+y，FM=CM+CF=2x+y，在RtDFM中，tanM=tan30=，x=y，=故选：A【点评】此题考查了折叠的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的性质此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用二、
19、仔细填一填（本大题共8小题，每空2分，共16分）11若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是4：9【考点】相似三角形的性质 【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可【解答】解：两个相似三角形的周长比为2：3，这两个相似三角形的相似比为2：3，它们的面积比是4：9故答案为：4：9【点评】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键12如果=k（b+d+f0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=3【考点】比例的性质 【分析】根据等比性质，可得答案【解答】解：由等比性质，得k=3，故答案为：3【点评】本题考查了
20、比例的性质，利用了等比性质：=kk=13某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是20%【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1x），第二次后的价格是25（1x）2，据此即可列方程求解【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，故25（1x）2=16，解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去），故该药品平均每次降价的百分率为20%【点评】
21、本题考查数量平均变化率问题原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1x），再经过第二次调整就是a（1x）（1x）=a（1x）2增长用“+”，下降用“”14已知（x2+y2+1）（x2+y23）=5，则x2+y2的值等于4【考点】换元法解一元二次方程；解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题【分析】首先把x2+y2当作一个整体，设x2+y2=k，方程即可变形为关于k的一元二次方程，解方程即可求得k即x2+y2的值【解答】解：设x2+y2=k（k+1）（k3）=5k22k3=5，即k22k8=0k=4，或k=2又x2+y2的值一定是非负数x2+y2
22、的值是4故答案为：4【点评】此题注意把x2+y2看作一个整体，然后运用因式分解法解方程，最后注意根据式子的形式分析值的取舍15若a，b是方程x2+x2015=0的两实数根，则a2+2a+b=2014【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a2015=0，即a2+a=2015，则a2+2a+b可化为a2+a+a+b=2015+a+b，然后利用根与系数的关系得到a+b=1，再利用整体代入的方法计算即可【解答】解：a是方程x2+x2015=0的根，a2+a2015=0，即a2+a=2015，a2+2a+b=a2+a+a+b=2015+a+b，a，b是方
23、程x2+x2015=0的两个实数根，a+b=1，a2+2a+b=2015+（1）=2014故答案为：2014【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=16如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为cm【考点】勾股定理；正方形的性质；圆的认识 【分析】已知小正方形的面积即可求得边长，在直角ACE中，利用勾股定理即可求解【解答】解：如图，圆心为A，设大正方形的边长为2x，圆的半径为R，正方形有两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧，AE=
24、BC=x，CE=2x；小正方形的面积为16cm2，小正方形的边长EF=DF=4，由勾股定理得，R2=AE2+CE2=AF2+DF2，即x2+4x2=（x+4）2+42，解得，x=4，R=4cm，故答案为：4【点评】本题考查了勾股定理的运用和正方形的性质，解题的关键是正确的做出辅助线构造直角三角形17如图，在梯形ABCD中，ABDC，ABBC，AB=2cm，CD=4cm以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且AOD=90，则圆心O到弦AD的距离是cm【考点】垂径定理；直角三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的判定；直角梯形 【专题】压轴题【分析】本题的综合性质较
25、强，根据全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形的性质可知【解答】解：如图，作AECD，垂足为E，OFAD，垂足为F，则四边形AECB是矩形，CE=AB=2cm，DE=CDCE=42=2cm，AOD=90，AO=OD，所以AOD是等腰直角三角形，AO=OD，OAD=ADO=45，BO=CD，ABCD，BAD+ADC=180ODC+OAB=90，ODC+DOC=90，DOC=BAO，B=C=90ABOOCD，OC=AB=2cm，OB=CD=4cm，BC=BO+OC=AE=6cm，由勾股定理知，AD2=AE2+DE2，得AD=2cm，AO=OD=2cm，SAOD=AO
26、DO=ADOF，OF=cm【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形的性质求解18如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y=x3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为【考点】一次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短 【分析】认真审题，根据垂线段最短得出PMAB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用PBMABO，即可求出本题的答案【解答】解：如图，过点P作PMAB，则：PMB=90，当PMAB时，PM最短，因为直线y=x3与x轴、y轴分别交于点A，B，可得点A的坐标为（4，0），
27、点B的坐标为（0，3），在RtAOB中，AO=4，BO=3，AB=5，BMP=AOB=90，B=B，PB=OP+OB=7，PBMABO，=，即：，所以可得：PM=【点评】本题主要考查了垂线段最短，以及三角形相似的性质与判定等知识点，是综合性比较强的题目，注意认真总结三、精心做一做（本大题共9小题，满分84分）19（16分）用适当的方法解下列方程（1）4x21=0（2）x24x+1=0（配方法）（3）5（x+2）=4x（x+2）（4）x22x3=0【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法 【分析】（1）通过移项，化二次项系数为1，利用直接开平方法解
28、方程；（2）解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数；（3）方程移项分解后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；（4）等式的左边利用“十字相乘法”进行因式分解【解答】解：（1）由原方程，得4x2=1，x2=，解得x1=，x2=；（2）方程变形得：x24x=1，配方得：x24x+4=3，即（x2）2=3，开方得：x2=，则x1=2+，x2=2（3）移项得：5（x+2）4x（x+2）=0，分解因式得：（54x）（x+2）=0，可得54x=0或x+2=0，解得：x1=，x2=2（4）x22x3=0，（x3）（x+1）=0，则x3=0或x+
29、1=0，解得x1=3，x2=1【点评】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法20已知x=1是方程x2+mx5=0的一个根，求m的值及方程的另一个根【考点】一元二次方程的解 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入关于x的一元二次方程x2+mx5=0，求得m的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根【解答】解：设方程的另一根为x2关于x的一元二次方程x2+mx5=0的一个根是1，x=1满足关于x的一元二次方程x2+mx5=0，（1）2m5=0，解得m=4；又由韦达定理知1x2=5，解得x2=5即方程
30、的另一根是5【点评】本题主要考查了一元二次方程的解一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立21已知：ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）（1）画出ABC向下平移4个单位长度得到的A1B1C1，点C1的坐标是（2，2）；（2）以点B为位似中心，在网格内画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0）；（3）A2B2C2的面积是10平方单位【考点】作图-位似变换；作图-平移变换 【专题】作图题
31、【分析】（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可；（3）利用等腰直角三角形的性质得出A2B2C2的面积【解答】解：（1）如图所示：C1（2，2）；故答案为：（2，2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，A2B2C2是等腰直角三角形，A2B2C2的面积是：20=10平方单位故答案为：10【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键22如图，在O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3（1）求O的半径； （2）若点P是A
32、B上的一动点，试求线段OP的取值范围【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】（1）作OCAB于点C，构造直角三角形，利用勾股定理求得半径即可；（2）最长等于半径，最小等于弦心距【解答】解：（1）作OCAB于点C，圆心O到AB的距离为3，OC=3，弦AB的长为8，AC=BC=4，OA=5，O的半径为5；（2）点P是AB上的一动点，3PO5【点评】本题考查了垂径定理的知识，平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，需要同学们熟练掌握23如图，在ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且APD=B（1）求证：ACCD=CPBP；（2）若AB=10，BC=12，当PDAB时，求BP的
33、长【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】（1）易证APD=B=C，从而可证到ABPPCD，即可得到=，即ABCD=CPBP，由AB=AC即可得到ACCD=CPBP；（2）由PDAB可得APD=BAP，即可得到BAP=C，从而可证到BAPBCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长【解答】解：（1）AB=AC，B=CAPD=B，APD=B=CAPC=BAP+B，APC=APD+DPC，BAP=DPC，ABPPCD，=，ABCD=CPBPAB=AC，ACCD=CPBP；（2）PDAB，APD=BAPAPD=C，BAP=CB=B，BAPBCA，=AB=10，BC=12，=，BP=【点评】本题主
34、要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明ACCD=CPBP转化为证明ABCD=CPBP是解决第（1）小题的关键，证到BAP=C进而得到BAPBCA是解决第（2）小题的关键24万圣节两周前，某商店购进1000个万圣节面具，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；随着万圣节的临近，预计第二周若按每个10元的价格销售可售出400个，但商店为了尽快减少库存，决定单价降价x元销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价）；节后，商店对剩余面具清仓处理，以第一周售价的四折全部售出（1）当单价降低2元时，计算第二
35、周的销售量和售完这批面具的总利润；（2）如果销售完这批面具共获利1300元，问第二周每个面具的销售价格为多少元？【考点】一元二次方程的应用 【专题】销售问题【分析】（1）第二周的销售量=400+100x利润=售价成本价；（2）根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可【解答】解：（1）第二周的销售量为：400+100x=400+100x=400+1002=600总利润为：200（106）+（86）600+200（46）=1600答：当单价降低2元时，第二周的销售量为600和售完这批面具的总利润1600；（2）由题意得出：200（106）+（10x6）（400+1
36、00x）+（46）（1000200）（400+100x）=1300，整理得：x22x3=0，解得：x1=3；x2=1（舍去），103=7（元）答：第二周的销售价格为7元【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出两周的利润是解题关键25如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若MCQAMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
37、 【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=BC，ABC=C，然后利用“边角边”证明ABM和BCP全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BP，BAM=CBP，再求出AMBP，从而得到MNBP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）根据同角的余角相等求出BAM=CMQ，然后求出ABM和MCQ相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，再求出AMQABM，根据相似三角形对应边成比例可得=，从而得到=，即可得解【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，ABC=C，在ABM和BCP中，ABMBCP（SAS），AM=BP，BAM=CBP，BAM+AMB=90，CBP+AMB
38、=90，AMBP，AM并将线段AM绕M顺时针旋转90得到线段MN，AMMN，且AM=MN，MNBP，四边形BMNP是平行四边形；（2）解：BM=MC理由如下：BAM+AMB=90，AMB+CMQ=90，BAM=CMQ，又ABC=C=90，ABMMCQ，=，MCQAMQ，AMQABM，=，=，BM=MC【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，（1）求出两个三角形全等是解题的关键，（2）根据相似于同一个三角形的两个三角形相似求出AMQABM是解题的关键26阅读下面短文：如图，ABC是直角三角形，C=90，现将ABC补成矩形，使ABC的两个顶
39、点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图）解答问题：（1）设图中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1=S2（填“”“=”或“”）（2）如图，ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画1个，利用图把它画出来（3）如图，ABC是锐角三角形且三边满足BCACAB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出3个，利用图把它画出来（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？【考点】矩形的性质 【专题】代数几何综合题；压轴题【分析】（1）易得原有三角形
40、都等于所画矩形的一半，那么这两个矩形的面积相等（2）可仿照图2矩形ABFE的画法得到矩形由于C非直角，所以只有一种情况（3）可让原锐角三角形的任意一边为矩形的一边，另一顶点在矩形的另一边的对边上，可得三种情况（4）根据三个矩形的面积相等，利用求差法比较三个矩形的周长即可【解答】解：（1）=（2）1（3）3（4）以AB为边长的矩形周长最小，设矩形BCED，ACHQ，ABGF的周长分别为L1，L2，L3，BC=a，AC=b，AB=c易得三个矩形的面积相等，设为S，L1=+2a；L2=+2b；L3=+2cL1L2=2（ab）而ab0，abs0，ab0L1L20，L1L2，同理可得L2L3以AB为边长
41、的矩形周长最小【点评】注意运用类比的方法画图；要比较两个数或式子的大小，一般采用求差法27如图，RtABC中，C=90，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0x3）把PCQ绕点P旋转，得到PDE，点D落在线段PQ上（1）求证：PQAB；（2）若点D在BAC的平分线上，求CP的长；（3）若PDE与ABC重叠部分图形的周长为T，且12T16，求x的取值范围【考点】几何变换综合题 【专题】压轴题【分析】（1）先根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定定理得出PQCBAC，由相似三角形的性质得出CPQ=B，由此可得出结论；（2）连接AD，根据PQAB可知AD
42、Q=DAB，再由点D在BAC的平分线上，得出DAQ=DAB，故ADQ=DAQ，AQ=DQ在RtCPQ中根据勾股定理可知，AQ=124x，故可得出x的值，进而得出结论；（3）当点E在AB上时，根据等腰三角形的性质求出x的值，再分0x；x3两种情况进行分类讨论【解答】（1）证明：在RtABC中，AB=15，BC=9，AC=12=，=，=C=C，PQCBAC，CPQ=B，PQAB；（2）解：连接AD，PQAB，ADQ=DAB点D在BAC的平分线上，DAQ=DAB，ADQ=DAQ，AQ=DQ在RtCPQ中，PQ=5x，PD=PC=3x，DQ=2xAQ=124x，124x=2x，解得x=2，CP=3x=
43、6（3）解：当点E在AB上时，PQAB，DPE=PEBCPQ=DPE，CPQ=B，B=PEB，PB=PE=5x，3x+5x=9，解得x=当0x时，T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x，此时0T；当x3时，设PE交AB于点G，DE交AB于F，作GHFQ，垂足为H，HG=DF，FG=DH，RtPHGRtPDE，=PG=PB=93x，=，GH=（93x），PH=（93x），FG=DH=3x（93x），T=PG+PD+DF+FG=（93x）+3x+（93x）+3x（93x）=x+，此时，T18当0x3时，T随x的增大而增大，T=12时，即12x=12，解得x=1；TA=16时，即x+=16，解得x=12T16，x的取值范围是1x【点评】本题考查的是几何变换综合题，涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论
