1、第11课时 导数的应用(一)(一)考纲点击 1了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)(二)命题趋势1利用导数的有关知识，研究函数的单调性、极值、最值2讨论含参数的函数的单调性、极值问题 1函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减(2)已知a0，函数f(
2、x)x3ax在1，)上是单调增函数，则a的最大值是_解 析：f(x)3x2 a在 x1，)上f(x)0，则f(1)0a3.答案：3 2函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0(2)求可导函数极值的步骤 求f(x)；求方程的根；检查f(x)在方程的根的左右两侧导数值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得f(x)0f(x)0极大值极小值对点演练(1)(教材习题改编)
3、若函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a等于()A2B3C4 D5解析：f(x)3x22ax3，f(3)0，a5.答案：D(2)(2012陕西)设 函数 f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析：求导得f(x)exxexex(x1)，令f(x)ex(x1)0，解得x1，易知x1是函数f(x)的极小值点答案：D 3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减
4、，则为函数的最大值，为函数的最小值f(a)f(b)f(a)f(b)(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的；将f(x)的各极值与进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值极值f(a)，f(b)1可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较 2可导函数yf(x)，f(x)0(或f(x)0)在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增(或递减)的充分不必要条件 3对于可导函数f(x)，f(x0)0是函
5、数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件 4已知含参函数f(x)在某个区间上递增(或递减)，求参数范围时，常利用f(x)0(或f(x)0)恒成立确定参数的范围，但最后要对取等号时的值进行检验，f(x)不可恒为0.5求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)，令f(x)0，解此方程，求出它们在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；(4)确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区
6、间内的增减性 题型一 利用导数研究函数的单调性(理科)(2014苏州模拟)已知函数f(x)ln xa2x2ax(aR)(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若函数f(x)在区间(1，)上是单调减函数，求实数a的取值范围(文科)已知函数f(x)exax1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由【解】f(x)exa，(1)若a0，则f(x)exa0，即f(x)在R上递增，若a0，exa0，exa，xln a.因此当a0时，f(x)的单调增区间为R，当a0时，f(x)的单调增区间是ln a，)(2)f(x)ex
7、a0在(2,3)上恒成立 aex在x(2,3)上恒成立 又2x3，e2exe3，只需ae3.当ae3时，f(x)exe3在x(2,3)上，f(x)0，即 f(x)在(2,3)上 为 减 函 数，ae3.故存在实数ae3，使f(x)在(2,3)上为减函数 针对训练 1(2013课 标 全 国)已 知 函 数 f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值解：(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知得f(0)4，f(0)4.故b4，ab8.从而a4，b4.题型二 利用导数研究函数的极值
8、(2013重庆)设f(x)a(x5)26ln x，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6)(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值【归纳提升】导函数的零点并不一定就是函数的极值点所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点(2)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合与条件a0，知ax22ax10，在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知0a1.所以a的取值范围为a|0a1【归纳提升】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得x0(0,1)1(1，a)a(a,2a)2af(x)00f(x)0单调递增极大值3a1单调递减极小值a2(3a)单调递增4a37分x0(0,1)1(1，2a)2af(x)0f(x)0 单调递减极小值3 a1单调递增28 a324 a2【失分警示】1.导数的几何意义不明确出错 2易忽视对a分类讨论或分类不准确造成失误 3极值和端点值大小比较致误出错 4对讨论的结果不会总结致误
