1、模块综合检测(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知 aR,且 a2+a-a3-aB.-aa2-a3C.-a3a2-aD.a2-a-a3解析:a2+a0,-1a0,0-a(-a)2(-a)3,即-aa2-a3.答案:B2.不等式 2x2-x-10 的解集是()A(-)B.(1,+)C.(-,1)(2,+)D(-)(1,+)解析:2x2-x-1=(x-1)(2x+1)0,x1 或 x0,a1)的图像上,则 a3+a7与 2a5的大小关系是()A.a3+a72a5B.a3+a
2、70,a7=a70,a5=a50,a3+a7 又 a0,a1,等号不成立.故 a3+a72a5.答案:A4.在ABC 中,若 2cos Bsin A=sin C,则ABC 的形状是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析:由正弦定理、余弦定理得 2 -a=c,整理得 a=b,故ABC 为等腰三角形.答案:B5.已知向量 a=(3,-2),b=(x,y-1),若 ab,则 4x+8y的最小值为()A 解析:ab,3(y-1)-(-2)x=0,2x+3y=3.故 4x+8y=22x+23y 当且仅当2x=3y,即 x 时,等号成立.答案:B6.在ABC 中,B 边上的高
3、等于 则 A 解析:在ABC 中,B 边上的高等于 AB 由余弦定理,得 AC -由正弦定理,得 sin A B 答案:D7.设 xR,记不超过 x 的最大整数为x,令x=x-x,则 A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列解析:可分别求得 -则由等比数列性质易得三者构成等比数列.答案:B8.在ABC 中,若 a=80,b=100,A=45,则此三角形的解的情况是()A.一解B.两解C.一解或两解D.无解解析:在ABC 中,ab,A=45bsin 45=5 知此三角形有两解.答案:B9.已知数列an的前 n 项和 Sn
4、满足:Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1,则 a10等于()A.1B.9C.10D.55解析:由 Sn+Sm=Sn+m,得 S1+S9=S10,故 a10=S10-S9=S1=a1=1.答案:A1.0 已知 x,y 满足约束条件 -若 的最大值为 则 等于 A.3B.2C.-2D.-3解析:由约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.线性目标函数 z=ax+y,即 y=-ax+z.设直线 l0:ax+y=0.当-a1,即 a-1 时,l0过 O(0,0)时,z 取得最大值,zmax=0+0=0,不合题意;当 0-a1,即-1a0 时,l0过 B(1,1)时,z 取得最大值,zmax=a+1=4,a
5、=3(舍去);当-1-a0 时,即 0a1 时,l0过 B(1,1)时,z 取得最大值,zmax=2a+1=4,a 舍去);当-a-1,即 a1 时,l0过 A(2,0)时,z 取得最大值,zmax=2a+0=4,a=2.综上,a=2 符合题意.答案:B11.数列an的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n1),则 a6等于()A.344B.344+1C.45D.45+1解析:an+1=3Sn,an=3Sn-1(n2).两式相减,得 an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,即 an+1=4an(n2).故 n2 时,an是以 a2为首项,以 4 为公比的等比数列.a2=
6、3S1=3a1=3,4.a1不在上述等比数列里面.数列an的通项公式为 an -故a6=344.答案:A12.已知 a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列,且 0logm(ab)1,则 m 的取值范围是()A.(0,1)B.(1,+)C.(0,8)D.(8,+)解析:a,b,a+b 成等差数列,2b=2a+b,b=2a.a,b,ab 成等比数列,a0,b0,b2=a2b,b=a2.a2=2a,a=2,b=4,ab=8.0logm(ab)8.答案:D二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上)13.在ABC 中,a=3,b 则 解析:由正弦
7、定理,得 即 所以 sin B 所以B 答案:14.设 Sn为等比数列an的前 n 项和,若 a1=1,且 3S1,2S2,S3成等差数列,则 an=.解析:设等比数列an的公比为 q,则 an=a1qn-1=qn-1.因为 3S1,2S2,S3成等差数列,所以 2(2S2)=3S1+S3,即 4S2=3+S3,即 4(a1+a2)=3+(a1+a2+a3),也就是4(1+q)=3+(1+q+q2),整理得 q2-3q=0,解得 q=3 或 q=0(舍去).所以等比数列an的首项为 a1=1,公比为 q=3,故 an=3n-1.答案:3n-115.若 x,y 满足约束条件 -则 的最大值为 解
8、析:画出约束条件对应的平面区域(如图),点 A 为(1,3),要使 最大,则 -最大,即过点(x,y),(0,0)两点的直线斜率最大,由图知当该直线过点 A时()-答案:316.数列an的前 n 项和 Sn=n2+2n(nN+),则 数列an满足 a1=2,an+1=2an-1(nN+),则 a11=1 023;数列an满足 an+1=1 -N+),则数列bn是从第二项开始的等比数列;已知 a1+3a2+5a3+(2n-1)an=2n+1(nN+),则 an=2n-1.以上命题正确的有 (只填序号).解析:Sn=n2+2n,an=2n+1,当且仅当n=1 时等号成立,故正确;an+1=2an-
9、1,an+1-1=2(an-1),-an-1是等比数列,an-1=2n-1.an=2n-1+1,a11=210+1=1 025,故错误;bn+1 -(-)-是公差为2 的等差数列,故错误;中当 n=1 时,a1=22=4,不满足 an=2n-1,错误.答案:三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10 分)已知不等式(1-a)x2-4x+60 的解集为x|-3x0;(2)b 为何值时,ax2+bx+30 的解集为 R?解(1)由题意知,1-a0 即为 2x2-x-30,解得 x0,故 q 由 2a1+3a2=1,得 2a1+3a1q=1,
10、即 a1 故数列an的通项公式为 an (2)因为 bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=所以 =-=-2(-).所以 +=-2(-)(-)(-)=-.故数列 的前n 项和为-.19.(12 分)如图所示,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 n mile,渔船乙以 10 n mile/h 的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙,刚好用 2 h 追上,此时到达 C 处.(1)求渔船甲的速度;(2)求 sin 的值.解(1)依题意知,BAC=120,AB=12 n mile,AC
11、=102=20(n mile).在ABC 中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=122+202-21220cos 120=784.解得 BC=28 n mile.故渔船甲的速度为 =14(n mile/h).(2)由(1)知 BC=28 n mile,在ABC 中,BCA=,由正弦定理,得 ,即 sin=.20.(12 分)已知数列an满足 a1+3a2+32a3+3n-1an=(nN+).(1)求数列an的通项公式;(2)设 bn=,求数列bn的前 n 项和 Sn.解(1)a1+3a2+32a3+3n-1an=,当 n2 时,a1+3a2+32a3+3n-2an-
12、1=-,-得 3n-1an=,an=(n2).令 n=1,则 a1=,也满足上式.an=.(2)bn=,bn=n3n.Sn=3+232+333+n3n,3Sn=32+233+334+n3n+1,-得2Sn=n3n+1-(3+32+33+3n),即 2Sn=n3n+1-,Sn=-.21.(12 分)已知函数 f(x)=(a,b 为常数),且方程 f(x)-x+12=0 有两个实根为 x1=3,x2=4.(1)求函数 f(x)的表达式;(2)设 k1,解关于 x 的不等式 f(x)-.解(1)将 x1=3,x2=4 分别代入方程 -x+12=0,得 -解得 -故 f(x)=-(x2).(2)不等式
13、即为 -,可化为 -0.当 1k2 时,解得 1x2;当 k=2 时,不等式为(x-2)2(x-1)0,解得 x1,且 x2;当 k2 时,解得 1xk.综上所述,当 1k2 时,解集为(1,2)(k,+).22.(12 分)已知数列an满足 a1=1,an+1=1-,其中 nN+.(1)设 bn=-,求证:数列bn是等差数列,并求出an的通项公式 an.(2)设 cn=,数列cncn+2的前 n 项和为 Tn,是否存在正整数 m,使得 Tn 对于 nN+恒成立?若存在,求出 m 的最小值;若不存在,请说明理由.解(1)由题意得 bn+1-bn=-(-)-=2,所以数列bn是等差数列.因为 a1=1,所以 b1=2,所以 bn=2+(n-1)2=2n.由 bn=-得an=.(2)由(1)可知 cn=,所以 cncn+2=2(-),所以 Tn=2(-)=2(-)3.依题意,要使 Tn 对于nN+恒成立,只需 3,解得 m3 或 m-4,又因为 m 为正整数,所以 m 的最小值为 3.
