1、湖南省衡阳市八中2017届高三第三次（10月）月考数学（理）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）A B C D【答案】A考点：复数的应用.2.“”是“”的（ ）条件A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D即不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若,则；若,则,推不出.所以“” 是“”成立的充分不必要条件.故选A.考点：充分必要条件.3.下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：A项,在上是减函数,故不符合题意.B项,在
2、上为增函数,故B符合题意.C项,在上是减函数,故不符合题意.D项,在上是减函数,故不符合题意.故本题正确选项为B.考点：函数的单调性.4.已知正项数列中，则（ ）A B C D 【答案】D考点：等差数列的基本性质.5.若向量的夹角为，且，则与的夹角为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：设向量与的夹角等于,因为向量的夹角为，且，所以，,.故选A.考点：平面向量数量积的运算.16.函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式的1111解集为（ ）A BC D【答案】A1111【解析】1111试题分析：如图所示,函数为奇函数,所以不等式可转化为:,令,如图所示,.故选A.考点
3、：1.函数的奇偶性；2.函数的图象.7.在函数中，最小正周期为的函数的个数为（ ）A B C D 111【答案】B考点：函数的周期性.8.设函数,定义,其中,则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：，因为,所以.两式相加可得:,.故选C.考点：1.数列求和；2.函数的性质.9.已知点在圆上运动, 且,若点的坐标为,则的最大值为（ ）A B C D 【答案】B考点：平面向量的基本运算.10.已知函数均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A BC D【答案】A【解析】试题分析：最小正周期为,所以.因为当时，函数取得最小值，所以,可得,令,所以,在上
4、单调递减.,.又,所以.故选A.考点：求三角函数的解析式.【易错点晴】依题意容易得出,又当时,函数 取得最小值,可解得,由此可得函数解析式,利用正弦函数的图象与性质及诱导公式,即可比较大小.不能结合已知条件求出函数解析式导致易错,不能熟练的利用周期性把不在同一单调区间的两个数转化为同一单调区间导致易错.利用函数单调性比较大小,先看自变量是否在同一单调区间,若不在,则须利用周期性转化.11.已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】C考点：1.恒成立问题；2.函数的极值与最值.【思路点晴】本题考查构造新函数，函数的单调性以及函数单调性转化为的恒
5、成立问题,属中档题.利用导数研究不等式恒成立问题,首先要构造函数,本题不等式给出的是分式,应先等价为整式,转化为函数的单调性问题,进一步转化为另一个不等式恒成立问题,分离变量重新构造函数解决问题.注意单调性的转化中等号的取舍与验证.12.已知，若函数有三个零点，则的值为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：当时,且,在上单调递增,所以有唯一解.在上单调递减,在上单调递增,即函数在取到极小值.函数有三个零点，所以方程有三个根,而,所以,解得.故选B.考点：函数的零点.【方法点晴】本题考查函数的零点,先用导数判断函数的单调性从而得出极小值,再由有三个零点,所以方程有三个根,从而画出函数的
6、图象,用直线与截取,使其共有三个交点.本题体现了转化的思想,以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力,属中档题目.1第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13.已知，则 【答案】考点：三角函数的齐次式.14.九章算术中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有恒厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，则的值为，问何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进尺，以后毎天加倍；小老鼠第一天也进尺，以后每天减半，如果墙足够厚，为前天两只老鼠打洞之和，则 尺【答案】【解析】试题分析：由题意知:大老鼠
7、每天打洞的距离是以为首项,以为公比的等比数列,前天打洞之和为,同理,小老鼠每天打洞的距离为,所以,因此,本题正确答案是.考点：等比数列求和.【思路点晴】解答函数应用题的一般步骤为:审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型；建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型；求模:求解数学模型,得出数学结论；还原:将数学问题还原为实际问题的意义,求最值常用基本不等式或导数.15.已知函数若方程有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数列，则的值为 【答案】考点：1.函数的图象；2.等比中项的性质.【思路点晴】本题主要考查余弦函数图象像和
8、性质，等比数列的通项公式与求和公式，是一个小综合题。首先在同一坐标系中作出和的图象，得两个图象在上有三个交点，满足关于对称且关于对称,结合三个根从小到大依次成等比数列,列出横坐标的方程组,解出可得的值,从而得出实数的值.16.已知是定义在上不恒为零的函数，对于任意的都有成立，数列满足,且,则数列的通项公式为 【答案】考点：1.函数的性质；2.数列求通项公式. 【方法点晴】本题主要考查了利用函数的特征求数列的通项公式,是函数与数列的综合题.解题的关键是分别赋予得到,然后构造出数列是以为首项,公差为的等差数列后求解.同时要对递推关系式通过两边同除以构造出为等差数列进而求出的通项公式.1三、解答题（
9、本大题共6小题，共70分.解答应写出理字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知函数（为常数，且），的图象过点.（1）求实数的值；（2）若函数，试判断函数的奇偶性, 并说明理由.【答案】(1)；(2)是奇函数.【解析】试题分析：(1)因为函数图象过点,所以；(2)根据定义,满足,所以为奇函数.试题解析：解:(1)把A（0，1），B（3，8）的坐标代入得 解得：.考点：1.函数的解析式；2.函数的奇偶性.18.（本小题满分12分）已知三点的坐标分别为其中.（1）若求角的值；（2）若求的值.1111【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)先由，三点的坐标求出和的坐标,由解
10、得.(2)由列出关于的方程,从而将问题转化为简单的三角函数化简求值问题.试题解析：(1)，由得4分又，6分考点：向量与三角函数. 【方法点晴】由题目给出的点的坐标可以得到相应的向量的坐标,根据向量的模长公式可得到要求的长度.第二问用到数量积公式,得到与的等量关系,利用化一公式,化简,结合,得到的值,从而得到19.（本小题满分12分）已知数列中，且.（1）设,证明是等比数列；（2）求数列的通项公式.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】111试题分析：(1)由等比数列的定义证明是等比数列；(2)先求出等比数列的通项公式,即,再由累加法求得数列的通项公式.试题解析：解答：（1）证明：因为所以
11、是等比数列.111考点：1.数列的定义；2.求数列的通项公式.20.（本小题满分12分）如图1, 有一建筑物,为了测量它的高度, 在地面上选一基线,设其长度为,在点处测得点的仰角为,在点处的仰角为.（1）若,且,求建筑物的高度；（2）经分析若干测得的数据后, 发现将基线调整到线段上(如图2)，与之差尽量大时，可以提高测量精确度，设调整后的矩离为，建筑物的实际高度为，试问为何值时，最大？【答案】(1)；(2).111 (2) tan=，tan=tan(-)=当且仅当d(h+4)=即d=时“=”成立故当d=时，tan(-)最大，0，0-，当d=时，-最大.考点：三角函数的实际应用.121.（本小题
12、满分12分）已知数列的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数构成等差数列是的前项和，且.（1）若数阵中第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列, 且公比相等, 已知,求的值；（2）设,求. 【答案】(1)；(2).试题解析：为等差数列，设公差为。设从第三行起，每行的公比都是，且，故（2）111.Com=. 考点：1.数列的通项公式；2.数列求和.22.（本小题满分12分）已知二次函数为常数, 的一个零点是,函数是自然对数的底数, 设函数.（1）过点坐标原点作曲线的切线, 证明切点的横坐标为；（2）令,若函数在区间上是单调函数, 求的取值范围.【答案】(1)证
13、明见解析；(2).试题解析：解：（1）是二次函数的一个零点，。 设切点为则切线的斜率。整理得显然，是这个方程的解。上是增函数，则方程有唯一实数解，故则，设则易知在上是减函数，从而.当即时，在区间上是增函数.111在上恒成立，即在上恒成立.在区间上是减函数。则满足题意.1111考点：1.导数的几何意义；2.函数的单调性.【方法点晴】函数与导数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用.本题考查的为利用导数判断函数的单调性以及最值等常见问题.而且涉及到参数的讨论,主要是以导函数的正负为分类标准,从而得出不同的单调性,注意给定的参数范围以及定义域. 1
