1、第三节圆的方程1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心(a，b)，半径r一般方程x2y2DxEyF0，(D2E24F0)圆心，半径2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程(xa)2(yb)2t
2、2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆()(3)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF0.()(4)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F0.()解析由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确(2)中，当t0时，表示圆心为(a，b)，半径为|t|的圆，不正确答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是()Aa2或aBa0C2a0D2aD由题意知a24a24(2a2a1)0，解得2a.3圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a
3、()AB C.D2A圆x2y22x8y130，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线axy10的距离d1，解得a.4(2017嘉兴一中质检)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_x2(y1)21两圆关于直线对称则圆心关于直线对称，半径相等圆C的圆心为(0,1)，半径为1，标准方程为x2(y1)21.5一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_. 【导学号：51062268】2y2由题意知a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4,0)由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，2)，(4,
4、0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m0)，则解得所以圆的标准方程为2y2.求圆的方程(1)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.B.C.D.(2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_(1)B(2)(x2)2y29(1)法一：在坐标系中画出ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|AC|BC|2(也可以借助图形直接观察得出)，所以ABC为等边三角形设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心所以|AE|AD|，从而|OE|，故选B.法二：设圆的一般方程为x2y2DxE
5、yF0，则解得所以ABC外接圆的圆心为.因此圆心到原点的距离d.(2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以圆C的方程为(x2)2y29.规律方法1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程2待定系数法求圆的方程：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值温馨提醒：解答圆的方程问
6、题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质变式训练1(2017浙江五校联盟联考)经过点A(5,2)，B(3，2)，且圆心在直线2xy30上的圆的方程为_x2y24x2y50(或(x2)2(y1)210)法一：圆过A(5,2)，B(3，2)两点，圆心一定在线段AB的垂直平分线上易知线段AB的垂直平分线方程为y(x4)设所求圆的圆心为C(a，b)，则有解得a2，且b1.因此圆心坐标C(2,1)，半径r|AC|.故所求圆的方程为(x2)2(y1)210.法二：设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则解得D4，E2，F5，所求圆的方程为x2y24x2y50.与圆有关的最值问题已知M(x，y
7、)为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值. 【导学号：51062269】解(1)由圆C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圆心C的坐标为(2,7)，半径r2.2分又|QC|4，|MQ|max426，|MQ|min422.6分(2)可知表示直线MQ的斜率k.8分设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.10分由直线MQ与圆C有交点，所以2，可得2k2，的最大值为2，最小值为2.14分迁移探究1(变化结论)在本例的条件下，求yx的最大值和最小值解设yxb，则xyb0.4分当直线yxb与圆C
8、相切时，截距b取到最值，2，b9或b1.12分因此yx的最大值为9，最小值为1.14分迁移探究2(变换条件结论)若本例中条件“点Q(2,3)”改为“点Q是直线3x4y10上的动点”，其它条件不变，试求|MQ|的最小值解圆心C(2,7)到直线3x4y10上动点Q的最小值为点C到直线3x4y10的距离，|QC|mind7.6分又圆C的半径r2，|MQ|的最小值为72.14分规律方法1.处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，数形结合求解2某些与圆相关的最值可利用函数关系求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、函数的
9、性质、利用基本不等式求最值是比较常用的变式训练2设P为直线3x4y110上的动点，过点P作圆C：x2y22x2y10的两条切线，切点分别为A，B，求四边形PACB的面积的最小值解圆的标准方程为(x1)2(y1)21，2分圆心为C(1,1)，半径为r1.6分根据对称性可知，四边形PACB的面积为2SAPC2|PA|r|PA|.8分要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线l：3x4y110的距离d2.12分所以四边形PACB面积的最小值为.14分与圆有关的轨迹问题已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标
10、原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积解(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为4.2分设M(x，y)，则(x，y4)，(2x,2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.6分(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上又P在圆N上，从而ONPM.8分因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为yx.12分又|OM|OP|2，O到l的距离为，|PM|，所以POM
11、的面积为.15分规律方法求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解(2)定义法：根据圆的定义列方程求解(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解变式训练3已知点A(1,0)，点B(2,0)，动点C满足|AC|AB|，求点C与点P(1,4)所连线段的中点M的轨迹方程解由题意可知：动点C的轨迹是以(1,0)为圆心，3为半径长的圆，方程为(x1)2y29.4分设M(x0，y0)，则由中点坐标公式可求得C(2x01,2y04)，8分代入点C的轨迹方程得4x4(y02)29，化简得x(y0
12、2)2，13分故点M的轨迹方程为x2(y2)2.15分思想与方法1确定一个圆的方程，需要三个独立条件，“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法2解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算易错与防范1二元二次方程x2y2DxEyF0表示圆时易忽视D2E24F0这一前提条件2求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程3求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线课时分层训练(四十五)圆的方程A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1(2017舟山模拟)圆(x1)2(y2)21关于直线y
13、x对称的圆的方程为()A(x2)2(y1)21B(x1)2(y2)21C(x2)2(y1)21D(x1)2(y2)21A(1,2)关于直线yx对称的点为(2,1)，圆(x1)2(y2)21关于直线yx对称的圆的方程为(x2)2(y1)21.2圆x2y22x4y30的圆心到直线xy1的距离为() 【导学号：51062270】A2B. C1D.D圆的方程可化为(x1)2(y2)22，则圆心坐标为(1，2)故圆心到直线xy10的距离d.3已知圆(x2)2(y1)216的一条直径通过直线x2y30被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为()A3xy50Bx2y0Cx2y40D2xy30D易知圆心坐标
14、为(2，1)由于直线x2y30的斜率为，该直径所在直线的斜率k2.故所求直线方程为y12(x2)，即2xy30.4若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x2y0相切，则圆O的方程是()A(x)2y25B(x)2y25C(x5)2y25D(x5)2y25D设圆心为(a,0)(a0)，则r，解得a5，所以圆O的方程为(x5)2y25.5设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点，则|PQ|的最小值为()A6B4 C3D2B如图所示，圆心M(3，1)与直线x3的最短距离为|MQ|3(3)6，又圆的半径为2，故所求最短距离为624.二、填空题6(2016浙江高考)已知aR
15、，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_(2，4)5由二元二次方程表示圆的条件可得a2a2，解得a2或1.当a2时，方程为4x24y24x8y100，即x2y2x2y0，配方得2(y1)20，不表示圆；当a1时，方程为x2y24x8y50，配方得(x2)2(y4)225，则圆心坐标为(2，4)，半径是5.7已知点M(1,0)是圆C：x2y24x2y0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是_. 【导学号：51062271】xy10圆C：x2y24x2y0的圆心为C(2,1)，则kCM1.过点M的最短弦与CM垂直，最短弦所在直线的方程为y01(x1)，即xy1
16、0.8在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_(x1)2y22因为直线mxy2m10恒过定点(2，1)，所以圆心(1,0)到直线mxy2m10的最大距离为d，所以半径最大时的半径r，所以半径最大的圆的标准方程为(x1)2y22.三、解答题9已知直线l：yxm，mR，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程解法一：依题意，点P的坐标为(0，m)，2分因为MPl，所以11，6分解得m2，即点P的坐标为(0,2)，10分圆的半径r|MP|2，故所求圆的方程为(x2)2y28.15分法二：
17、设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x2)2y2r2，2分依题意，所求圆与直线l：xym0相切于点P(0，m)，则6分解得10分所以所求圆的方程为(x2)2y28.15分10已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程. 【导学号：51062272】解(1)由x2y26x50得(x3)2y24，2分所以圆C1的圆心坐标为(3,0).6分(2)设M(x，y)，依题意0，所以(x3，y)(x，y)0，则x23xy20，所以2y2.9分又原点O(0,0)在圆C1外，因此中点M的轨迹是圆C与圆C1相交落在圆C1
18、内的一段圆弧由消去y2得x，因此x3.12分所以线段AB的中点M的轨迹方程为2y2.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017绍兴模拟)设P(x，y)是圆(x2)2y21上的任意一点，则(x5)2(y4)2的最大值为()A6B25 C26D36D(x5)2(y4)2表示点P(x，y)到点(5，4)的距离的平方点(5，4)到圆心(2,0)的距离d5.则点P(x，y)到点(5，4)的距离最大值为6，从而(x5)2(y4)2的最大值为36.2已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(xa)2(yb)2r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为_(x2)2(y1)25由题意知，此平面区域表示的是以O(0,
19、0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆OPQ为直角三角形，圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径r，因此圆C的方程为(x2)2(y1)25.3已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值. 【导学号：51062273】解(1)设圆心C(a，b)，由已知得M(2，2)，则解得4分则圆C的方程为x2y2r2，将点P的坐标代入得r22，故圆C的方程为x2y22.6分(2)设Q(x，y)，则x2y22，(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy2.10分令xcos ，ysin ，所以xy2(sin cos )22sin2，所以的最小值为4.15分
