1、1正弦定理与余弦定理11正弦定理学 习 目 标核 心 素 养1通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法(重点)2能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的三角形问题(重点、难点)1通过正弦定理的推导,提升逻辑推理的素养2通过利用正弦定理解三角形,培养数学运算素养1正弦定理阅读教材P45P48问题3以上部分,完成下列问题语言表述在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等符号表示比值的含义2R(其中R为ABC的外接圆半径)变形(1)a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C(2)sin A,sin B,sin C(3)abcsin Asin Bsin C作用
2、揭示了三角形边、角之间的数量关系正弦定理的推导:当ABC是锐角三角形时,设边AB的高是CD根据三角函数的定义,CDasin B,CDbsin A,所以asin Bbsin A,得到同理,在ABC中从以上的讨论和探究可得思考:(1)在ABC中,若已知角A和角B,边b,能求ABC的其它的角和边吗?提示能求,由C(AB)可求角C,由a,c,可求边a和c(2)在ABC中,若已知ab,能否利用正弦定理得到sin Asin B?提示能得到,由ab,且a2Rsin A,b2Rsin B,可得2Rsin A2Rsin B,即sin Asin B2三角形面积公式阅读教材P48问题3,完成下列问题三角形ABC的面
3、积:Sabsin Cacsin Bbcsin A思考:(1)在ABC中,若已知边a,b和角B,能否确定ABC的面积?提示不能,因为由条件不能得到角C,故不能求其面积(2)若已知ABC的边a,c和角B,选择哪个公式求ABC的面积?提示Sacsin B1在ABC中,若角A,B,C的对边分别是a,b,c,则下列各式一定成立的是()A BCasinBbcosA DacosBbsinAB在ABC中,由正弦定理,得2在ABC中,若,则B的值为 45根据正弦定理知,结合已知条件可得sin Bcos B,又0B180,所以B453在ABC中,absin A,试判断ABC的形状解由题意有b,则sin B1,又B
4、(0,),故B为直角,所以,ABC是直角三角形利用正弦定理解三角形【例1】在ABC中,(1)若A45,B30,a2,求b,c与C;(2)若B30,b5,c5,求A,C与a解(1)由三角形内角和定理,得:C180(AB)180(4530)105由正弦定理,得b,sin 105sin(6045),c1(2)b5,c5,B30,csin BbAB,所以AC,则0C,故C(2)因为A为ABC的内角,且cos A,所以sin A,又a1,sin B,由正弦定理得b判断三角形的形状【例2】在ABC中,已知acos Bbcos A,试判断ABC的形状解由正弦定理,得sin A cos Bsin Bcos A
5、,即sin A cos Bcos A sin B0,sin(AB)0,因为A,B为ABC的内角,故AB0,AB,即ABC为等腰三角形判断三角形形状的方法(1)判断三角形的形状,可以从考察三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入手,从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,呈现出边与边的关系或角与角的关系,从而进行判断.(2)判断三角形的形状,主要看其是否为正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形等,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区别.2在ABC中,已知a2tan Bb2tan A,试判断三角形的形状解由已知得,由正弦定理a2Rsin A,b2Rsin B(R
6、为ABC的外接圆半径),得,sin Acos Asin Bcos B,sin 2Asin 2B2A2B或2A2BAB或AB0ABC为等腰三角形或直角三角形三角形的面积探究问题1已知ABC中的边a和b,角B,能否确定ABC的面积?提示不一定,因为ABC可能有一解或两解,也可能无解2已知ABC的边a和b,角C,能否确定ABC的面积提示能,可由公式SABCabsin C求得3已知在ABC中,cosBAC,AB2,AC3,求ABC的面积提示由cosBAC得sinBAC,则ABC的面积为SABACsinBAC231【例3】在ABC中,若a2,C,cos,求ABC的面积S思路探究:cossin Bsin
7、A求边cABC的面积解cos,cos B2cos21B,sin BC,sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C,cSacsin B21(变条件)在例3中,把条件换为“已知b1,B30,c”,求ABC的面积解由正弦定理得sin C,故C60或120,当C60时,A180306090,所以SABCbcsin A11;当C120时,A1803012030,所以SABCbcsin A1综上所述ABC的面积为或2(变结论)在例3中,若已知D是ABC的边AC上一点,且CD,求ABD的面积解法一:由例3的解答可知sin B,sin A,c,由正弦定理b,又CD,所以AD,所以SABD
8、ABADsin A法二:由例3的解答可知SABC,又SBCDCBCDsin C21,所以SABDSABCSBCD11求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的,所以在解题中要有目的的为具备两边及其夹角的条件作准备2三角形面积计算公式(1)Sahabhbchc(ha、hb、hc分别表示a,b,c边上的高)(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)(4)S(p是三角形周长的一半)1利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题:(1)已知两角和任一边,求另外两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和两角2利用正弦定理可以实现三角形中边角关系
9、的相互转化:一方面可以化边为角,转化为三角函数问题来解决;另一方面,也可以化角为边,转化为代数问题来解决1判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)在ABC中,若a2bcos C,则这个三角形一定是等腰直角三角形()(2)在ABC中,若sin A,则A()(3)在ABC中,absin A一定成立()答案(1)(2)(3)提示(1)错误,由正弦定理,a2bcos C可化为sin A2sin Bcos C,所以sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C,所以sin(BC)0,得BC,故ABC是等腰三角形(2)错误,由sin A得A或(3)正确2在ABC中,A60,B45,b2,则a等于()A BC D3C由正弦定理得a3在ABC中,A60,b2,c3,则ABC的面积等于 SABCbcsin A234在ABC中,已知sin2Asin2Bsin2C求证:ABC为直角三角形证明由正弦定理,设k,sin2 A,sin2 B,sin2Csin2 Asin2 Bsin2 C,即a2b2c2ABC为直角三角形