1、1正弦定理与余弦定理11正弦定理学 习 目 标核 心 素 养1通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法(重点)2能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的三角形问题(重点、难点)1通过正弦定理的推导，提升逻辑推理的素养2通过利用正弦定理解三角形，培养数学运算素养1正弦定理阅读教材P45P48问题3以上部分，完成下列问题语言表述在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等符号表示比值的含义2R(其中R为ABC的外接圆半径)变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(2)sin A，sin B，sin C(3)abcsin Asin Bsin C作用
2、揭示了三角形边、角之间的数量关系正弦定理的推导：当ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD根据三角函数的定义，CDasin B，CDbsin A，所以asin Bbsin A，得到同理，在ABC中从以上的讨论和探究可得思考：(1)在ABC中，若已知角A和角B，边b，能求ABC的其它的角和边吗？提示能求，由C(AB)可求角C，由a，c，可求边a和c(2)在ABC中，若已知ab，能否利用正弦定理得到sin Asin B?提示能得到，由ab，且a2Rsin A，b2Rsin B，可得2Rsin A2Rsin B，即sin Asin B2三角形面积公式阅读教材P48问题3，完成下列问题三角形ABC的面
3、积：Sabsin Cacsin Bbcsin A思考：(1)在ABC中，若已知边a，b和角B，能否确定ABC的面积？提示不能，因为由条件不能得到角C，故不能求其面积(2)若已知ABC的边a，c和角B，选择哪个公式求ABC的面积？提示Sacsin B1在ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式一定成立的是()A BCasinBbcosA DacosBbsinAB在ABC中，由正弦定理，得2在ABC中，若，则B的值为 45根据正弦定理知，结合已知条件可得sin Bcos B，又0B180，所以B453在ABC中，absin A，试判断ABC的形状解由题意有b，则sin B1，又B
4、(0，)，故B为直角，所以，ABC是直角三角形利用正弦定理解三角形【例1】在ABC中，(1)若A45，B30，a2，求b，c与C；(2)若B30，b5，c5，求A，C与a解(1)由三角形内角和定理，得：C180(AB)180(4530)105由正弦定理，得b，sin 105sin(6045)，c1(2)b5，c5，B30，csin BbAB，所以AC，则0C，故C(2)因为A为ABC的内角，且cos A，所以sin A，又a1，sin B，由正弦定理得b判断三角形的形状【例2】在ABC中，已知acos Bbcos A，试判断ABC的形状解由正弦定理，得sin A cos Bsin Bcos A
5、，即sin A cos Bcos A sin B0，sin(AB)0，因为A，B为ABC的内角，故AB0，AB，即ABC为等腰三角形判断三角形形状的方法(1)判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或角与角的关系，从而进行判断.(2)判断三角形的形状，主要看其是否为正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区别.2在ABC中，已知a2tan Bb2tan A，试判断三角形的形状解由已知得，由正弦定理a2Rsin A，b2Rsin B(R
6、为ABC的外接圆半径)，得，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B2A2B或2A2BAB或AB0ABC为等腰三角形或直角三角形三角形的面积探究问题1已知ABC中的边a和b，角B，能否确定ABC的面积？提示不一定，因为ABC可能有一解或两解，也可能无解2已知ABC的边a和b，角C，能否确定ABC的面积提示能，可由公式SABCabsin C求得3已知在ABC中，cosBAC，AB2，AC3，求ABC的面积提示由cosBAC得sinBAC，则ABC的面积为SABACsinBAC231【例3】在ABC中，若a2，C，cos，求ABC的面积S思路探究：cossin Bsin
7、A求边cABC的面积解cos，cos B2cos21B，sin BC，sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，cSacsin B21(变条件)在例3中，把条件换为“已知b1，B30，c”，求ABC的面积解由正弦定理得sin C，故C60或120，当C60时，A180306090，所以SABCbcsin A11；当C120时，A1803012030，所以SABCbcsin A1综上所述ABC的面积为或2(变结论)在例3中，若已知D是ABC的边AC上一点，且CD，求ABD的面积解法一：由例3的解答可知sin B，sin A，c，由正弦定理b，又CD，所以AD，所以SABD
8、ABADsin A法二：由例3的解答可知SABC，又SBCDCBCDsin C21，所以SABDSABCSBCD11求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解题中要有目的的为具备两边及其夹角的条件作准备2三角形面积计算公式(1)Sahabhbchc(ha、hb、hc分别表示a，b，c边上的高)(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)(4)S(p是三角形周长的一半)1利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求另外两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角2利用正弦定理可以实现三角形中边角关系
9、的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在ABC中，若a2bcos C，则这个三角形一定是等腰直角三角形()(2)在ABC中，若sin A，则A()(3)在ABC中，absin A一定成立()答案(1)(2)(3)提示(1)错误，由正弦定理，a2bcos C可化为sin A2sin Bcos C，所以sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，所以sin(BC)0，得BC，故ABC是等腰三角形(2)错误，由sin A得A或(3)正确2在ABC中，A60，B45，b2，则a等于()A BC D3C由正弦定理得a3在ABC中，A60，b2，c3，则ABC的面积等于 SABCbcsin A234在ABC中，已知sin2Asin2Bsin2C求证：ABC为直角三角形证明由正弦定理，设k，sin2 A，sin2 B，sin2Csin2 Asin2 Bsin2 C，即a2b2c2ABC为直角三角形