1、2超几何分布知识点 超几何分布 填一填一般地，设有N件产品，其中有M(MN)件次品，从中任取n(nN)件产品用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(Xk) (其中k为非负整数)如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布答一答如何正确理解超几何分布？提示：(1)超几何分布是不放回的抽样；(2)超几何分布中各参数k，n，M，N的意义分别为：k是取出的次品件数，n是取出的产品数，M是产品中的次品数，N是产品总数1如何判断随机变量X是否服从超几何分布？判断超几何分布时必须满足以下两条：(1)总数为N的物品只分为两类：M(MN)件为甲类(或次品)，其余的NM件为乙类(
2、或正品)(2)随机变量X表示从N件物品中任取n(nN)件物品，其中所含甲类物品的件数2通过实例说明超几何分布及其推导过程构造以下数学模型：一箱内有N个小球，其中有红球n个，从箱中所有小球中任取M个(MN)，这M个小球中所含红球的个数X是一个随机变量事件Xm的概率P(Xm)(0ml，l为n和M中较小的一个)则随机变量X的分布列即为超几何分布，推导如下：由于取到每个小球的概率都是相等的，属古典概型，故取M个小球的方法共有C种，其中含有m个红球的取法有CC种，于是得取m个红球的概率为，令取到红球的个数Xm即得超几何分布列3方程思想和分类讨论思想在超几何分布中的应用超几何分布是一种离散型随机变量的分布
3、，其分布列的性质自然也具有一般随机变量分布列的两条性质，自然也可用方程思想求解分布列中的某些未知量，而在求解一些随机变量的概率时，有时需要进行分类讨论题型一超几何分布的概率 例1在10件产品中有3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得的次品件数X的分布列思路探究显然X服从超几何分布解X的可能取值为0,1,2,3.X0，表示取出的5件产品全是正品，所以P(X0)；X1，表示取出的5件产品中有1件次品，4件正品，所以P(X1)；X2，表示取出的5件产品中有2件次品，3件正品，所以P(X2)；X3，表示取出的5件产品中有3件次品，2件正品，所以P(X3).所以X的分布列为X0123P规律方法 解答
4、本题的关键在于先分析随机变量是否满足超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布模型解决如果不满足，则应借助相应概率公式求解袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球. (1)求得分数X的分布列；(2)求得分大于6分的概率解：(1)X的取值为8,7,6,5.P(X8)，P(X7)，P(X6)，P(X5).得分数X的分布列为X8765P(2)P(X6)P(X7)P(X8).题型二超几何分布的应用 例2在一次购物活动中，假设在10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有
5、奖，某顾客从此10张中任取2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的概率分布列思路探究解答本题可先利用对立事件求出顾客中奖的概率，再分析X的所有可能取值，明确X取各个值的事件，利用组合及公式P进行计算求解解(1)P11，即顾客中奖的概率为.(2)X的所有可能值为0,10,20,50,60.P(X0)，P(X10)，P(X20)，P(X50)，P(X60)，故X的分布列为：X010205060P规律方法 本题以超几何分布为背景，主要考查了概率的计算，离散型随机变量的分布列的求法及解决实际问题的能力生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格品，采购方接收该批产品的准
6、则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格品，便接收该批产品问该批产品被接收的概率是多少？解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱中不合格品的箱数”，则X服从参数为N50，M2，n5的超几何分布这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格品或只有1箱不合格品，所以被接收的概率为P(X1)，即P(X1)P(X0)P(X1).即这批产品被接收的概率为(约为0.991 84)例3甲、乙等5名大运会志愿者被随机分到A，B，C，D 4个不同的岗位服务，每个岗位至少需要1名志愿者(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率；(3)设随机变量
7、为这5名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列思路探究事件相当于把5名大运会志愿者分配到4个不同的岗位，针对不同的事件求出其包含的基本事件的个数，再根据古典概型的概率公式求解即可解把5名大运会志愿者分配到4个不同的岗位，且每个岗位至少需要1名志愿者，有CA240种安排方法，所以基本事件的个数为240.(1)甲、乙两人同时参加A岗位服务的分配方案有A6(种)由古典概型概率的计算公式可知，甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率为.(2)甲、乙两人不在同一岗位服务的分配方案有240A216(种)由古典概型概率的计算公式可知，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率为.(3)随机变量的所有可能取值为1和2.“1
8、”表示“只有1人参加A岗位服务”，其分配方案有CCA180(种)，故P(1).“2”表示“有2人参加A岗位服务”，其分配方案有CA60(种)，故P(2).故随机变量的分布列为12P规律方法 解此类题的关键是在理解题意的基础上正确运用排列、组合知识计算出基本事件的个数在列好分布列后，可根据分布列的性质检验结果是否正确在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品从这10件产品中任取3件求取出的3件产品中一等品件数X的分布列解：由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3，且X服从参数为N10，M3，n3的超几何分布，因此P(Xk)(k0,1,2,3)所以P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(
9、X3).故X的分布列为：X0123P规范解答系列例4甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分求：(1)甲答对试题数X的分布列；(2)乙所得分数Y的分布列解(1)X的可能取值为0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以甲答对试题数X的分布列为Xk0123P(Xk)(2)乙答对试题数可能为1,2,3.所以乙所得分数Y5,10,15.P(Y5)，P(Y10)，P(Y15).所以乙所得分数Y的分布列为Yai51015P(Yai)在含有5件
10、次品的100件产品中，任取3件，试求： (1)取到的次品数X的分布列；(2)至少取到1件次品的概率解：(1)由于从100件产品中任取3件的结果数为C，从100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的结果数为CC，那么从100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的概率为P(Xk)，k0,1,2,3.所以随机变量X的分布列为X0123P(2)根据随机变量X的分布列，可得至少取到1件次品的概率为P(X1)P(X1)P(X2)P(X3)1P(X0)0.144.1一批产品共50件，次品率为4%，从中任取10件，则抽到1件次品的概率约为(A)A0.327B0.032 6C0.326 D0.032 7解析：一批产
11、品共50件，其中有504%2件次品，48件正品，从中任取10件共有C种选法，其中抽1件次品有CC种方法所以抽到1件次品的概率是p0.327.212人的兴趣小组中有5人是“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛，若随机变量X表示参加竞赛的“三好学生”的人数，则为(C)AP(X6) BP(X5)CP(X3) DP(X7)解析：由题意可知随机变量X服从参数为N12，M5，n6的超几何分布，由公式P(Xk)易知表示的是kX3的取值概率3已知某批产品共100件，其中二等品有20件从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于的分布列：k012P(k)解析：的可能取值为0,1,2，服从参数
12、为N100，M20，n2的超几何分布，则P(0)，P(1)，P(2).4口袋内装有10个大小相同的球，其中5个球标有数字0,5个球标有数字1，若从口袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是13,63(用数字作答)解析：i表示“摸出的5个球所标数字之和为i”(i0,1,2,3,4,5)，则P(0)，P(1)，P(4)，P(5)，故摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率为P(0)P(1)P(4)P(5).5在装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，写出随机变量X的概率分布列解：由题意知，随机变量X的取值为0,1,2.P(X0)0.1，P(X1)0.6，P(X2)0.3(或P(X2)1P(X0)P(X1)0.3)故随机变量X的概率分布列为：X012P0.10.60.3
