1、第3课时直线的方程(1) 教学过程一、 问题情境问题1确定一条直线需要几个独立条件?请举例说明.归纳得出:1.直线上的两个点;2.直线上的一个点及直线的斜率.问题2给出直线l上一点及斜率两个条件:经过点A(-1, 3),斜率为-2, (1)你能在直线l上再找一点,并写出它的坐标吗?(2)这条直线l上的任意一点P(x, y)的横坐标x和纵坐标y满足什么关系呢?1二、 数学建构(一) 生成概念1. 探究问题情境中的问题.2. 直线l经过点P1(x1, y1),且斜率为k.设点P(x, y)是直线l上的任意一点,请建立x, y与k, x1, y1之间的关系.(图1)学生根据斜率公式,可以得到,当xx
2、1时,k=,故y-y1=k(x-x1)2问题3过点P1(x1, y1),斜率是k的直线l上的点(包括点P1),其坐标都满足方程吗?坐标满足方程的点都在经过P1(x1, y1),斜率为k的直线l上吗?答过点P1(x1, y1),斜率是k的直线l上的点,其坐标都满足方程,且坐标满足方程的点都在经过P1(x1, y1),斜率为k的直线l上.33. 直线的点斜式方程.我们把方程y-y1=k(x-x1)叫做直线的点斜式方程.问题4直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?答因为垂直于x轴的直线斜率不存在,所以直线的点斜式方程不能表示垂直于x轴的直线.不垂直于x轴的直线,都能用点斜式方程表示.问题5
3、经过点P1(x1, y1)且垂直于x轴的直线方程是什么?经过点P1(x1, y1)且垂直于y轴的直线方程又是什么?4. 两种特殊的直线方程.经过点P1(x1, y1)且垂直于x轴的直线方程是x=x1;经过点P1(x1, y1)且垂直于y轴的直线方程是(二) 理解概念1. 为什么方程=k不称为直线l的点斜式方程?因为直线l上的点P1(x1, y1)不满足方程=k.2. 把直线方程y=kx+6k-5写成点斜式方程,并说明此直线过哪个定点?方程y=kx+6k-5可变形为y-(-5)=kx-(-6),这即为点斜式方程,此直线恒过定点(-6, -5).三、 数学运用【例1】一条直线经过点P1(-2, 3
4、),斜率为2,求这条直线方程.5解根据点斜式方程的形式,这条直线的方程为y-3=2(x+2)即2x-y+7=0.【例2】直线l斜率为k,与y轴的交点是P(0, b),求直线l的方程.6解根据点斜式方程形式,直线l的方程为y-b=k(x-0),即y=kx+b.数学概念(1) 直线l与x轴交点(a, 0),与y轴交点(0, b),称a为直线l在x轴上的截距,称b为直线l在y轴上的截距(截距可以大于0,也可以等于或小于0).(一定要讲清楚截距的概念,“第一印象”非常重要)(2) 方程y=kx+b由直线l斜率k和它在y轴上的截距b确定,叫做直线的斜截式方程.问题6你如何从直线方程的角度认识一次函数y=
5、kx+b?一次函数中k和b的几何意义是什么?一次函数y=kx+b中,常数k是直线的斜率,常数b为直线在y轴上的截距.问题7直线的斜截式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?答因为垂直于x轴的直线斜率不存在,所以直线的斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线.不垂直于x轴的直线,都能用斜截式方程表示.【例3】在同一坐标系中作出下列直线,分别说出这两组直线有什么共同特征?(1) y=2, y=x+2, y=-x+2, y=3x+2, y=-3x+2.(2) y=2x, y=2x+1, y=2x-1, y=2x+4, y=2x-4.7解(1)图略,这组直线的共同特征是都过点(0, 2),斜率不同.(2) 图
6、略,这组直线的共同特征是斜率都相同,截距互不相同,它们是一组平行直线.题后反思画直线关键是找出两点,常常找直线与坐标轴的交点,此题意在说明共点直线或平行直线在方程形式上的联系(相同点).【例4】(1) 求直线y=-(x-2)的倾斜角.(2) 求直线y=-(x-2)绕点(2, 0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程.8解(1) 设直线的倾斜角为,从方程可知,直线的斜率是-,所以tan=-,又因为0180,所以直线y=-(x-2)的倾斜角为120.(2) 所求的直线的倾斜角为120-30=90,且经过点(2, 0),所以,所求的直线方程为x=2.题后反思方程为y=k(x+a)+b的直线的斜率为k,
7、第(2)题注意直线的旋转的方向.*【例5】已知直线l经过点P(4, 1),且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8,求直线l的点斜式方程.9处理建议引导学生分析,要求出方程,先求出斜率,如何把“面积为8”用上,能否转化为关于斜率k的方程,用点斜式方程要注意哪些呢?解根据题意,直线l不垂直于x轴,其斜率存在且为负数,故可设直线l的方程为y-1=k(x-4), (k0),在方程中令y=0得x=4-,令x=0得y=1-4k,故直线l与两坐标轴交于点与(0, 1-4k),与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为S=(1-4k)=8,解得k=-,故直线l的点斜式方程为y-1=-(x-4).题后反思利
8、用点斜式或斜截式设直线方程,首先要分析直线的斜率是否存在,如不能确定,一般要分类讨论,此题不仅分析了斜率是存在的,而且还挖掘出隐含条件:斜率小于0,为下面的求解避免了分类讨论,如果解出两解,还要注意取舍.四、 课堂练习1. 经过点(3, -1),斜率为3的直线的点斜式方程为y+1=3(x-3).2. 经过点(2, 2),斜率为的直线的点斜式方程为y-2=(x-2).3. 斜率为-3,在y轴上的截距为-4的直线的斜截式方程为y=-3x-4.4. 斜率为,在x轴上的截距为6的直线的方程为y=(x-6).5. 直线x=m(y+1)的图象恒过定点(0, -1).五、 课堂小结1. 本节课我们学了哪些知识?2. 直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么?3. 求一条直线的方程,要知道多少个条件?4. 如何根据直线方程求出直线的斜率及y轴上的截距?
