1、六 函数的单调性与最值 一、选择题(每小题5分，共25分)1函数f(x)x1，x0，x1，x0在R上()A是减函数B是增函数C先减后增D无单调性【解析】选B.函数f(x)的图象如图所示，由图结合单调性的定义可知，此函数在R上是增函数 2下列函数中，在区间(，0)上单调递减的是()Ay1x2 Byx22xCy x Dy xx1【解析】选D.对于选项A，该函数是开口向下的抛物线，在区间(，0)上是单调递增的；对于选项B，该函数是开口向上的抛物线，在区间(，1上是单调递减的，在区间1，)上是单调递增的；对于选项C，在区间(，0)上是单调递增的；对于选项D，因为y xx1 1 1x1.易知其在(，1)
2、上是单调递减的3(2020赣州模拟)已知函数f(x)在R上单调递减，且当x0，2时，有f(x)x24x，则关于x的不等式f(x)30的解集为()A(，1)B(1，3)C(1，)D(3，)【解析】选C.根据题意，当x0，2时，有f(x)x24x，有f(1)143，f(x)30f(x)3f(x)f(1)，又由函数f(x)在R上单调递减，则有x1，即不等式的解集为(1，).4(多选)(2021威海模拟)若存在m，使得f(x)m对任意xD恒成立，则函数f(x)在D上有下界，其中m为函数f(x)的一个下界；若存在M，使得f(x)M对任意xD恒成立，则函数f(x)在D上有上界，其中M为函数f(x)的一个上
3、界如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界下列说法正确的是()A1不是函数f(x)x1x(x0)的一个下界B函数f(x)x ln x有下界，无上界C函数f(x)exx2 有上界，无下界D函数f(x)sin xx21 有界【解析】选BD.对于A，当x0时，x1x 2(当且仅当x1时取等号)，所以f()x 1恒成立，所以1是f()x 的一个下界，A错误；对于B，f x ln x1x0 ，所以x0，e1 时，f x 0，所以f x 在0，e1 上单调递减，在e1，上单调递增，所以f x fe1 1e，所以f x 有下界，又x时，f x ，所以f x 无上界，综上所述：f x x ln x有下界
4、，无上界，B正确；对于C，因为x20，ex0，所以exx2 0，所以f(x)有下界，C错误；对于D，因为sin x1，1 ，所以 1x21 sin xx21 1x21，又 1x21 1，1x21 1，所以1sin xx21 1，所以f x 既有上界又有下界，即f(x)有界，D正确 5若f(x)x24mx与g(x)2mx1 在区间2，4上都是单调递减的，则m的取值范围是()A(，0)(0，1 B(1，0)(0，1C(0，)D(0，1【解析】选D.函数f(x)x24mx的图象开口向下，且以直线x2m为对称轴，若在区间2，4上是单调递减的，则2m2，解得m1；g(x)2mx1 的图象由y2mx 的图
5、象向左平移一个单位长度得到，若在区间2，4上是单调递减的，则2m0，解得m0.综上可得，m的取值范围是(0，1.二、填空题(每小题5分，共15分)6函数y x2x6 的单调递增区间为_，单调递减区间为_.【解析】令ux2x6，则y x2x6 可以看作是由y u 与ux2x6复合而成的函数 令ux2x60，得x3或x2.易知ux2x6在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而yu 在0，)上是增函数，所以y x2x6 的单调递减区间为(，3，单调递增区间为2，).答案：2，)(，3【加练备选拔高】函数f(x)lg(x24)的单调递增区间为_【解析】由复合函数的单调性，要使f(x)单调递增，需x2
6、40，x0，解得x2.所以函数f x 的单调递增区间是(2，).答案：(2，)7函数f(x)1x，x1，x22，x1的最大值为_.【解析】当x1时，函数f(x)1x 为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2.答案：2 8若函数f(x)x2，x1，a（x1），x1 的值域为R，则a的取值范围是_【解析】当x1时，f(x)x21，若a0，x1时，f(x)0，f(x)的值域不是R；若a0，x1时，f(x)2a，f(x)的值域不是R，若a0，x1时，f(x)2a，所以当2a1时，f(x)的值域为
7、R，所以a的取值范围是12，.答案：12，三、解答题(每小题10分，共20分)9试判断函数f(x)x31x在(0，)上的单调性，并加以证明【解析】方法一：设0 x1x10，所以x1x20.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上为增函数 10已知f(x)ax 1a(1x)，其中a0，f(x)在x0，1上的最小值为g(a)，求g(a)及g(a)的最大值【解析】由题意知f(x)a1a x1a，(1)当a1时，a1a 0，此时f(x)在0，1上为增函数，所以g a f 0 1a；(2)当0a1时，a1a 0，此时f(x)在0，1上为减函数，所以g a f 1
8、a；(3)当a1时，f(x)1，此时g a 1，所以g(a)a，0a11a，a1，其在(0，1)上为增函数，在1，)上是减函数，又当a1时，有a1a 1，所以当a1时，g a 取得最大值1，综上可得g(a)a（01），g(a)max1.1若函数f(x)（3a1）x4a，x1，ax，x1是定义在R上的减函数，则a的取值范围为()A18，13B0，13C18，D，18 13，【解析】选A.因为函数f(x)是定义在R上的减函数，所以3a10，a0，3a14aa，解得18 a13.2(2020泸州模拟)已知f(x)x|x|，则满足f(2x1)f(x)0的x的取值范围为_.【解析】根据题意得，f(x)x
9、|x|x2，x0，x2，x0，则f(x)为奇函数且在R上为增函数，则f(2x1)f(x)0f(2x1)f(x)f(2x1)f(x)2x1x，解得x13，即x的取值范围为13，.答案：13，3若函数f(x)x2a|x1|在0，)上单调递增，则实数a的取值范围是_【解析】f(x)x2a|x1|x2axa，x1，x2axa，x0，令函数f(x)g(x)h(x).(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；(2)当a14 时，求函数f(x)的值域【解析】(1)f(x)x1x3 ，x0，a(a0).(2)函数f(x)的定义域为0，14 ，令x 1t，则x(t1)2，t1，32 ，f(x)F(t)tt22
10、t4 1t4t2.又t1，32 时，t4t 单调递减，F(t)单调递增，F(t)13，613 ，即函数f(x)的值域为13，613 .1已知函数f(x)log2x，x1，xc，x1，则“c1”是“函数f(x)在R上递增”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】选A.由题意得，函数f(x)在R上递增的充要条件是log211c，即c1.所以“c1”是“函数f(x)在R上递增”的充分而不必要条件 2函数f(x)ax1x2 在区间(2，)上单调递增，则实数a的取值范围是()A0，12B12，C(2，)D(，1)(1，)【解析】选B.因为当a0时，f(x)1x2 在区间(2，)上单调递减，故a0舍去，所以a0，此时f(x)ax1x2 a（x2）12ax2 a12ax2 ，又因为y1x2 在区间(2，)上单调递减，而函数f(x)ax1x2 在区间(2，)上单调递增，所以应有12a0，即a12.
