1、十三 不等式及其性质 基础全面练(15分钟35分)1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是()A5x4y200 B5x4y200C5x4y200 D5x4y200【解析】选D.由题意可得，总的工资为50 x40y，又因为现有工人工资预算2 000元，故50 x40y2 000，化简可得5x4y200.【补偿训练】学生小李家中暂时有困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生(小李除外)决定承担这笔费用若每人承担12元，则多出84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出4
2、0元以上该班共有x人，这笔开学费用共有y元，则上述问题中的不等关系可表示为_【解析】由题意得12（x1）y84，10（x1）40，xN，即12xy96，10 xy51，xN.答案：12xy96，10 xy51，xN2下列结论中正确的是()A若acbc，则ab B若a2b2，则abC若 a b，则ab D若1a 1b，则ab【解析】选C.对于A，c0时，结论成立，故A不正确；对于B，a2，b1，满足a2b2，但ab，故B不正确；对于C，利用不等式的性质，可得结论成立；对于D，a1，b2，满足1a N BM0，所以 MN.4已知 cab0，则 aca _ bca.(填“”“5(2021武汉高一检测
3、)张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价格依次为 120 元/千克、80 元/千克、70 元/千克、40 元/千克，为增加销量，张军对这四种干果进行促销：一次购买干果的总价达到 150 元，顾客就少付 x(2xZ)元每笔订单顾客网上支付成功后，张军会得到支付款的 80%.若顾客一次购买松子和腰果各 1 千克，需要支付 180 元，则 x_；在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x的最大值为_【解析】顾客一次购买松子和腰果各 1 千克，需要支付 12070 x180 元，则 x10.答案：10设顾客一次购买干果的总价为 M
4、 元，当 0M0，所以 x232x.(2)(a3b3)(a2bab2)a3b3a2bab2a2(ab)b2(ab)(ab)(a2b2)(ab)2(ab)，因为 a0，b0，且 ab，所以(ab)20，ab0.所以(a3b3)(a2bab2)0，即 a3b3a2bab2.综合突破练(30 分钟60 分)一、单选题(每小题 5 分，共 20 分)1已知实数 a，b，c 满足 bc64a3a2，cb44aa2，则 a，b，c 的大小关系是()Acba BacbCcba Dacb【解析】选 A.cb44aa2(2a)20，所以 cb，已知两式作差得 2b22a2，即 b1a2，因为 1a2aa1223
5、4 0，所以 1a2a，所以 b1a2a，所以 cba.2(2021大连高一检测)下列不等式中，正确的是()A若 acbd 且 cd，则 abB若 a0，b0，a3b31，则 ab1C若 ab0，cd，则 acbdD若 ab，则 ac2bc2【解析】选 A.若 acbd 且 cd，则 ab，故 A 正确；若 a0，b0，a3b31，则 abb0，cd，但推不出 acbd，故 C 错误；令 c0 可知 D 错误3设 a1b1，则下列不等式中恒成立的是()A1a 1bCa22b Dab2【解析】选 D.A 错，例如 a2，b12 时，1a 12，1b 2，此时，1a 1b；B 错，例如 a2，b1
6、2 时，1a 12，1b 2，此时，1a 1b；C 错，例如 a54，b1516 时，a22516，2b3016，此时 a21，b2b2.【补偿训练】若 a，b，c 为实数，且 ab0，则下列结论正确的是()Aac2bc2 B1a abDa2abb2【解析】选 D.因为 c 为实数，所以取 c0，ac20，bc20，此时 ac2bc2，故选项A 不成立；1a 1b baab，因为 ab0，所以 ba0，ab0，所以baab0，即1a 1b，故选项 B 不成立；因为 ab0，所以取 a2，b1，则ba 12 12，ab 21 2，所以此时，ba ab，故选项 C 不成立；因为 ab0，所以 a2
7、aba(ab)0，所以 a2ab.所以 abb2b(ab)0，所以 abb2，故选项 D 正确4已知 0，12，0，12，则 23 的取值范围是()A0，56B16，56C(0，1)D16，1【解析】选 D.因为 0，12，0，12，所以 2(0，1)，3 0，16，则3 16，0，所以 23 16，1.【误区警示】本题错之处在于用 2 减去3 导致范围发生变化而导致错误，再求未知量范围时要牢记“只加不减，只乘不除”这一原则二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)5十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使
8、用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若 a，b，cR，则下列说法正确的是()A若 ab0 且 a1bB若 0a1，则 a3b0，则b1a1 baD若 cba 且 ac0，则 cb2ab2【解析】选 BC.A，不成立，比如 a2，b1，B，成立，0a1，a21，a(a21)0，即 a30，所以b1a1 ba，D，不成立，若 b0，则有 00，不成立6已知 a，b，c，d 均为实数，则下列命题正确的是()A若 ab0，则ca db 0B若 ab0，ca db 0，则 bcad0C若 bcad0，ca db 0，则 ab0D若1a 1b
9、0，则 1ab 1ab【解析】选 BCD.对于 A，若 ab0，不等式两边同时除以 ab 得ca db 0，ca db 0，不等式两边同时乘以 ab 得 bcad0，所以 B 正确；对于 C，若ca db 0，当两边同时乘以 ab 时可得 bcad0，所以 ab0，所以 C 正确；对于 D，由1a 1b 0，可知 ba0，所以 ab0，所以 1ab 1ab 成立，所以 D 正确三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)7(2021扬州高一检测)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元 5世纪)的数学著作孙子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二
10、，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数设这个整数为 a，当 a1，2 020时，符合条件的 a 共有_个【解析】由题设 a3m25n3，m，nN*，则 3m5n1，当 m5k，n 不存在；当 m5k1，n 不存在；当 m5k2，n3k1，满足题意：当 m5k3，n 不存在；当 m5k4，n 不存在；故 1a15k82 020，解得 715 k2 01215，则 k0，1，2，134，共 135 个答案：135 【补偿训练】已知三个不等式：ab0，ca db，bcad.则下列结论正确的有_个(1)(2)(3)【解析】不等式作等价变形ca db bcadab0，由
11、ab0，bcad，可得成立，即；若 ab0，bcadab0，则 bcad，故；若 bcad，bcadab0，则 ab0，故.答案：38某公司有 20 名技术人员，计划开发 A，B 两类共 50 件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如表：电子器件种类每件需要人员数每件产值/(万元/件)A 类127.5B 类136今制订计划欲使总产值最高，则 A 类电子器件应开发_件，最高产值为_万元【解析】设应开发 A 类电子器件 x 件，则开发 B 类电子器件()50 x件根据题意，得x2 50 x320，解得 x20.由题意，得总产值 y7.5x6()50 x3001.5x330，当且仅当 x20 时，y
12、 取最大值 330.答案：20 330四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9(2021古田高一检测)(1)设 xy0，试比较()x2y2()xy与()x2y2()xy的大小；(2)已知1ab3，2ab4，求 2a3b 的取值范围【解析】(1)(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)(xy)x2y2(xy)22xy(xy)，因为 xy0，xy0，所以(x2y2)(xy)(x2y2)(xy).(2)设 2a3bm(ab)n(ab)，则mn2，mn3，所以 m52，n12.所以 2a3b52(ab)12(ab).因为1ab3，2ab4，所以52 52(ab)152，212(ab)1，所以92
13、 52(ab)12(ab)132，即92 2a3b5 时，y1y2；当 ny2.答：当单位去的人数为 5 人时，两车队收费相同；多于 5 人时，选甲车队更优惠；少于 5人时，选乙车队更优惠 应用创新练1(2021西安高一检测)若 13，42，则|的取值范围是_【解析】由42 得 0|4，即4|0，又 13，所以3|3.答案：()3，32有三个实数 m，a，b(ab)，如果在 a2(mb)m2b 中，把 a 和 b 互换，所得的代数式的值比原式的值小，那么关系式 amb 是否可能成立？请说明你的理由【解析】不妨设 Pa2(mb)m2b，Qb2(ma)m2a.由题意知 QP，即 QP0.所以 b2
14、(ma)m2aa2(mb)m2b0，(ab)m2(b2a2)mab(ab)0.所以(ab)(ma)(mb)0.(*)若 amb 成立，则 ab，这时不等式(*)的解为 mb 或 ma，矛盾故 amb 不可能成立 【补偿训练】1.已知 1ab5，1ab3，求 3a2b 的取值范围【解析】设 3a2bm(ab)n(ab)(mn)a(mn)b，则有mn3，mn2，解得m12，n52所以 3a2b12(ab)52(ab).因为12 12(ab)52，52 52(ab)152，所以23a2b10，即 3a2b 的范围是2，10.2.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各
15、不相同已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为 x，y，z，且 xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为 a，b，c，且 abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()Aaxbycz BazbycxCaybzcx Daybxcz【解析】选 B.方法一：因为 xyz，ab0，故 axbyczazbycx；同理，aybzcx(aybxcz)b(zx)c(xz)(xz)(cb)0，故 aybzcxaybxcz；又 azbycx(aybzcx)a(zy)b(yz)(ab)(zy)0，故 azbycxaybzcx.综上可得，最低的总费用为 azbycx.方法二(特殊值法)：若 x1，y2，z3，a1，b2，c3，则 axbycz14，azbycx10，aybzcx11，aybxcz13.由此可知最低的总费用是 azbycx.
