1、3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型【学习目标】1.结合实例体会直线上升、指数爆炸和对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们的增长差异.2.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.3.恰当运用函数的三种表示法(解析式、图象、列表)，并借助信息技术解决一些实际问题.1.在区间(0，)上，总会存在一个x0，当xx0时，就有logax_xn_ax(a1).2.常见的函数模型常见的函数模型有_函数、_函数、_函数、_函数、_函数和_函数.一次二次分段指数对数幂3.已知函数图象如图 321，填写相应的函数：_；_；_.图 321练习 1
2、：函数 y3x 与 y2x 在(0，)上_增长速度较快.yax(0a1)y3xD练习2：某种商品降价 10%后，欲恢复原价，则应提价()A.10%B.9%C.11%解析：设商品原价为 a，则降价 10%后价格为 90%a，若设选 D.练习3：f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，对三个函数增长速度进行比较，下列选项正确的是(A.f(x)g(x)h(x)B.g(x)f(x)h(x)C.g(x)h(x)f(x)D.f(x)h(x)g(x)B【问题探究】如图322，能使不等式log2xx20B.x2C.x2D.0 x0，即x34时，y1y2,即当购买茶杯个数大于34时，优惠
3、方法(2)更划算.当0.4x13.60，即x34时，两种优惠方法一样划算.当0.4x13.60，即4x34时，y1y2，优惠方法(1)更划算.本题考查的是建立一次函数模型，并应用一次函数模型解决实际问题的能力.第一种优惠方法中，实际付款是4 个茶壶的钱和(x4)个茶杯的钱.第二种优惠方法只需将货款总数乘以 92%，然后再作差比较二者的大小即可.【变式与拓展】1.一个水池每小时注入的水量是全池的，水池还没有注水的部分与总量的比值 y 随时间 x(单位：小时)变化的函数关系式为_.题型 2 指数函数模型【例 2】某公司拟投资 100 万元，有两种获利的投资方案可提供选择：一种是年利率为 10%，按
4、单利计算，5 年后收回本金和利息；另一种是年利率为 9%，按复利计算，5 年后收回本金和利息.哪一种投资更有利？这一种投资比另一种投资 5 年后可多得利息多少元？解：本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息是100(110%5)150(万元)；本金100万元，年利率9%，按复利计算，5年后收回本金和利息是100(19%)5153.86(万元).由此可见，按年利率9%复利计算的要比按年利率10%单利计算的更有利，5年后多得的利息约为3.86万元.这是一个比较单利和复利所获得收益多少的问题，可先按单利和复利计算 5 年后的本息和分别是多少，再通过比较作答.该题涉及的复利计算和
5、单利计算是计算利息的两种方法，注意区分.列举、分析和归纳是探究规律的重要途径，要注意体会并熟练运用这些思想方法.【变式与拓展】2.(2014 年湖北模拟)某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过 1%.己知在过滤过程中废气中的污染物数量(单位：毫克/升)与过滤时间 t(单位：小时)之间的函过滤过程中污染物被排除了 90%，至少还需()时间过滤才可以排放.()数关系为：PP0ekt(k，P0均为正的常数).如果在前5个小时的答案：C题型 3 几类函数模型的增长差异【例 3】已知函数 f(x)2x 和 g(x)x3 的图象如图 323.设两函数的图象相交于点A(x1，y1)和点B
6、(x2，y2)，且x1x2.(1)请指出图中曲线 C1，C2 分别对应哪一个函数？(2)若 x1a，a1，x2b，b1，且 a，b 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，指出 a，b 的值，并说明理由；(3)结合函数图象的示意图，判断 f(6)，g(6)，f(2009)，g(2009)的大小，并按从小到大的顺序排列.图 323思维突破：根据指数函数与幂函数的增长速度来判断.解：(1)C1对应的函数为g(x)x3，C2对应的函数为f(x)2x.(2)a1，b9.理由如下：令(x)f(x)g(x)2xx3，则x1，x2为函数(x)的零点，(1)10，(2)40，(9)29930，(
7、10)2101030.则方程(x)f(x)g(x)的两个零点x1(1,2)，x2(9,10)，因此a1，b9.(3)由图象，可知：当x1xx2时，f(x)g(x)，f(6)x2时，f(x)g(x)，g(2009)f(2009)，又g(6)g(2009)，f(6)g(6)g(2009)1 时，指数函数 yax 是增函数，并且当 a 越大时，其函数的增长速度就越快.(2)当 a1 时，对数函数 ylogax 是增函数，并且当 a 越小时，其函数的增长速度就越快.(3)当 x0,n0 时，幂函数 yxn 是增函数，并且当 n 越大时，其函数的增长速度就越快.3.三种函数增长速度的比较.直线上升、指数爆炸和对数增长等不同函数模型的增长速度的比较：当 a1,n0 时，指数函数值增长速度快于幂函数值增长，幂函数值增长速度快于对数函数值增长.也就是说，指数函数值增长速度最快，常称这种现象为“指数爆炸”.
