1、目标导航1理解相反向量的概念(重点)2掌握向量减法的运算，理解其几何意义(难点)3能够用向量减法法则及意义求向量的差(重点)1 新知识预习探究 知识点一 相反向量阅读教材 P85“探究”及下面第四自然段内容，完成下列问题(1)我们规定，与 a的向量，叫做 a 的相反向量，记作a.(2)(a)a，a(a)(a)a0.(3)零向量的相反向量仍然是 0，即 00.长度相等，方向相反【练习 1】(正确的打“”，错误的打“”)(1)相反向量是共线向量()(2)若 a、b 是相反向量，则 ab0.()(3)向量AB与向量BA是相反向量()知识点二 向量的减法及其几何意义阅读教材 P85 下面三自然段内容P
2、86，完成下列问题(1)我们定义，aba(b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的(2)如图，ABa，AD b，则ACab，DB ab.(3)已知 a，b，在平面内任取一点 O，作OA a，OB b，则BAab，即 ab 可以表示为从向量 b 的，指向向量 a 的的向量，这是向量减法的几何意义相反向量终点终点【思考】(1)已知不共线向量 a、b，你能说出 ab 与 ab 的几何意义分别是什么吗？(2)在向量运算中 abcd，是否有 acdb 成立？【提示】(1)ab 与 ab 分别是以 a、b 为邻边的平行四边形两对角线所表示的向量(2)成立移项法则对向量等式也适用【练习 2】CABACB_.
3、答案：CABACBCACBBABABA0.2 新视点名师博客1向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量2两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线(AC)，而差向量是另一条对角线(DB)，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点3非零向量 a，b 的差向量的三角不等式(1)当 a，b 不共线时如图，作OA a，OB b，则 abOA OB BA.(2)当 a，b 共线且同向时若
4、|a|b|，则 ab 与 a，b 同向(如图)，于是|ab|a|b|.若|a|b|，则 ab 与 a，b 反向(如图)，于是|ab|b|a|(3)当 a，b 共线且反向时，ab 与 a 同向，与 b 反向于是|ab|a|b|(如图).3 新课堂互动探究 考点一 向量的加减法运算例 1 化简(ABCD)(ACBD)分析：利用向量加、减法的定义及相关运算律求解解析：方法一(统一成加法)：(ABCD)(ACBD)ABCD ACBD ABDC CABDABBD DC CAAD DA 0.方法二(利用OA OB BA)：(ABCD)(ACBD)ABCD ACBD(ABAC)CD BDCBCD BD DB
5、 BD 0.方法三(利用ABOB OA)：设 O 是平面内任意一点，则(ABCD)(ACBD)ABCD ACBD(OB OA)(OD OC)(OC OA)(OD OB)OB OA OD OC OC OA OD OB 0.点评：掌握向量加、减法的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识，可以将杂乱的向量运算式有序化处理进行向量的加减运算时，常用的变形如下：(1)化减为加，即运用ABBA或ABBA0.(2)转化为“顺次首尾相接的形式相加”，运用ABBCAC.(3)转化为“同一点出发的两个向量的差”，运用OA OB BA或ABOB OA.变式探究 1(1)若 A，B，C，D 是平面内任意四点，则下列
6、式子正确的有()ABCD BCDA；ACBD BCAD；ACBD DC AB.A0 个 B1 个C2 个 D3 个(2)已知OA a，OB b，OC c，OD d，且四边形 ABCD 为平行四边形，则()Aabcd0Babcd0Cabcd0Dabcd0解析：(1)式可变形为ABBCDA CD，即ABCBDA DC，不恒成立；式可变形为ACAD BCBD，即DC DC，故正确；式可变形为ACDC ABBD，即AD AD，故正确(2)如图 abOA OB BA，cdOC OD DC，又四边形 ABCD 为平行四边形，则BACD，即BACD 0，所以BADC0，即 abcd0.故选 B.答案：(1)
7、C(2)B考点二 用已知向量表示未知向量例 2如图，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是平行四边形，且ABa，ACb，AEc，试用 a，b，c 表示向量BD，BC，BE，CD 及CE.分析：寻找图形中已知向量与所表示向量的关系，利用向量的加法或减法来进行解析：四边形 ACDE 为平行四边形，CD AEc，BCACABba.BEAEABca，CEAEACcb，BD BCCD bac.点评：在解决这类问题时，要注意向量加法、减法和共线(相等)向量的应用当运用三角形法则时，要注意两向量首尾相接，当两个向量起点相同时，可以考虑用减法事实上任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线的向量的和，
8、即AM ABBM 以及ABNBNA(M，N 是同一平面内任意一点)变式探究 2 如图，解答下列各题：(1)用 a，d，e 表示DB；(2)用 b，c 表示DB；(3)用 a，b，e 表示EC；(4)用 d，c 表示EC.解析：ABa，BCb，CD c，DE d，EAe，(1)DB DE EAABdea.(2)DB CBCD BCCD bc.(3)ECEAABBCabe.(4)ECCECD DE cd.考点三 向量加、减法运算在平面几何中的应用例 3如图所示，O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 的交点，设ABa，DA b，OC c，求证：bcaOA.分析：解析：方法一：四边形 AB
9、CD 是平行四边形，DA CB，bcDA OC CBOC OB，bcaOB ABOB BAOA.方法二：四边形 ABCD 是平行四边形，ABDC，caOC ABOC DC OC CD OD，DA b，AD DA b，OD OA AD OA b，caOA b，即 bcaOA.点评：用几何法作两个向量的差应注意以下三点：(1)要求两向量有共同起点；(2)要弄清减向量与被减向量；(3)箭头指向被减向量变式探究 3 如图，在任意四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AD，BC 的中点，求证：ABDC EFEF.解析：EFEAABBF，EFED DC CF，又EA与ED 互为相反向量，BF与CF互为相反
10、向量，BFCF0，EAED 0.EFEFED DC CFEAABBF(ED EA)DC AB(CFBF)ABDC.4 新思维随堂自测1.AC可以写成AO OC；AO OC；OA OC；OC OA.其中正确的是()A BCD答案：D2化简ABBD ACCD()A.AD B.DAC.BC D0答案：D3化简下列各式：ABACBC；ABCABD CD；OA OD DA；NQ PQ MN MP.结果为零向量的个数是()A1 B2C3 D4答案：D4任给向量 a、b，则下列各项中正确的是()A|ab|a|b|B|ab|a|b|C|ab|a|b|D|ab|a|b|答案：D5如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AC 与 BD 交于 O 点，则BABCOA OD _.解析：BABC OA OD(BABC)(OA OD)CA DACAAD CD.答案：CD5 辨错解走出误区易错点：错误使用向量的减法法则【典例】如图，已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点A，B，C 的向量分别为 r1，r2，r3，求OD.【错解】因为OD OC CD，CD BAOB OA，所以OD OC OB OA r3r2r1.【错因分析】错误地使用了向量的减法法则【正解】因为OD OC CD，CD BAOA OB，所以OD OC OA OB r3r1r2.
