1、江苏省泰州市第二中学 2020 至 2021 学年高三年级第一学期教学质量调研（一）数学 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知复数 z 满足izi2)1(，其中i 为虚数单位，则复数 z 的模为（）A、3 B、2 C、1 D2 2、已知集合AxyyBxnyxAx,2|,)2(1|，则BA=（）A、)2,(B、)4,(C、)2,0(D、（0,4）3、已知,a是三个不同的平面，且nma,，则nm|是|a 的（）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 B、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、函数)sin()(
2、xxeexf的图像大致为（）5、九章算术是我国古代的一本数学著作。全书共有方田，栗米，衰分，少广，商宫，均输，盈不足，方程和勾股共九章，收录 246 个与生产、生活实践相关的实际应用问题。在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各有几何？”其意思为：“现有 5 个人分 5 钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在该问题中，任意两人所得的最大差值为（）A、31 B、32 C、61 D、65 6、在三棱锥ABCP 中，PA面 ABC，ABC是边长为 2 的正三角形，且3PA，则二面角ABCP的大小为（）A、30 B、45
3、 C、60 D、无法确定 7、在平面直角坐标系 xOy中，点 F 是椭圆)0(1:2222babyaxC的左焦点，A为椭圆的上顶点，过点 A 作垂直于 AF 的直线分别与 x 轴正半轴和椭圆交于点NM,，若MNAM3，则椭圆C 的离心率e 的值为（）A、22 B、215 C、21 D、31 8、已知全集20201,|nnxNxU，若集合BAUBUA,，BA,的元素个数相同，且对任意的BAnn 2,，则BA的元素个数最多为（）A、20 B、18 C、16 D、以上结果都不正确 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。9、在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线)0,0(1:
4、2222babyaxC的离心率为25，且双曲线C 的左焦点在直线05 yx上，BA,分别是双曲线C 的左，右顶点，点 P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PBPA,的斜率分别为21,kk，则下列说法正确的是（）A、双曲线C 的渐近线方程为xy2 B、双曲线C 的方程为1422 yx B、21kk为定值 41 D、存在点 P，使得121 kk 10、已知等比数列 na的公比0q，等差数列 nb的首项01 b，若99ba，且1010ba，则下列结论一定正确的是（）A、0109 aa B、109aa C、010 b D、109bb 11、设,a施两个相交平面，则下列说法正确的是（）A、若直
5、线am，则在平面 内一定存在无数条直线与直线 m 垂直 B、若直线am，则在平面 内一定不存在与直线 m 平行的垂直 C、若直线am，则在平面 内一定存在与直线 m 垂直的直线 D、若直线am，则在平面 内一定不存在与直线 m 平行的直线 12、关于函数),(,cos)(xxaexfx，下列说法正确的是（）A、当1a时，)(xf在0 x处的切线方程为xy B、若函数)(xf在),(上恰有一个极值，则0a C、对任意0)(,0 xfa恒成立 D、当1a时，)(xf在),(上恰有 2 个零点 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、命题:p“0,02 xx”的否定:p 1
6、4、为弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课可设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”6 门课程，每周开设一门，连续开设六周。若课程“乐”不排在第一周，课程“书”排在第三周或第四周，则所有可能的排法种数为 15、已知 F 抛物线)0(2:2ppxyC的焦点，设点)1,(pA，点 M 为抛物线C 上任意一点，且MFMA的最小值为 3，则p ，若线段 AF 的垂直平分线交抛物线C 于QP、两点，则四边形 APFQ的面积为 16、在梯形 ABCD 中，222,|BCABADBCABBCAD,将 ABC沿对角线 AC 翻折到 AMC，连结 MD。当三棱锥ACDM 的体积最大时，该三棱锥
7、的外接球的表面积为 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。17、（本小题满分 10 分）在521,aaa成等比数列，且;2nnbT,224SS 且1212nnT这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答。已知数列 na是公差不为 0 的等差数列，11 a，其前 n 项和为nS，数列 nb的前n 项和为nT。若（1）求数列 na，nb的通项公式；（2）求数列nnba的前 n 项和nQ。注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。18、（本小题满分 12 分）如图，在六面体 ABCD1111DCBA中，11|CCAA,底面 ABCD 是菱形，且DA1平面CAA1.（1）求证：平面1AB平
8、面DBA1，（2）求证：11|DDBB.19、（本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知等轴双曲线)0,0(1:2222babyaxE的左顶点为 A，过右焦点 F 且垂直于 x 轴的直线与 E 交于CB,两点，若 ABC的面积为12 。（1）求双曲线 E 的方程：（2）若直线1:kxyl与双曲线 E 的左，右两支分别交于NM,两点，与双曲线E 的两条渐进线分别交于QP,两点，求|PQMN 的取值范围。20、（本小题满分 12 分）已知数列 na的前 n 项和为为nS，满足NnnaSnn,2（1）求证：数列1na为等比数列；（2）设11nnnnaaab，记数列 nb的前 n
9、项和为nT，求满足不等式3130nT的最小正整数 n 的值。21、（本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆)0(1:2222babyaxC的左，右焦点分别为21,FF，焦距为 2，且经过点)22,1(。若斜率为 k 的直线l 与椭圆交于第一象限内的QP,两点（点 P 在Q的左侧），且PQOP。（1）求椭圆C 的方程；（2）若21/QFPF,求实数 k 的值。22、（本小题满分 12 分）已知函数0),ln()(xxxaxexfx，若)(xf在0 xx 处取得极小值。（1）求实数 a 的取值范围；（2）若0)(0 xf，求证：2)(3000 xxxf。江苏省泰州市第二中
10、学 2020 至 2021 学年高三年级第一学期教学质量调研（一）数 学 试 题 参 考 答 案 及 评 分 标 准 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案DCBABBAC二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.题号9101112答案BCADACABD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.130 x，20 x 14192152 4 3164四、
11、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分 10 分）【解】（1）设等差数列 na的公差为 d，则0d，选 因为1a，2a，5a 成等比数列，故2215aa a，即211 1 4dd，解得2d 或 0（舍），所以21nan 由2nnTb可得112nnTb，所以11nnnbbb，即112nnbb 又当1n 时，112Tb，得110b ，故0nb 所以112nnbb 为定值，数列 nb是首项为 1，公比为 12 的等比数列，故112nnb 所以21nan，112nnb 4 分选因为242SS，故24341 12dd，解得2d 或 0（舍），所以
12、21nan 由1122nnT 可得，当1n 时，111bT，当2n，*nN 时，121111122222nnnnnnbTT，故112nnb 所以21nan，112nnb 4 分（2）由（1）可知，112121 212nnnnannb，所以01211 23 252212nnQn ，12321 23252212nnQn ，所以231222212nnnQn，即212 121212322312nnnnQnn，所以2323nnQn10分18（本小题满分 12 分）【证】（1）因为底面 ABCD 是菱形，所以 ACBD因为 A1D平面 AA1C，AC平面 AA1C，所以 A1DAC又 A1DBDD，A1D
13、，BD 平面 A1DB，所以 AC平面 A1DB又 AC 平面 AB1C，所以平面 AB1C平面 A1DB6 分（2）因为 AA1CC1，CC1 平面 BB1C1C，AA1 平面 BB1C1C，所以 AA1平面 BB1C1C又 AA1平面 ABB1A1，平面 ABB1A1平面 BB1C1CBB1，所以 AA1BB1同理，AA1DD1所以 BB1DD112分19（本小题满分 12 分）【解】（1）因为双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)为等轴双曲线，所以 ab，设双曲线的焦距为 2c，c0，故22222caba，即2ca因为 BC 过右焦点 F，且垂直于 x 轴，将2Bxca代入2222
14、1xyaa，可得Bya，故2BCa又ABC 的面积为 21，所以 1212BCAF，即12212aac，所以21a ，1a ，故双曲线 E 的方程为221xy 5 分（2）依题意，直线 l：ykx1 与双曲线 E 的左，右两支分别交于 M，N 两点，联立方程组2211xyykx，消去 y 可得，221220kxkx，所以 22221024 120201MNkkkx xk ，解得 11k ，且222121MNMNkxxkx xk，所以2221MNMNMNMNxxyykxx222222222222 121414111MNMNkkkkxxx xkkkk 联立方程组1yxykx，得11Pxk，同理11
15、Qxk，所以2222112 111111PQkPQkxxkkkk所以2222222 12122 11kkMNkkPQkk，其中 11k ，所以12MNPQ，12分20（本小题满分 12 分）【解】（1）因为2nnSan，*Nn，故1121nnSan，所以11221nnnaaa，即121nnaa ，所以1121nnaa 又当1n 时，1121Sa，11a ，1120a ，故10na 所以1121nnaa 为定值，所以数列1na 是首项为 2，公比为 2 的等比数列5分（2）由（1）可知，12nna ，21nna 所以 1111121211211212121 2121 21nnnnnnnnnnnn
16、naba a，1223111111111121212121212121nnnnT，因为3031nT，即113012131n，解得4n，*Nn 所以满足不等式3031nT 的最小正整数 n 的值为 412分21（本小题满分 12 分）【解】（1）设椭圆 C 的焦距为 2c(c0)，则 2c2，c1，故 F1(1，0)，F2(1，0)设 M(1，22)，所以 2aMF1MF22221102 2221 102 2 2，故 a2，b2a2c21，b1所以椭圆 C 的方程为2212xy 4 分（2）设11P xy，22Q xy，直线 l：ykxt，0k，0t 联立方程组2212xyykxt，消去 y，得
17、222214220kxktxt，所以 222122212244 212204212221ktktktxxktx xk，即2212221222104212221ktktxxktx xk，（*）依题意，OP PQ，故直线 OP 的方程为1yxk，联立方程组1yxkykxt，得121ktxk又 PF1QF2，设 PQ 的中点为 G，则 OGPF1QF2据（*）可得，22221 21kttGkk，故直线 OG 的斜率为12k，所以直线 QF2 的方程为112yxk，联立方程组112yxkykxt，解得221221ktxk 将代入（*）可得22222221241212112221 2121ktktktk
18、kkktkttkkk，化简得2221121tktkkkt ，所以212tktkt，又0t，故32tk，代回上式，可得2312kkk ，又0k，解得2k ，322t，满足22210kt 所以实数 k 的值为212分22（本小题满分 12 分）【解】（1）依题意，elnxf xxa xx，0 x，111 e1exxxfxxaxaxx若0a，则 0fx，函数 f x 在0 ，上单调增，函数 f x 无极小值，所以0a 不符题意；若0a，令 exg xxa，0 x，1 e0 xgxx，故函数 g x 在0 ，上单调增，又 00ga ，e10ag aa，据零点存在性定理可知，存在00 xa，使得 00g
19、 x，00fx，且当00 xx时，0g x，0fx，函数 f x 在00 x，上单调减；当0 xx时，0g x，0fx，函数 f x 在0 x，上单调增，所以 f x 在0 xx处取得极小值，所以0a 符合题意 综上所述，实数 a 的取值范围是0 ，5 分（2）由（1）可知，当0a 时，存在00 xa，使得 00g x，即00exxa又00f x，即0000eln0 xxa xx，所以0000e1ln0 xxxx因为00 x，0e0 x，所以001ln0 xx，即00ln10 xx 令 ln1h xxx，0 x，110hxx，故函数 h x 在0 ，上单调增，又 10h，据 00h x，可得001x 令 ln1p xxx，01x，110pxx，故函数 p x 在0 1，上单调增，所以 10p xp，故ln1xx，其中01x 令 e1xq xx，01x，e10 xqx ，故函数 q x 在0 1，上单调增，所以 00q xq，故 e1xx，其中01x 所以 020000000000e1ln1 1121xf xxxxxxxxxx，结合001x，可得03002f xxx 12分
