1、 考点40 椭圆一、选择题1. （2013新课标全国高考文科5）设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，则的离心率为（ ）A. B. C. D.【解题指南】利用已知条件解直角三角形，将用半焦距c表示出来，然后借助椭圆的定义，可得a,c的关系，从而得离心率.【解析】选D. 因为,所以。又，所以，即椭圆的离心率为，选D.2.(2013大纲版全国卷高考理科T8)椭圆C:的左、右顶点分别为,点P在C上且直线斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是()A. B.C. D.【解题指南】将代入到中,得到与之间的关系,利用为定值求解的取值范围.【解析】选B.设，则，故.因为,所以3. （2013大纲版全国卷高考
2、文科8）已知F1（-1,0）,F2（1,0）是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交于A,B两点,且=3,则C的方程为()A. B. C. D.【解题指南】由过椭圆的焦点且垂直轴的通径为求解.【解析】选C.设椭圆得方程为，由题意知，又，解得或（舍去），而，故椭圆得方程为.4. （2013四川高考文科9）从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且（是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D. 【解题指南】本题主要考查的是椭圆的几何性质，解题时要注意两个条件的应用，一是与轴垂直，二是【解析】选C，根据题意可知点P，代入椭圆的方程
3、可得，根据，可知，即，解得，即，解得，故选C.5. （2013广东高考文科9）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于，则C的方程是（ ）A B C D【解题指南】本题考查圆锥曲线中椭圆的方程与性质，用好的关系即可.【解析】选D.设C的方程为，则，C的方程是.6. （2013辽宁高考文科11）已知椭圆的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cosABF=,则C的离心率为()A. B. C. D.【解题指南】 由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质（对称性）求出点到右焦点的距离，进而求得【解析】选B.在三角形中，由余弦定理得,又解得在
4、三角形中，故三角形为直角三角形.设椭圆的右焦点为，连接,根据椭圆的对称性，四边形为矩形，则其对角线且，即焦距又据椭圆的定义，得，所以.故离心率二、填空题7.(2013江苏高考数学科T12) 在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为 【解题指南】利用构建参数a,b,c的关系式.【解析】由原点到直线的距离为得，因到的距离为故，又所以又解得【答案】.8.（2013上海高考文科T12）与（2013上海高考理科T9）相同设AB是椭圆的长轴，点C在上，且.若AB=4，BC=，则的两个焦点之间的距离为 .【解析】 如图
5、所示，以AB的中点O为坐标原点,建立如图所示的坐标系.【答案】 .9.(2013福建高考文科T15) 与（2013福建高考理科14）相同椭圆: 的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1,则该椭圆的离心率等于.【解题指南】,而2c是焦距,2a是定义中的|PF1|+|PF2|=2a,因此,如果题目出现焦点三角形(由曲线上一点连接两个焦点而成),求解离心率,一般会选用这种定义法: .【解析】MF1F2是直线的倾斜角,所以MF1F2=60,MF2F1=30,所以MF2F1是直角三角形,在RtMF2F1中,|F2F1|=2c,|MF1|=c,|M
6、F2|=,所以.【答案】 .10. （2013辽宁高考理科15）已知椭圆的左焦点为，与过原点的直线相交于两点，连接若，则的离心率【解题指南】由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质（对称性）求出点A到右焦点的距离，进而求得.【解析】在三角形中，由余弦定理得,又，解得在三角形中，故三角形为直角三角形。设椭圆的右焦点为，连接,根据椭圆的对称性，四边形为矩形，则其对角线且，即焦距又据椭圆的定义，得，所以.故离心率【答案】.三、解答题11. （2013陕西高考文科20）已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍. (1) 求动点M的轨迹C的方程; (2) 过点P(0,3)
7、的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率. 【解题指南】设出动点M的坐标，根据已知条件列方程即可；设出直线方程与椭圆方程联立，得出k与的关系式，利用中点坐标即可得斜率.【解析】(1) 点M(x,y)到直线x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍，则.所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为.(2) P(0, 3), 设，椭圆经检验直线m不经过这2点，即直线m斜率k存在。.联立椭圆和直线方程，整理得：所以，直线m的斜率.12. （2013四川高考理科20） 已知椭圆：的两个焦点分别为，且椭圆经过点（1）求椭圆的离心率；（2）设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，
8、且，求点的轨迹方程【解题指南】（1）关注椭圆的定义，利用定义求出，再求出离心率；（2）首先确定椭圆的方程，设出点的坐标，结合已知，找到点的坐标满足的关系.【解析】(1)由椭圆定义知,2a=|PF1|+|PF2|=+=2,所以a=,又由已知,c=1,所以椭圆的离心率e=. (2)由(1)知,椭圆C的方程为+y2=1, 设点Q的坐标为(x,y).() 当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,此时点Q的坐标为(0,2).() 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2,因为M,N在直线l上，可设点M,N的坐标分别为则|AM|2=(1+k2)x12, |AN|2
9、=(1+k2)x22, 又|AQ|2=(1+k2)x2,由=+,得=+,即=+=, 将y=kx+2代入+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0. 由D=(8k)24(2k2+1)60,得k2.由可知,x1+x2=,x1x2=, 代入并化简得x2=. 因为点Q在直线y=kx+2上, 所以k=, 代入并化简,得10(y2)23x2=18.由及k2,可知0x2,即x(,0)(0,).又(0,2)满足10(y2)23x2=18, 故x(,).由题意,Q(x,y)在椭圆C内,所以1y1,又由10(y2)2=3x2+18有(y2)2,)且1y1,则y(,2.所以,点Q的轨迹方程为10(y2)23x2=18,其中x(,), y(,2. 9山东、北京、天津、云南、贵州、江西 六地区试卷投稿QQ 2355394694
