1、海南省三亚华侨学校2020届高三数学下学期开学测试试题（含解析）一、选择题1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：集合，集合，所以,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.2.复数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用复数的运算法则计算得到答案.【详解】.故选：A.【点睛】本题考查了复数的除法运算，属于简单题.3.已知命题：，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】直接利用全称命题的否定定义得到答案.【详解】命题：，则为： ，故选：【点睛】本题考查了全称命题的否定，意在考查学生的推断能力.4.将函数
2、图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数的图象平移变换和伸缩变换的应用求出结果即可.【详解】函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数f（x）的图象.故选：A【点睛】本题考查了函数图象的平移和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题5.已知，都是实数，那么“”是“”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【
3、解析】【分析】根据不等式的性质和特殊值法依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】当时，则，即；取，满足，不满足，故“”是“”的充分不必要条件.故选：B.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.6.函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象【详解】当x0， g(4)=0，即f（x）0，函数f（x）是增函数，当x（，+），g(x)0，即f（x）0，函数f（x）是减函数，B不正确，故选D【点睛】本题考查函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势
4、判断7.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“”.设是椭圆的左焦点，直线交椭圆于、两点，若，恰好是的“勾”“股”，则此椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设是椭圆的右焦点，先证明四边形是矩形，再分析得到，进一步化简即得此椭圆的离心率.【详解】如图，设是椭圆的右焦点，因为线段与被点互相平分，且，所以四边形是矩形.又，是等边三角形，由，所以故选A【点睛】本题主要考查椭圆的定义及简单几何性质，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推
5、理计算能力.8.已知直线与曲线相切，其中，为自然对数的底数，则函数的零点所在区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设切点为，根据切线方程得到，再利用零点存在定理结合函数单调性得到答案.【详解】，设切点为，则，解得，故，易知函数单调递增，且，故函数的零点在区间上.故选：A.【点睛】本题考查了函数的切线问题，零点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.二.多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的，得3分，有选错的得0分）9.在下列函数中，最小正周期为的是（ ）A. B. C. D.
6、 【答案】AC【解析】【分析】本题首先可以根据函数的性质判断出A正确，然后根据函数的性质判断出B错误，最后根据周期的计算公式即可判断出C正确以及D错误.【详解】A项：因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，A正确；B项：函数的图像关于轴对称，在上不是周期函数，B错误；C项：，最小正周期为，C正确；D项：，最小正周期为，D错误，故选：AC.【点睛】本题考查三角函数周期的计算，考查对函数以及函数性质的理解，考查根据三角函数解析式计算最小正周期，体现了基础性，是简单题.10.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点F重合，则（ ）A. 双曲线实轴长为2B. 双曲线的离心率为3C. 双曲线的渐近线方程
7、为D. F到渐近线的距离为【答案】CD【解析】【分析】根据抛物线焦点得到，得到双曲线方程，再依次计算实轴长，离心率.，渐近线方程，点到直线的距离依次判断每个选项得到答案.【详解】抛物线的焦点，故，故双曲线方程为，双曲线的实轴长为，A错误；双曲线的离心率为，B错误；双曲线的渐近线方程为，C正确；F到渐近线的距离为，D正确；故选：CD.【点睛】本题考查了抛物线方程焦点，双曲线方程的离心率，渐近线，实轴长，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.11.已知,且如下结论正确的为（）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】设，求导得到单调区间，画出函数图象，根据图象得到答案.【详解】设，则，故
8、时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，取，画出函数图象，如图所示：根据图象知：，故，.故选：BC.【点睛】本题考查了函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，画出图象是解题的关键.12.设函数是定义在上的函数，满足，且对任意的，恒有，已知当时，则有（）A. 函数的最大值是1，最小值是B. 函数是周期函数，且周期为2C. 函数在上递减，在上递增D. 当时，【答案】AC【解析】【分析】首先可以根据判断出函数是偶函数，然后根据判断出函数是周期为的周期函数，B错误，再然后根据当时即可得出当时最大值为、最小值为，A正确，再然后根据当时函数是增函数即可判断出C正确，最后根据当时求出
9、当时，D错误.【详解】因为函数满足，即，所以函数是偶函数，因为，所以函数是周期为的周期函数，B错误，因为当时，所以当时，函数是增函数，最大值为，最小值为，根据函数是偶函数可知当时最大值为、最小值为，根据函数是周期为的周期函数可知当时，最大值为，最小值为，A正确，因为当时，函数是增函数，所以当时，函数是减函数，所以根据函数周期为可知函数在上递减，在上递增，C正确，令，则，故当，令，则，故当，D错误，故选：AC.【点睛】本题考查函数的周期性以及奇偶性，考查根据函数的周期性以及奇偶性判断函数单调性，考查根据函数的周期性以及奇偶性求出函数解析式，若函数满足，则函数周期为，考查推理能力，体现了基础性与综
10、合性，是中档题.二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上）.13.设正项等比数列满足，则_.【答案】【解析】【分析】将已知条件转化为基本量a1，q的方程组，解方程组得到a1，q，进而可以得到an【详解】在正项等比数列中，得，解得，an33n13n.故答案为：3n【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，主要考查计算能力，属于基础题14.某校高一、高二、高三年级学生人数分别是、，若采用分层抽样的方法抽取人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是_.【答案】14【解析】【分析】本题首先可根据题意得出三个年级的总人数，然后结合样本总数为以及
11、分层抽样的相关性质即可得出结果.【详解】因为高一、高二、高三年级学生人数分别是、，所以共有人，因为采用分层抽样的方法抽取人，所以样本中高三年级的人数是人，故答案为.【点睛】本题考查分层抽样的相关性质，考查根据分层抽样确定样本中满足题意的对象的数目，考查计算能力，是简单题.15.已知平面向量，满足：，则与的夹角_.【答案】【解析】【分析】根据模长得到，再利用向量的夹角公式计算，得到答案.【详解】，则，故，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了向量的模，向量的夹角，意在考查学生的计算能力和转化能力.16.已知圆，直线与圆交于，两点，则_，分别过，两点作直线的垂线交轴于，两点，则_.【答案】 (1)
12、. (2). 【解析】【分析】，利用垂径定理,可求得的值；平移线段至，根据的斜率得，在中可求.【详解】解：由，可得圆心，半径，设圆心到直线距离为，则，由垂径定理可得，解得，所以，直线的方程，其倾斜角或，当直线的倾斜角为时，过作于，垂足，则，. 当直线的倾斜角为时，同理可求，故答案为：；.【点睛】本题考查利用垂径定理求参数，解直角三角形求线段长度，考查运算求解能力；是基础题.三.解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）.17.如图，已知四棱锥中，四边形为矩形，.（1）求证：平面；（2）设，求平面与平面所成的二面角的正弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【
13、分析】（1）证明BC平面SDC，即可证得AD平面SDC，即可证得SCAD，利用SC2+SD2=DC2证得SCSD，问题得证（2）以点O为原点，建立坐标系如图，求得S(0,0,),C(0，,0), A(2，-,0),B(2，,0)，利用即可求得E(2,0)，求得，利用空间向量夹角公式计算即可得解【详解】（1）证明： BCSD ，BCCD则BC平面SDC, 又则AD平面SDC，平面SDC SCAD又在SDC中，SC=SD=2, DC=AB，故SC2+SD2=DC2则SCSD ，又所以 SC平面SAD （2）解：作SOCD于O，因BC平面SDC,所以平面ABCD平面SDC，故SO平面ABCD以点O为
14、原点，建立坐标系如图. 则S(0,0,),C(0，,0), A(2，-,0),B(2，,0) 设E(2,y,0),因所以 即E(2,0) 令，则，令，则，所以所求二面角的正弦值为【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，还考查了面面垂直的性质及转化能力，考查空间思维能力及空间向量数乘的坐标运算，还考查了利用空间向量求二面角的正弦值，考查计算能力，属于中档题18.已知数列的每一项都是正数，且对所有的正整数恒成立.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）是以为首项4为公比的等比数列，计算得到答案.（2），利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1）
15、，所以是以为首项4为公比的等比数列，且的每一项都是正数，.（2），两式相减得到：，化简整理得.【点睛】本题考查了求数列的通项公式，错位相减法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.19.（理）某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表，规定：三级为合格等级，为不合格等级.百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示
16、.，（1）求和频率分布直方图中的的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记表示所抽取的名学生中为等级的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】（1）；，（2）（3）分布列见解析，期望【解析】【分析】1）根据茎叶图得人数，再根据频率分布直方图得概率，最后根据频数、总数与频率关系得根据茎叶图得人数，根据频数、总数与频率关系得概率，最后根据频率分布直方图求根据所有频率和为1得概率，再根据频率分布直方图频率求（2）先求无合格等级的事
17、件概率，再根据对立事件求结果，（3）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求结果.【详解】（1）；，（2）设至少有1人成绩是合格等级的事件为（3）由题意可知等级的学生人数为人，等级的学生人数为3人，故的取值为，.所以的分布列为：【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望值”.20.已知向量，其中，.若函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）在中，若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先化简，然后利用周期求；（2）先利用求出，再利用正弦定理求出，利用余弦
18、定理求出，从而求出答案.【详解】（1）向量，则，因为，所以，；（2）因为，且，所以，解得，又因为，且，所以，因为，即，解得，所以.【点睛】本题综合向量考查了三角函数以及解三角形，属于中档题.此类问题综合性较强，涉及知识点较多，需要学生对基础知识熟练掌握且能灵活运用.21.已知为抛物线的焦点，过的动直线交抛物线于，两点当直线与轴垂直时，（1）求抛物线的方程；（2）设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线，的斜率成等差数列，求点的坐标【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，即可求出抛物线的方程，（2）设直线的方程为，联立消去，得，根据韦达定理结合直线，的斜率
19、成等差数列，即可求出点的坐标【详解】解：（1）因为，在抛物线方程中，令，可得于是当直线与轴垂直时，解得所以抛物线的方程为（2）因为抛物线的准线方程为，所以设直线的方程为，联立消去，得设，则，若点，满足条件，则，即，因为点，均在抛物线上，所以代入化简可得，将，代入，解得将代入抛物线方程，可得于是点为满足题意的点【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数列与解析几何的综合，考查直线的斜率，属于中档题22.已知函数（1）当时，求函数的极小值；（2）当时，讨论的单调性；（3）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围【答案】（）；（）详见解析；（）【解析】【分析】（）由题意，当时，求得，得出函数
20、的单调性，进而求解函数的极值；（）由，由，得或，分类讨论，即可得到函数的单调区间；（）由（1）和（2），分当和，分类讨论，分别求得函数的单调性和极值，即可得出相应的结论，进而得到结论.【详解】解：（）当时：，令解得，又因为当，函数为减函数；当，函数为增函数.所以，的极小值为.（）.当时，由，得或.()若，则.故在上单调递增；（）若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.()若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.（）（1）当时，令，得.因为当时，当时，所以此时在区间上有且只有一个零点.（2）当时：（）当时，由（）可知在上单调递增，且，此时在区间上有且只有一个零点.（）当时，由（）的单调性结合，又，只需讨论的符号：当时，在区间上有且只有一个零点；当时，函数在区间上无零点.()当时，由（）的单调性结合，此时在区间上有且只有一个零点.综上所述，.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
