1、第四十四讲抛物线班级_姓名_考号_日期_得分_一、选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内)1设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为()Ay24By28xCy24x Dy28x解析:y2ax的焦点坐标为.过焦点且斜率为2的直线方程为y2,令x0得:y.4,a264,a8,故选B.答案:B2已知直线l1:4x3y60和直线l2:x1,抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A2 B3C. D.解析:如图所示,动点P到l2:x1的距离可转化为P到F的
2、距离,由图可知,距离和的最小值即F到直线l1的距离d2,故选A.答案:A3抛物线y24x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AKl,垂足为K,则AKF的面积是()A4 B3C4 D8解析:抛物线y24x的焦点为F(1,0),准线为l:x1,经过F且斜率为的直线y(x1)与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3,2),AKl,垂足为K(1,2),AKF的面积是4.故选C.答案:C4若抛物线y24x的焦点是F,准线是l,则经过点F、M(4,4)且与l相切的圆共有()A0个 B1个C2个 D4个解析:经过F、M的圆的圆心在线段FM的垂直平分线上,设圆心为C,则
3、|CF|CM|,又圆C与l相切,所以C到l距离等于|CF|,从而C在抛物线y24x上故圆心为FM的垂直平分线与抛物线的交点,显然有两个交点,所以共有两个圆,故选C.答案:C5设F为抛物线y24x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若0,则等于()A9 B6C4 D3解析:设A、B、C三点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),F(1,0)0,x1x2x33.又由抛物线定义知x11x21x316,故选B.答案:B6.(2011保定第一次调研)有一矩形纸片ABCD,按图所示方法进行任意折叠,使每次折叠后点B都落在边AD上,将B的落点记为B,其中EF为折痕,点F也可落在边CD上,
4、过B作BHCD交EF于点H,则点H的轨迹为( )A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分解析:由题意可知,H点到B点的距离与到边AD的距离相等,由抛物线的定义可知,H点的轨迹是抛物线的一部分.答案:D二、填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上)7已知抛物线型拱的顶点距离水面2米时,测量水面宽为8米,当水面上升米后,水面的宽度是_解析:设抛物线方程为x22py,将(4,2)代入方程得162p(2),解得2p8,故方程为x28y,水面上升米,则y,代入方程,得x2812,x2.故水面宽4米答案:4米8点P到A(1,0)和直线x1的距离相
5、等,且点P到直线l:yx的距离等于,则这样的点P的个数为_解析:由抛物线定义,知点P的轨迹为抛物线,其方程为y24x,设点P的坐标为,由点到直线的距离公式,知,即y4y040,易知y0有三个解,故点P个数有三个答案:39已知F为抛物线C:y24x的焦点,过F且斜率为1的直线交C于A、B两点设|FA|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于_解析:抛物线C:y24x的焦点F(1,0),准线方程:x1,如图,则直线AB的方程为yx1,由得x26x10,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程的两根,x1x21,x132.根据抛物线定义,得|FA|x11,|FB|x21(x1x2),x
6、132.答案:3210设x1、x2R,常数a0,定义运算“*”:x1x*a)的轨迹方程是_解析:由y,得y2x*a(xa)2(xa)24ax(y0)答案:y24ax(y0)三、解答题:(本大题共3小题,11、12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤)11A、B是抛物线y22px(p0)上的两点,且OAOB.(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积;(2)求证:直线AB过定点;(3)求弦AB中点P的轨迹方程;(4)求AOB面积的最小值解:设A(x1,y1),B(x2,y2),中点P(x0,y0)(1)kOA,kOB.OAOB,kOAkOB1,x1x2y1y20.y2px1,y2px2
7、,y1y20.y10,y20,y1y24p2,x1x24p2.(2)y2px1,y2px2,(y1y2)(y1y2)2p(x1x2),kAB.直线AB:yy1(xx1)yy1.y.y2px1,y1y24p2,y.y(x2p)AB过定点(2p,0)(3)如图,设OA:ykx,代入y22px得:x0或x,A.同理,以代k得B(2pk2,2pk)设中点坐标P(x0,y0),.k222,22,即ypx02p2.中点P的轨迹方程为y2px2p2.(4)设M(2p,0),SAOBSAOMSBOM|OM|(|y1|y2|)p(|y1|y2|)2p4p2,当且仅当|y1|y2|2p时,等号成立评析:解决直线与
8、抛物线的有关问题时要注意以下几点:设抛物线上的点为(x1,y1),(x2,y2);因为(x1,y1),(x2,y2)都在抛物线上,故满足y2px1,y2px2;利用yy4p2x1x2可以整体得到y1y2或x1x2.12是否存在同时满足下列条件的抛物线:准线是y轴;顶点在x轴上;点A(3,0)到该抛物线上的动点P的距离的最小值为2?如果存在,求出抛物线方程;如果不存在,说明理由解:设满足条件的抛物线存在,顶点B在x轴上设B(a,0),以y轴为准线的抛物线方程为y24a(xa),由条件知a0.设P是抛物线上的点,其坐标为.则|AP|22m2m212(aa2)212a8a2,当aa20,即0a1,且
9、m212(aa2)时,|AP|min.2,解得a1或a.此时抛物线方程为y24(x1)或y22.当aa21,且m0时,|AP|min|a3|2.a5,此时抛物线方程为y220(x5),存在满足条件的抛物线,其方程为y24(x1)或y22或y220(x5)13(2010福建)已知抛物线C:y22px(p0)过点A(1,2)(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求直线l的方程;若不存在,说明理由解:(1)将(1,2)代入y22px,得(2)22p1,所以p2.故所求抛物线C的方程为y24x,其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y2xt,由得y22y2t0.因为直线l与抛物线C有公共点,所以48t0,解得t.由直线OA与l的距离d可得,解得t1.因为1,1,所以符合题意的直线l存在,其方程为2xy10.精品资料。欢迎使用。高考资源网w。w-w*k&s%5¥u高考资源网w。w-w*k&s%5¥u