1、 9.8 空间向量在立体几何中的应用一、学习目标1.能用空间向量处理线面位置关系；2.能用空间向量求解空间角问题二、知识回顾1.直线的方向向量与平面的法向量的确定（1）直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的非零向量也是直线l的方向向量（2）平面的法向量定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量确定：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmnm0l
2、nmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmnm03. 用向量求解空间角（1） 异面直线所成角：设异面直线，的方向向量分别为，则； （2） 直线与平面所成角：设直线的方向向量为，平面的法向量为，则；（3）二面角：设平面，的法向量分别为，则三、 典例分析例1.如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，点E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点求证：（1）PB平面EFG； （2）平面EFG平面PBC. 【证明】(1)因为平面PAD平面ABCD，且ABCD为正方形，故AB，AP，AD两两垂直以A为原点，以AB，AD，AP正方向为x轴，y轴，z轴建立如图
3、空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)于是(0，1，0)，(1，2，1)，设平面EFG的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则n(1，0，1)为平面EFG的一个法向量，因为(2，0，2)，所以n0，所以n，因为PB平面EFG，所以PB平面EFG.(2)因为(0，1，0)，(0，2，0)，所以2，所以BCEF. 又因为EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC，同理可证GFPC，从而得出GF平面PBC.又EFGFF，EF平面EFG，GF平面EFG，所以平面E
4、FG平面PBC.例2如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.（1） 证明：APBC；（2）若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明：平面AMC平面BMC. 【证明】（1）如图所示，以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0，0，0)，A(0，3，0)，B(4，2，0)，C(4，2，0)，P(0，0，4)于是(0，3，4)，(8，0，0)，所以(0，3，4)(8，0，0)0，所以，即APBC.（2）由(1)知AP5，又AM3，且点M在线段AP上，所以，又(4，
5、5，0)，所以，则(0，3，4)0，所以，即APBM，又根据(1)的结论知APBC，所以AP平面BMC，于是AM平面BMC.又AM平面AMC，故平面AMC平面BMC.例3.（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为_【答案】解析：以D点为原点，以DA，DC，DD1的正方向为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系Dxyz，设DA1，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，则(1，1，0)，设异面直线DE与AC所成的角为，则cos |cos，|.（2）如图，已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB3，E为线段AB上一点，且A
6、EAB，则DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为（ ）A. B. C. D.【解析】如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C1(0，3，1)，D1(0，0，1)，E(1，1，0)，C(0，3，0)，所以(0，3，1)，(1，1，1)，(0，3，1)设平面D1EC的法向量为n(x，y，z)，则即即取y1，得n(2，1，3)因为cos，n，所以DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为.（3）在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_【答案】解析：以A为原点建立如图所示的
7、空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，D(0，1，0)，所以(0，1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，则所以所以n1(1，2，2)因为平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1)，所以cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.四、 课外作业1如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，且，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）A B CD【答案】A2如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）A BC D【答案】D3.如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为正方形，侧棱AA1底面A
8、BCD，AB3，AA14，P是侧面BCC1B1内的动点，且APBD1，记AP与平面BCC1B1所成的角为，则tan 的最大值为（ ）A. B. C2 D. 【答案】B解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，4)，(3，3，4)设P(x，3，z)，则(x3，3，z)因为APBD1，所以0，所以3(x3)334z0，所以zx，连接BP，则BP，易知APB，所以tan ，所以tan 的最大值为.4如图，正四棱柱中，点在上且（1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值 【答案】（1）依题设，
9、 .于是 ，即，又，平面（2）由（1）知为面的一个法向量设向量是平面的法向量，则，令，则，所以 观察可知二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为5如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，是上的一点，（1）证明：平面；（2）设二面角为，求与平面所成角的大小 【答案】（1）以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，设，则，平面.（2），设平面的法向量为，则，取，设平面的法向量为，则，取，平面平面，故，设与平面所成角为，则，与平面所成角的大小为.6如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（1）证明：平面PQC平面DCQ； （2）求二面角Q-BP-C的余弦值.【答案】（1）如图，
10、以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，为x、y、z轴建立空间直角坐标系.依题意有，则，所以，即，.且,故平面.又平面，所以平面平面.（2）依题意有，=，=.设是平面的法向量，则即因此可取设是平面的法向量，则可取所以，且由图形可知二面角为钝角，故二面角的余弦值为7如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形.（1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值【答案】（1）建立空间直角坐标系如图所示，设，则，设，则，因为，所以，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以平面；（2）设平面的法向量为，因为，所以，取，所以，又因为，所以，设与平面所成角为，所以.8.如图，四棱锥PABCD
11、中，ABCBCD90，AB2，CDCBCP1，点P在底面上的射影为线段BD的中点M，点F为AB的中点（1）若点E为棱PB的中点，求证：CE平面PAD；（2）求二面角APBC的平面角的余弦值 【答案】（1）如图，由点P在底面上的射影为线段BD的中点M，且MCMBMFMD，则PCPBPDBC，以B为坐标原点，BC，BA所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系Bxyz，则B(0，0，0)，A(0，2，0)，C(1，0，0)，D(1，1，0)，则(1，1，0)，所以t(1，1，)为平面PAD的一个法向量，所以t0，所以CE平面PAD.(2)(0，2，0)，(1，0，0)，设平面BPA的一个法向量为m(x，y，z)，由，即，取m(，0，1)，同理，平面BPC的一个法向量为n(0，1)，设是二面角APBC的平面角，易见与m，n互补，故cos cosm，n，所以二面角APBC的平面角的余弦值为.
