1、12.4 复数的三角形式基础认知自主学习【概念认知】1辐角与辐角主值(1)辐角：如图所示，以 x 轴的非负半轴为始边、向量OZ 所在的射线(起点是原点 O)为终边的角 叫做复数 zabi 的辐角(2)辐角主值：任一非零的复数zabi的辐角有无限个值，这些值相差2的整数倍我们把其中适合于_的辐角的值叫做复数zabi的辐角主值，记作argz，即0argz2.022复数的三角形式与代数形式(1)三角形式：_称为复数z的三角形式(2)代数形式：abi称为复数z的代数形式3复数乘法的三角表示已知z1r1(cos 1isin 1)，z2r2(cos 2isin 2)，则z1z2_这就是说，两个复数相乘，其
2、积的模等于这两个复数模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和r(cosisin)r1r2cos(12)isin(12)4复数除法的三角表示已知 z1r1(cos 1isin 1),z2r2(cos 2isin 2)，则z1z2 _这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差112122r cos()+isin()r【自我小测】1下列各角不是复数 3 3 3i 的辐角的是()A6B116C4 D356【解析】选 C.因为 r（3 3）2（3）2 6，cos 32，sin 12，所以辐角主值 116，故可以作为复数 3 3 3i
3、 的辐角的是1162k，kZ.所以当 k1 时，116(2)6；当 k0 时，1160116；当 k2 时，1164356.2已知 i 为虚数单位，z1 2(cos 60isin 60)，z22 2(sin 30icos 30)，则 z1z2()A4(cos 90isin 90)B4(cos 30isin 30)C4(cos 30isin 30)D4(cos 0isin 0)【解析】选 D.因为 z22 2(sin 30icos 30)2 2(cos 60isin 60)2 2 cos(60)isin(60)，所以 z1z24(cos 0isin 0).322cos 60isin 60_【解析
4、】22cos 60isin 602cos 0isin 02cos 60isin 60cos 060isin 060cos 60isin 6012 32i.答案：12 32i4把复数2cos 3isin 3表示成三角形式的结果是_【解析】因为2cos 3isin 31 3 i212 32 i，所以 r2，cos 12，sin 32，所以 可以取43，所以所求复数的三角形式为2cos 43 isin 43.答案：2cos 43 isin 435复数1cos 3isin 3的代数形式是_【解析】1cos 3isin 3cos 3 isin 3 12 32i.答案：12 32i6计算下列各式(1)2
5、cos 23 isin 232 2 cos 3isin 3；(2)2cos 75isin 751212i.【解析】(1)原式 2 2 2(cos isin)4(10i)4.(2)原式2cos 75isin 75 2222 22 i2cos 75isin 75 22cos(45)isin(45)2 cos 30isin 30 2 32 12i 62 22i.学情诊断课时测评【基础全面练】一、单选题1复数 sin 45icos 45的辐角主值是()A45 B135 C225 D315【解析】选 D.因为 r222 222 1，cos 22，sin 22，所以辐角主值 315.2(2021合肥高二检
6、测)计算3cos 270isin 27013cos 90 isin 90的结果是()A9 B9 C1 D1【解析】选 B.3cos 270isin 27013cos 90 isin 909cos 27090 isin 270909cos 360isin 3609.3已知复数 z13cos 12isin 12，z2cos 712 isin 712，则 z1z2 的模和辐角主值分别为()A3，23 B3，712C1，12 D3，3【解析】选 A.z1z23cos 12isin 12cos 712isin 7123cos 23isin 23，模为 3，arg(z1z2)23.二、填空题4(2021太
7、原高二检测)把复数 3 i 转化为三角形式(辐角取辐角主值)为_【解析】复数 3 i 的模为 2，设复数的辐角主值 0，2)由复数的三角形式得cos 32，sin 12，所以 116，所以复数为 2cos 116 isin 116.答案：2cos 116 isin 1165(2021潍坊高二检测)在复平面内，把与复数i 对应的向量绕原点 O 按逆时针方向旋转 45，所得向量对应的复数为 z，则复数 z 是_(用代数形式表示).【解析】由题意得 z(cos 45isin 45)(i)22 22 ii 22 22i.答案：z 22 22i三、解答题6复数的代数形式与三角形式互化(1)3cos 6i
8、sin 6；(2)32(cos isin)；(3)33i；(4)55i.【解析】(1)3cos 6isin 6332 12i3 3232 i；(2)32(cos isin)32(10)32；(3)因为复数的模等于 3 2，辐角等于54所以33i3 2 22 22 i3 2(cos 54 isin 54)；(4)因为复数的模等于 5 2，辐角等于34，所以55i5 2 22 22 i5 2 cos 34 isin 34.【综合突破练】一、选择题1下列表示复数 1i 的三角形式中 2 cos 4isin 4；2 cos 4 isin 4；2 cos 94 isin 94；2 cos 4isin 3
9、4；正确的个数是()A1 B2 C3 D4【解析】选 B.因为 r1212 2，cos 22，sin 22所以辐角主值为4，所以 1i 2 cos 4isin 4 2 cos 94 isin 94，故的表示是正确的，的表示不正确2若复数 zr(cos isin)(r0，R)，则把这种形式叫作复数 z 的三角形式，其中 r 为复数 z 的模，为复数 z 的辐角若一个复数 z 的模为 2，辐角为23，则zi()A1 3 i B1 3 iC 3 i D 3 i【解析】选 D.由复数 z 的模为 2，辐角为23，可得 z2cos 23 isin 231 3 i.所以zi 1 3ii1 3i i1 3
10、i.【加固训练】(2021郓城高二检测)已知复数 z 满足|z 1，则z43i的最大值为()A4 B5 C6 D7【解析】选 C.由|z 1 可设：zcos isin，所以 z43icos 4sin 3i，所以z43icos 4 2sin 3 2cos 2sin 26sin 8cos 25 2610sin(其中 tan 43)，所以当 sin 1 时z43imax2610 6.3(2021武汉高二检测)复数 zcos 15 isin 15 是方程 x50 的一个根，那么 的值等于()A 3212 i B12 32iC 3212 i D12 32i【解析】选 B.由题意得，cos 15isin
11、155cos 3 isin 3 12 32i.4(多选)已知复数 zcos isin 22(其中 i 为虚数单位)，下列说法正确的是()A复数 z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B|z|cos Cz z 1Dz1z 为实数【解析】选 CD.复数 zcos isin 20，复数 z在复平面上对应的点(cos，sin)不可能落在第二象限，所以 A 不正确；|z|cos2sin2 1，所以 B 不正确；z z(cosisin)(cos isin)cos2sin21，所以 C 正确；z1z cosisin 1cos isin cos isin cos()isin()2cos 为实数，所以 D 正确
12、 【加固训练】(1)将复数 1 3 i 对应的向量ON 绕原点按顺时针方向旋转2，得到的向量为ON 1，那么ON 1 对应的复数是()A 3 i B 3 i C 3 i D 3 i【解析】选 A.复数 1 3 i 的三角形式是2cos 3isin 3，向量ON 1 对应的复数是2cos 3sin 3cos 2isin 22cos 6 isin 6 3 i.(2)12 cos 30isin 302(cos 60isin 60)3(cos 45isin 45)()A3 223 22i B3 223 22iC3 223 22i D3 223 22i【解析】选 C.12 cos 30isin 302(
13、cos 60isin 60)3(cos 45isin 45)12 23cos(306045)isin(306045)3cos 135isin 1353 22 22 i3 223 22i.二、填空题5设 z12i 对应的向量为OZ，将OZ 绕原点按顺时针方向旋转 30所得向量对应的复数的虚部为_【解析】所得向量对应的复数为(12i)cos(30)isin(30)(12i)32 12i32212 32i，故虚部为12 32.答案：12 326(2021宁波高二检测)欧拉公式 eixcos xisin x(i 为虚数单位)把复指数函数与三角函数联系起来，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数
14、和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”请计算：ei_；猜想：ii_(填“是”或“不是”)虚数【解析】由欧拉公式可知 eicos isin 1，因为i 2ecos 2 isin 2 i，所以 iii 2(e)i2i 2e2e 为实数，不是虚数答案：1 不是 【加固训练】欧拉公式 eixcos xisin x(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，对2019 i4e 表示的复数 z，则|z 等于_；
15、z1i 等于_.【解析】由欧拉公式 eixcos xisin x，可得2019 i4e cos 2 0194isin 2 0194 22 22i，所以|z 222222 1，z1i 22（1i）1i 22i.答案：1 22i三、解答题7求复数 z1cos isin(2)的模与辐角的主值【解析】z1cos isin 2cos 22 2isin 2 cos 2 2cos 2 cos 2isin 2因为 2，所以2 2，所以 cos 2 0，所以式2cos 2(cos 2 isin 2)2cos 2 cos(2)isin(2)，所以 r2cos 2，因为2 2，所以32 2 2，所以 arg z2.【加固训练】如图，复平面内，ABC 是等边三角形，它的两个顶点 A，B 的坐标分别为(1，0)，(2，1)，求点 C 的坐标【解析】将原点 O 平移至 A 点，建立平面直角坐标系 xAy则|AB|2，所以AB 1i 2 22 22 i 2 cos 4isin 4，将AB 绕点 A 顺时针方向旋转3 得AC 2 cos 4isin 4cos 3isin 3 2 cos 43 isin 43 2 cos 12isin 12 2 6 246 24i3121 32i所以在原平面直角坐标系 xOy 中，点 C 坐标为3121，1 32，即332，1 32.
