1、 8.7抛物线一、 学习目标1.理解抛物线的定义；2.掌握抛物线的标准方程及简单几何性质.二、知识要点1.抛物线定义：平面内，与一个定点和一条定直线（）距离相等的点的轨迹；2.标准方程与几何性质：标准方程图 形焦点准线方程的几何意义焦点到准线的距离离心率3.抛物线的焦点弦的性质： 以为例（1） ，； （2）；（3）（为直线的倾斜角）； （4）；（5）以为直径的圆与准线相切； （6）以为直径的圆均与轴相切；（7）； （8）三、课前热身1.抛物线的焦点坐标是_，准线方程为_.【答案】，.2. 若抛物线上的点到焦点的距离为10，则到轴的距离是_.【答案】93.平面上与定点和定直线的距离相等的点的轨迹
2、方程是_.【答案】4.斜率为1的直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，则_.【答案】8二、 典例分析例1.（1）已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，又，则的最小值为_，此时的点的坐标为_.（2）如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）ABCD【答案】（1），； （2）A.例2.（1）以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过的抛物线方程为_（2）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽为 米 【答案】（1）或； （2）.例3.（1）已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，则线段的中点到轴的
3、距离为_.（2）已知抛物线上有一条长为10的动弦，抛物线的焦点为，则弦的中点到轴的最短距离为（ ）A.6B.5C.4D.3【答案】（1）； （2）C.例4.（1）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为_.（2）已知点是抛物线上动点，是抛物线的焦点，点的坐标为，则的最小值为_.【答案】 （1）8； （2）.例5.（1）经过点作直线交抛物线于两点，且恰好是的中点，则直线的方程是_.（2）已知直线与抛物线相交于、两点，为的焦点，若，则_.【答案】（1）； （2）.例6.已知抛物线的焦点为，直线经过焦点且与抛物线交于、两点，、在准线上的射影分别是、.求证：（1），； （2）；（3）
4、（为直线的倾斜角）； （4）；（5）以为直径的圆与准线相切； （6）以为直径的圆均与轴相切；（7）； （8）五、 课外作业基础题：1.抛物线的准线方程是，则的值为（ ）A. B. C. D.【答案】B2已知A为抛物线（）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）A2B3C6D9【答案】C3.设抛物线的焦点为，点若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为（ ）AB C D【答案】B4设抛物线的顶点为，焦点为，准线为是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）A经过点 B经过点 C平行于直线 D垂直于直线【答案】B5.设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，
5、则的值为（ ）A3B4C6D9【答案】C6.设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点且，则直线的斜率的最大值为（ ）A BCD1【答案】C7已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，则线段的中点到轴的距离是_【答案】8斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=_【答案】9. 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若 为的中点，则【答案】610.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，则_.【答案】11 过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于、两点，、在轴上的正射影分别为、，若梯形的面积为，则_.【答案】212 设抛物线的焦点
6、为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，垂足为，则的面积为_.【答案】13已知抛物线与直线相交于、两点.（1）求证：； （2）当的面积等于时，求的值.【答案】（1）证明：设、，直线过定点，由、共线， 又，（2）由已知得，则，得，则， ，故.14已知过抛物线（）的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且.（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值.【答案】（1）直线AB的方程是与联立，消去得，所以，由抛物线定义得，所以p=4，抛物线方程为；（2） 由p=4，化简得，从而，从而A(1,),B(4,)，设=，又，即8（4），即，解得.15已知抛物线C：
7、y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P （1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程； （2）若，求|AB|【答案】（1）设直线方程为：，由抛物线焦半径公式可知： 联立，得.则 ，解得.直线的方程为，即；（2）设，则可设直线方程为联立，得则 ， ， 则.16已知抛物线的焦点F到准线的距离为2（1）求C的方程；（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.【答案】（1）抛物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以抛物线方程为；（2）设，则，所以，由在抛物线上可得，即，所以直线的斜率，当时，；当时，当时，因为，此时，当且仅当，即时，等号成立；当时，； 综上，直线的斜率的最大值为.提高题：1. 设抛物线上有不同两点关于直线对称，则的取值范围是_【答案】2过抛物线的焦点F任作两条互相垂直的直线，分别与抛物线E交于A，B两点和C，D两点，则的最小值为_【答案】93抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足，为线段的中点，设在上的射影为，则的最大值是（ ）A B CD【答案】C
