1、高一数学考点题型 技巧精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册)8.6.2直线与平面垂直【考点梳理】考点一直线与平面垂直的定义定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直记法l有关概念直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直考点二直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言la，lb，a，b，abPl图形语言考点三直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线与平面相交，但不与这个平面垂直，这
2、条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面上的射影为直线AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中PAO规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0取值范围设直线与平面所成的角为，090文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言ab图形语言【题型归纳】题型一：直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解1若表示直线，表示平面，下面推论中正确的个数为（），则；，则；，则.A1B2C3D0
3、2在空间中，表示直线，表示平面，则下列命题正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则3设，为两个不同的平面，为两条不同的直线，下列命题正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则题型二：直线与平面垂直的判定4如图，PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，AEPB于点E，AFPC于点F(1)求证：PC平面AEF；(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AGPD5如图，已知矩形CDEF和直角梯形ABCD，ABCD，ADC90，DEDA，M为AE的中点.（1）求证：AC平面DMF；（2）求证：BEDM.6如图所示，四边形为正方形，平面，过点且垂直于的平面分别交于点求证：题型三：直线与平面垂直的性质7如
4、图所示，为的直径，C为上一点，平面，于E，于F.求证：平面.8在五面体EFABCD中，正方形CDEF所在平面与平面ABCD垂直，四边形 ABCD为等腰梯形，ABCD，ADDCBCAB(1)求证：ACBF；(2)若三棱锥ABCE的体积为，求线段AB的长9如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD60(1)证明：C1CBD；(2)当的值为多少时，能使A1C平面C1BD?请给出证明题型四：求直线与平面所成的角10如图所示，在中，斜边，它在平面上的射影长为4，求与平面所成角的正弦值11如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面，(1)证明：ACCD；(2)若E
5、是棱PC的中点，求直线AD与平面PCD所成的角12如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，侧棱底面，且，是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正切值.【双基达标】一、单选题13已知a，b，c为不同直线，为不同平面，给出下列命题：若，则；：若，则内存在与a相交的直线；：若，则；：，若a不垂直于c，则a不垂直于b其中为假命题的是（）ABCD14在正方体中，与平面所成角的正弦值是（）ABCD15已知空间中两个不同的平面，及两条不同的直线，且，不垂直，则下列说法正确得是（）A若，则可能垂直B若，则可能垂直C若，则可能平行D若，则可能垂直16在正方形中，、分别是及的中点，是的
6、中点现在沿、及把这个正方形折成一个空间四边形，使、三点重合，重合后的点记为，那么，在空间四边形中必有（）A所在平面B所在平面C所在平面D所在平面17若，是两个不同的平面，是三条不同的直线，则下列命题错误的是（）A若，且，则与不共面B若，是异面直线，且，则C若，则D若，则18如图，在正方体中，分别是，的中点，则下列说法错误的是（）AB平面C平面D与是异面直线19已知三个不同的平面，三条不同的直线，满足，则下列命题不一定正确的为（）A若，则B若点，则C若，则D若，则20如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点，求证：平面EAB21如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，且面，、分别是棱、的中点.(1)求
7、证：平面；(2)求四棱锥的体积.【高分突破】一：单选题22如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（）A直线与直线垂直，直线平面B直线与直线平行，直线平面C直线与直线相交，直线平面D直线与直线异面，直线平面23在正方体中，点是四边形的中心，关于直线，下列说法正确的是ABC平面D平面24已知是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则25已知圆锥的底面半径为，当圆锥的体积为时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（）ABCD26如图，在四棱锥中，底面为正方形，且,其中，分别是，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：；面；面，其中恒成立的为（）
8、ABCD27如图，在矩形中，为边的中点，沿将折起，在折起的过程中，下列结论能成立的是（）A平面B平面C平面D平面28如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则三棱锥的体积为（）ABCD不确定二、多选题29如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（）AAG平面EFHBAH平面EFHCHF平面AEHDHG平面AEF30如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于，任一点，则下列结论中正确的是ABC平面D平面平面31如图所示，在四个正方体中，是
9、正方体的一条体对角线，点分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形为（）ABCD32如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，点为的中点，则下列判断正确的是（）A与所成的角为B平面C平面D33如图，在三棱锥中，平面，为的中点，则下列结论正确的有（）A平面BC平面D平面三、填空题34如图，ACB=90，平面ABC外有一点P，PC=4 cm，点P到角的两边AC，BC的距离都等于2 cm，则PC与平面ABC所成角的大小为_.35如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，则EF与平面BB1O的位置关系是_.(填“平行”或“垂直”) 36下列命题中，正确
10、的序号是_若直线与平面内的无数条直线垂直，则；若直线与平面内的一条直线垂直，则；若直线不垂直于平面，则内没有与垂直的直线；若直线不垂直于平面，则内也可以有无数条直线与垂直；过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条37已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为_.38如图，为正方体，下面结论中正确的是_（把你认为正确的结论都填上）平面；平面；与平面所成角的正切值是；过点与异面直线与成角的直线有2条四、解答题39如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD平面ABCD，AB=2，BC=1，E为PB中点（）求证：PD平面ACE；（）求证：PD平面PBC；（）求三棱锥E-
11、ABC的体积40如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.（1）求证：平面PBD；（2）若，直线与平面所成的角为45，求四棱锥的体积.41如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.（1）证明：BC面PAC；（2）若PA=AC=1，AB=2，求直线PB与平面PAC所成角的正切值.42已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，.（）若是与的交点，求证：平面；（）若点是的中点，求异面直线与所成角的余弦值.43如图，在四棱锥P-ABCD中，ABAD，CDAD，PA平面ABCD，PAADCD2AB2，M为PC的中点（1）求证：BM/平面PAD（2）平面PAD内是否存在一点N，
12、使MN平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由44如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，.（1）设M，N分别为，的中点，求证：平面；（2）求证：；（3）求直线与平面所成角的余弦值.45如图1，在直角梯形中，且.现以为一边向梯形外作矩形，然后沿边将矩形翻折，使，如图2.（1）求证：平面；（2）若多面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.17原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【答案详解】1A【详解】对于，当时，则相交垂直或异面垂直，所以正确，对于，当时，或，所以错误，对于，当时，与平行，或相交，或，
13、所以错误，故选：A2D【详解】选项A：若，则可能与平面平行，可能与平面相交，也可能在平面内，选项A错误；选项B：若，则与可能平行，可能相交，也可能异面，选项B错误；选项C：若，则可能与平面平行，也可能在平面内，选项C错误；选项D：若，则，根据线面垂直的性质定理可知选项D正确.故选：D.3C【详解】对于A，若，则与可能异面，也可能平行，故A错误；对于B，若，则与可能相交、异面或平行，故B错误；对于C，过直线作平面，使与相交，设，又，所以，又，所以，所以，故C正确；对于D，若，则与可得平行、相交或，故D错误.故选：C4【解析】(1)为矩形，平面，BC平面，又PAABA，PA与AB平面PAB，平面又
14、AE平面PAB又，PBBCB，PB与BC平面PBC，平面，PC平面PBC又，AE与AF平面AEF平面；(2)为矩形平面平面平面平面5【详解】（1）如图，连结EC交DF于点N，连结MN.因为CDEF为矩形，所以EC，DF相互平分，所以N为EC的中点.又因为M为EA的中点，所以MNAC.又因为AC平面DMF，且MN平面DMF.所以AC平面DMF.（2）因为矩形CDEF，所以CDDE.又因为ADC90，所以CDAD.因为DEADD，DE，AD平面ADE，所以CD平面ADE.又因为DM平面ADE，所以CDDM.又因为ABCD，所以ABDM.因为ADDE，M为AE的中点，所以AEDM.又因为ABAEA，
15、AB，AE平面ABE，所以MD平面ABE.因为BE平面ABE，所以BEMD.6【详解】平面，平面，；四边形是正方形，；，平面，平面，又平面，平面，平面，又，平面，平面，平面，7【详解】证明：为O的直径，C为O上点，所以因为平面，平面，所以又,所以 面又平面，则又，所以平面又平面，所以又因为，所以平面8(1)证明：取AB中点O，连COADDCBCAB，ABCD，四边形AOCD为菱形，COOAOB，OCB为正三角形，ACBC， 正方形CDEF所在平面与平面ABCD垂直，FC面ABCD，AC面ABCD，FCACBCFCC，AC面BCF，BF面BCF，ACBF(2)解：设BCx，则AB2x，由勾股定理
16、得AC，由（1）可知ED面ABCD，故，即，解得x2AB49(1)连结AC和BD交于O，四边形ABCD是菱形，ACBD，BCCD又BCC1DCC1，C1CC1C，C1BCC1DC，C1BC1D，DOOB，C1OBD又，平面AA1C1C，BD平面AA1C1C，平面AA1C1C，C1CBD(2)当1时，能使A1C平面C1BD证明：由（1）知，BD平面AA1C1C，A1C平面AA1C1C，BDA1C，当1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可得BC1A1C，又BDBC1B，A1C平面C1BD10【详解】解：由题意知，是在平面内的射影，所以平面，所以在平面内的射影为所以即为直线与平面所成的角又因为
17、在中，所以在中，在中，即与平面所成角的正弦值为11(1)证明：因为底面，底面，所以，因为，所以，平面，所以平面，因为平面，所以(2)解：由（1）平面，平面，所以，因为，为的中点，所以，因为，平面，所以平面，所以即为直线与平面所成的角，因为，所以，所以，所以，因为，所以，即直线与平面所成的角为；12（1）；（2）.【详解】（1）在三棱柱中，取的中点，连接.是的中点，是异面直线与所成角，底面是等腰直角三角形，是的中点，平面，平面，又平面，平面，又平面，在中，即异面直线与所成角的余弦值为；（2）由（1）知：平面，在平面上的射影是，是直线与平面所成角，在中，即直线与平面所成角的正切值为.13D【详解】
18、：若，则，又，则，故正确；：若，则直线与平面无公共点，所以内不存在与a相交的直线，故错误；：如图所示：在正方体中，平面 平面 ，但平面 与平面 不垂直，所以若，则不一定垂直，故错误；：如图所示：在正方体中，平面平面 ，平面 平面 ， 不垂直于BC，但 ，故错误；故选：D14C【详解】如图所示：因为平面ABCD，所以AC为在平面上的射影，所以是与平面所成的角设棱长，则，所以，故选：C15B【详解】若，则，与题意不符，故A不对；若，则，与题意不符，故C不对；若，则，与题意不符，故D不对；两个垂直平面内也有直线不垂直，B正确故选：B.16A【详解】对于A，在正方形中，所以在四面体中，又平面，所以平面
19、，故选项A正确；对于B，若平面，结合选项A，则，显然矛盾，故选项B错误；对于C，因为面，面，所以，又，平面，所以平面，假设平面，则平面平面，显然矛盾，故选项C错误；对于D，因为面，面，所以，若平面，平面，则，平面，故，显然矛盾，故D错误；故选：A.17D【详解】对于A：由异面直线的定义可知：若，且，则与是异面直线；所以与不共面，故选项A正确；对于B：若，是异面直线，则平面内必然存在两条相交直线，使得，又因为，则，所以，故选项B正确；对于C：若，由面面平行的判定定理可得，故选项C正确；对于D：若，则与可能相交、平行或异面，故选项D不正确；所以不正确的为选项D，故选：D.18D【详解】对A，如图所
20、示，连接，因为点为中点，所以，在正方体中易得，所以，故A正确；对B，如图所示，连接交于点，连接，与交于点，连接，在正方体中，易得，所以四边形为平行四边形，则，又为中点，点在上，则易知点为的中心点，因为点为中点，所以，又平面，平面，所以平面，故B正确；对C，如图所示，连接，在正方体中，易知，所以平面，又平面，所以，又为，中点，则，又，所以，所以平面，故C正确；对D，如图所示，连接，易知：又，则，所以与共面，故D错误.故选：D19D【解析】【分析】由直线与平面平行的判定与性质判断A，由三平面两两相交，交线要么相交于一点，要么互相平行判断B，直接证明C，由垂直于同一直线的两条直线的位置关系判断D【详
21、解】解：对于A，如图若，则，因为，所以，所以A正确，对于B，若点，又，所以，而，所以，所以B正确，对于C，如图，若，则在内任取一点（），在内过点分别作，由面面垂直的性质可得，则，所以，所以C正确，对于D，若，则与一定相交，但不一定垂直，所以D错误，故选：D20见解析【解析】【分析】通过证明和，进而可得证.【详解】E，F分别是棱，的中点，在Rt和Rt中，所以Rt Rt，所以，因为，所以，所以，即，又因为正方体中，平面,平面，所以，和平面EAB内的两条相交直线，所以平面EAB.21(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）连接，证明出平面，即可证得结论成立；（2）计算出菱形的面积，再利用锥体
22、的体积公式可求得四棱锥的体积.(1)证明：连接，因为四边形为菱形，则，平面，平面，则，平面，因为、分别是棱、的中点，则，平面.(2)解：四棱锥的底面是边长为的菱形，则为等边三角形，所以，因为，平面，故.22A【解析】【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.【详解】连，在正方体中，M是的中点，所以为中点，又N是的中点，所以，平面平面，所以平面.因为不垂直，所以不垂直则不垂直平面，所以选项B,D不正确；在正方体中，平面，所以，所以平面，平面，所以，且直线是异面直线，所以选项C错误，选项A正确.故选：A.【点睛】关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平
23、行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.23C【解析】【分析】设，证明出，可判断出选项A、C的正误；由为等腰三角形结合可判断出B选项的正误；证明平面可判断出D选项的正误.【详解】如下图所示，设，则为的中点，在正方体中，则四边形为平行四边形，.易知点、分别为、的中点，则四边形为平行四边形，则，由于过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则A选项中的命题错误；，平面，平面，平面，C选项中的命题正确；易知，则为等腰三角形，且为底，所以，与不垂直，由于，则与不垂直，B选项中的命题错误；四边形为正方形，则，在正方体中，平面，平面，平面，平面，同理可证
24、，且，平面，则与平面不垂直，D选项中的命题错误.故选C.【点睛】本题考查线线、线面关系的判断，解题时应充分利用线面平行与垂直等判定定理证明线面平行、线面垂直，考查推理能力，属于中等题.24B【解析】【分析】根据线面位置关系的定理与性质对选项一一判断即可【详解】A中，若，可能相交也可能平行，则错误；B中，根据线面垂直的性质可判断，则正确；C中，若，a，b的位置不定，则错误；D中，若，可能相交也可能平行，则错误故选：B25A【解析】【分析】首先理解圆锥体中母线与底面所成角的正弦值为它的高与母线的比值，结合圆锥的体积公式及已知条件即可求出正弦值.【详解】如图，根据圆锥的性质得底面圆，所以即为母线与底
25、面所成角，设圆锥的高为，则由题意，有，所以，所以母线的长为，则圆锥的母线与底面所成角的正弦值为.故选：A【点睛】本题考查了圆锥的体积，线面角的概念，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据圆锥的性质得即为母线与底面所成角，再根据几何关系求解.26A【解析】【详解】分析：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN（1）由正四棱锥SABCD，可得SO底面ABCD，ACBD，进而得到SOAC可得AC平面SBD由已知E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，利用三角形的中位线可得EMBD，MNSD，于是平面EMN平面SBD，进而得到AC平面EMN，ACEP;（2）由异面直线的定义可知：
26、EP与BD是异面直线，因此不可能EPBD；（3）由（1）可知：平面EMN平面SBD，可得EP平面SBD；（4）由（1）同理可得：EM平面SAC，可用反证法证明：当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直详解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN对于（1），由正四棱锥SABCD，可得SO底面ABCD，ACBD，SOACSOBD=O，AC平面SBD，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，EMBD，MNSD，而EMMN=N，平面EMN平面SBD，AC平面EMN，ACEP故正确对于（2），由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EPBD，因此不正确；对于（3），由（1）可知：平
27、面EMN平面SBD，EP平面SBD，因此正确对于（4），由（1）同理可得：EM平面SAC，若EP平面SAC，则EPEM，与EPEM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直即不正确故选A点睛：本题考查了空间线面、面面的位置关系判定，属于中档题对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断.还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.27B【解析】【分析】用线面垂直的判定定理对四个选项逐一结合条件分析即可.【详解】因为在矩形ABCD中，AB4，BC2，E为DC边的中点，则在折起过程中，D点在平面BCE上的射影的轨迹为为O1O2(如图
28、)因为折起过程中，DE与AC所成角不能为直角，所以DE不垂直于平面ACD，故A错；因为ADED，并且在折起过程中，当点D的射影位于O点时，有ADBD，所以在折起过程中AD平面BED能成立，故B正确；折起过程中，BD与AC所成的角不能为直角，所以BD不垂直于平面ACD，故C错；只有D点射影位于O2位置，即平面AED与平面AEB重合时，才有BECD，所以折起过程中CD不垂直于平面BED，故D错.故选：B.【点睛】关键点点睛：立体几何中折叠问题，要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决该问题的关键.28A【解析】【分析】根据题意可知平面，而，在线段上运动，则平面，从而得出点到直线的距离不变
29、，求出的面积，再根据线面垂直的判定定理可证出平面，得出点到平面的距离为，最后利用棱锥的体积公式求出三棱锥的体积.【详解】解：由题可知，正方体的棱长为1，则平面，又，在线段上运动，平面，点到直线的距离不变，由正方体的性质可知平面，则，而，故的面积为，又由正方体可知，且，平面，则平面，设与交于点，则平面，点到平面的距离为，.故选：A.29BC【解析】【分析】由题意可得，AHHE，AHHF，HFHE，从而利用线面垂直的判定定理可得AH平面EFH，HF平面AHE，进而可得答案【详解】解：由题意可得：AHHE，AHHF.AH平面EFH，而AG与平面EFH不垂直.B正确，A不正确.又HFHE，HF平面AH
30、E，C正确.HG与AG不垂直，因此HG平面AEF不正确.D不正确.故选：BC.【点睛】此题考查线面垂直的判定，考查折叠问题，属于基础题30BD【解析】【分析】由题意结合线面垂直的性质及平面几何知识可得、，再由线面垂直的判定、性质可判断B，由面面垂直的判定可判断D；结合线面垂直的判定、性质可判断A、C；即可得解.【详解】因为垂直于以为直径的圆所在的平面，所以，又点是圆周上异于，任一点，所以，对于A，若，则可得平面，则，与矛盾，故A错误；对于B、D，可知平面，所以，由平面可得平面平面，故B、D正确；对于C，由与不垂直可得平面不成立，故C错误.故选：BD.【点睛】本题考查了线面、面面垂直的判定与性质
31、的应用，关键是熟练掌握性质定理和判定定理，属于基础题.31AD【解析】利用线面垂直的判定定理证明AD满足，结合空间向量在BC中证明直线l与平面内的某条直线不垂直，即可得线面不可能垂直.【详解】如图所示，正方体.连接，分别为其所在棱的中点，.四边形为正方形，平面，平面，平面，平面，.，同理，可证，平面，平面，平面，即l垂直平面，故A正确.在D中，由A中证明同理可证，又，平面.故D正确.假设直线与平面垂直，则这条直线垂直于面内任何一条直线.对于B选项建立直角坐标系如图：设棱长为2，直线l所在体对角线两个顶点坐标，所以其方向向量，所以直线不可能垂直于平面.同理可在C中建立相同直角坐标系，所以直线不可
32、能垂直于平面.故选：AD.【点睛】此题考查空间线面垂直的辨析，在四个图形中分别判定是否满足线面垂直，根据线面垂直的判定定理证明.32BCD【解析】对A，可得即为与所成的角，求出可判断；对B，通过和可得；对C，通过线面判定定理可得；对D，分别表示出三棱锥和四棱锥的体积可得.【详解】对A，底面是正方形，则即为与所成的角，平面，故A错误；对B，连接，底面是正方形，平面，平面，平面，故B正确；对C，设，连接，则是中点，又点为的中点，平面，平面，平面，故C正确；对D，,，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，考查线面垂直和线面平行的判断，考查棱锥体积的计算，解题的关键是正确理解定
33、义和平行垂直的判定定理.33ABC【解析】【分析】由平面ABC得，又，得出平面PAB；由平面PAB得，又，得出平面PBC，即得；由B知平面PBC；由题意知PB与AC不垂直，PB与平面ADC不垂直【详解】对于A，由平面ABC，平面ABC，；又，平面PAB，故A正确；对于B，由平面PAB，平面PAB，；又PA=AB，D为PB的中点，；且，平面PBC；又平面PBC，故B正确；对于C，由B知，平面PBC，故C正确；对于D，由题意知PB与AC不垂直，所以PB与平面ADC不垂直，故D错误故选：ABC.【点睛】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，属于中档题.3445【解析
34、】【分析】过P作PO平面ABC于点O，连接CO，由线面角的定义可得PCO为PC与平面ABC所成的角，解三角形可求得答案.【详解】解：过P作PO平面ABC于点O，连接CO，则CO为ABC的平分线，且PCO为PC与平面ABC所成的角，设其为，连接OF，则为直角三角形.又PC=4，PF=2，CF=2，CO=2，在中，cos =，=45.故答案为：45.35垂直【解析】【分析】由线面垂直判定定理可得.【详解】ABCD为正方形，ACBO.BB1平面ABCD，AC平面ABCD，ACBB1，又BOBB1=B，AC平面BB1O.EF是ABC的中位线，EFAC，EF平面BB1O.故答案为：垂直.36【解析】【分
35、析】运用线面垂直的判定定理判断，当直线不与平面垂直，斜交时，存在无数条直线与该直线垂直即可判断，过一点有且只有一条直线垂直于已知平面即可判断.【详解】由线面垂直的判定定理判断，都缺少直线垂直于平面内的两条相交直线，故错，运用三垂线定理，当直线不与平面垂直，斜交时，过斜足做射影的垂线，可得此直线与斜线垂直，通过平移，可得无数条平行直线，这些直线都和斜线垂直，错，对, 过一点有且只有一条直线垂直于已知平面,故对故答案为：.37【解析】【分析】由题意可将三棱锥嵌入到长方体中，然后求出长方体的体对角线即求出了外接球的直径，进而可求出结果.【详解】解：三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，所以，由于，
36、所以为等腰直角三角形；因此可将三棱锥嵌入到长方体中，如图：因此求三棱锥的外接球半径即求长方体的外接球半径，而长方体的外接球的直径为长方体的对角线，又长方体的长宽高分别为，所以，所以球的表面积为.故答案为：.38【解析】【分析】通过线面垂直的判定定理或性质定理判断，找出直线在平面上射影，示出线面角的正切值判断，求出异面直线与所成的角，进一步确定与它们成等角的直线的条件判断【详解】正方体中，与显然不垂直，而，因此与不垂直，从而与平面不垂直，否则由线面垂直的性质定理得与，矛盾，错；正方体中易证平面，由线面垂直定义可得，同理可得，和是平面内两条相交直线，因此有平面，正确；易证是在平面上的射影，是与平面
37、所成角，显然，错；由可得直线与所成的角是，抽象出图形如下，是的平分线，是其补角的平分线，与和夹角为，与和夹角为，直线绕（在平面的垂直平面内，保持与成等角）旋转时，与的夹角（锐角）最大到，中间有成角的直线，共两条，而直线同样旋转时，最小角是，不可能有角所以过点与异面直线与成角的直线有2条，正确故答案为：39（I）见解析；（II）见解析；（III）【解析】【分析】（I）连结交于，连结，利用中位线可证明，即可说明平面；（II）由平面平面，底面为矩形可得：，根据勾股定理可得：，由此证明平面；（III）取的中点，连结，可证明平面，由于为 中点，则过点作平面的高等于，所以，即可求出三棱锥 的体积【详解】（
38、I）连结交于，连结因为底面是矩形，所以为中点又因为为 中点，所以因为平面，平面，所以平面（II）因为底面为矩形，所以又因为平面平面，平面，平面平面，所以平面因为平面，所以因为，所以，即因为，平面，所以平面（III）取的中点，连结，因为，是的中点，所以，且，因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，因为为 中点，所以所以三棱锥C的体积为【点睛】本题主要考查线面平面，线面垂直的证明以及三棱锥体积的求法，属于中档题40（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）通过ACBD与PDAC可得平面；（2）由题先得出PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，即PBD=45，则可先求出菱形ABCD的面积，进而
39、可得四棱锥P- ABCD的体积.【详解】解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD，又因为PD平面ABCD，平面ABCD，所以PDAC，又，故AC平面PBD；（2）因为PD平面ABCD，所以PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，于是PBD=45，因此BD=PD=2.又AB= AD=2，所以菱形ABCD的面积为，故四棱锥P- ABCD的体积.41（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明ACBC和PABC，BC面PAC即得证；（2）先证明BPC为PB与平面PAC所成的角，再通过解三角形求出即得解.【详解】证明：(1)为圆O直径ACB=90即ACBCPA面ABC，PABCACPA=ABC
40、面PAC.(2)BC面PAC，BPC为PB与平面PAC所成的角，在直角三角形中，在直角三角形中，,在直角三角形中，tanBPC=.故直线PB与平面PAC所成角的正切值为.【点睛】方法点睛：求线面角常用几何法求解，其步骤为：找作证（定义）指求（解三角形）.42（）证明见解析；（）.【解析】【分析】（1）连接与交于点，可证得，,从而得证；（2）取的中点，连接，则，则就是所求的角（或其补角），根据边长，利用余弦定理求解即可.【详解】（1）连接与交于点，连.，且是和的中点，,和为平面内的两条相交直线，平面.（2）取的中点，连接，则，则就是所求的角（或其补角），根据题意得所以，所以，故43（1）证明见解
41、析；（2）存在；N为AE的中点【解析】【分析】（1）取PD的中点E，连接EM，AE，由中位线性质可证ABME是平行四边形，根据线面平行的判定可证BM平面PAD（2）由线面垂直的判定及性质可得PD平面ABME，作MNBE，交AE于点N，由线面垂直的性质得MNPD，即有MN平面PBD，利用BMEMEN得到线段比例关系证N为AE的中点.【详解】（1）证明：取PD的中点E，连接EM，AE，则有且，而且，.四边形ABME是平行四边形，即BMAEAE平面PAD，BM平面PAD，BM平面PAD（2）解：当N为AE的中点时，MN平面PBD理由如下：PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB，又ABAD，PA
42、ADA，即AB平面PAD，PD平面PAD，ABPD，又PAAD，E是PD的中点，即AEPD，而ABAEA，PD平面ABME作MNBE，交AE于点N，MNPD，又PDBEE，MN平面PBD易知BMEMEN，而，即，而，N为AE的中点【点睛】关键点点睛：（1）由中位线性质证平行四边形，根据线面平行的判定证线面平行；（2）综合应用线面垂直的判定及性质证MN平面PBD，结合三角形相似确定N的位置.44（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）.【解析】【分析】（1）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果；（2）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面
43、垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果；（3）利用线面角的平面角的定义得到为直线与平面所成的角，放在直角三角形中求得结果.【详解】（1）连接，易知，又，故，又因为平面，平面，所以平面. （2）取棱的中点H，连换，又为等边三角形，所以，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又已知，所以平面,又平面，所以， （3）连接，由（2）中平面，可得为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，且H为的中点，所以，又，故在中，又，所以直线与平面所成角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.45（1）证明见解析；（2）；【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定有面，由线面垂直的性质得，结合勾股定理，线面垂直的判定可证平面；（2）由题设可求，过D作于G，连接CG，则直线与平面所成角的平面角为，利用勾股定理、直角三角形的面积求、，再由余弦定理求，进而可得其正弦值.【详解】（1）由题设，知：，即，又，面，面，则，直角梯形中，有，而，平面.（2）若，由多面体的体积为，而，即，则，过D作于G，连接CG，则直线与平面所成角的平面角为，由（1）知：，且，而，则，又，在中，则.52原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
