1、一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集，集合，则图中阴影部分面积所表示的集合为（ ）A B C D【答案】A考点：维恩图与交并补运算.【易错点晴】本题考查了集合的交并补运算，属于简单题.本题易错点全集为整数集，不是实数集；正确理解阴影的含义，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为.同学们还要注意表示集合的方法描述法，首抓元素形式，是点还是数；再抓元素的属性.空集是特殊集合，在处理子集问题时，要把空集放在首位来考虑.2.已知等差数列满足，则它的前10项和（ ）A138 B85 C23 D135【答案】B【解析】试题分析：
2、设等差数列的公差为，又，所以，故，故选B.考点：等差数列.3.下列命题中是真命题的为（ ）A命题“若，则”的否命题是“若，则”B命题，则C若且为假命题，则均为假命题D“”是“函数为偶函数”的充要条件【答案】B考点：简易逻辑.4.已知,，则（ ）A B C. D 【答案】C【解析】试题分析：不难发现；，故.考点：利用幂指对函数性质比较大小.5.下列命题正确的是（ ）A若，则 B若，则C.若，则 D若，则【答案】D【解析】试题分析：B、C选项条件“正”不具备，故错误；A选项等号取不到，不完美；而D“正、定、等”都能取到，故选D.考点：均值不等式.6.设等比数列的前项和为，已知，且，则（ ）A201
3、1 B2012 C.1 D0【答案】D考点：等比数列的通项及前项和.7.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A向右平移个单位 B向左平移个单位 C.向右平移个单位 D向左平移个单位【答案】C【解析】试题分析：，故可以将函数的图象向右平移个单位.考点：图象变换.8.设函数，且其图象关于直线对称，则（ ）A的最小正周期为，且在上为增函数B的最小正周期为，且在上为减函数C.的最小正周期为，且在上为增函数D的最小正周期为，且在上为减函数【答案】B考点：两角和与差的三角函数，三角函数的周期性及其求法，余弦函数的对称性，余弦函数的单调性，以及两角和与差的余弦函数公式.9.如图，已知点在所包围的阴影部
4、分区域内（包含边界），若是使得取得最大值的最优解，则实数的取值范围为（ ）A B C. D【答案】A【解析】试题分析：由得，则直线的斜率最小时，最大，若是目标函数取得最大值的最优解，即直线过点，且在轴上的截距最小，得即的取值范围是，故答案为：考点：线性规划的应用. 10.在中，分别为角所对应的三角形的边长，若，则（ ）A B C. D【答案】A考点：向量减法的四边形法则，平面向量的基本定理及余弦定理的综合应用.11.如图所示，在中，为的中点，在线段上，设，则的最小值为（ ）A B8 C.6 D【答案】B【解析】试题分析：为的中点，在线段上，又，当且仅当时取等号的最小值为1考点：向量共线定理.【
5、思路点睛】本题综合考查了向量与不等式的知识，属于中等题.本题的切入点三点共线，在平面中三点共线的充要条件是：（为平面内任意一点），其中.本题中，三点共线，所以，然后巧用“”，利用均值不等式求最值即可，注意等号成立条件.12.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C. D【答案】C考点：利用导数研究函数的最值.【方法点晴】本题考查不等式恒成立问题，属于难题.恒成立问题往往转化为最值问题，最常用的方法就是变量分离构造新函数然后求最值.本题定义域既含有正值也含有负值，所以处理起来比较繁琐，分成了三类：，但有一点是一样的，就是构造的新函数是同一个，所以处理过程是相仿的，同学们只要注意是最
6、大还是最小就可以了.第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13.若在处有极值10，则 【答案】考点：利用导数研究函数的极值14.数列的前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为 【答案】【解析】试题分析：，且对任意正整数，都有，令，得到，同理令，得到，此数列是首项为，公比为的等比数列，则，恒成立，又，的最小值为考点：等比数列.15. 【答案】【解析】试题分析：原式.考点：三角恒等变换.【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换知识，属于中等题.三角恒等变换主要体现在“变”上，特别是“变角”与“变名”，本题首先变名，统一到“弦”上，抓住角的互
7、余关系统一角，利用二倍角公式化简后，再次变角，把角统一到上，然后约分化简即可.本类题目关键要熟悉公式得结构特点，而变形就是对结构特点的融会贯通.16.已知平面向量的夹角为，且，则的最小值为 【答案】考点：平面向量数量积的应用以及基本不等式的应用【方法点晴】本题综合考查了向量数量积与基本不等式，属于中等题.由平面向量的夹角为，,明确了，如何沟通条件与已知的关系，调整结论的形式，转化为模方和的形式，这样就把模之积与结论通过均值不等式联系到一起.111三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设函数.（1）证明：；（2）若不等式的解集为
8、非空集，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（2）函数的图象如图所示.当时，依题意：，解得，的取值范围是.考点：绝对值不等式.18.（本小题满分12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健性产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.（1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其最大收益为【答案】（1）；（2）万元时，受益最大，万元.【解析】试题分析：（1）由投资债券等稳
9、健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；（2）由（1）的结论，我们设设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元这时可以构造出一个关于收益的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解考点：函数的实际应用题19.（本小题满分12分）已知的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若点为边的中点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换化简已知可得，又，从而可求，结合为三角形内角，即可得解的值；（2）由点为边的中点，可得，两
10、边平方，设，可得，结合基本不等式的应用可得的最大值，利用三角形面积公式即可得解111（2）因为点为边的中点，故而，两边平方得，又由（1）知，设，即，所以，即，当且仅当时取等号.又，故而当且仅当时，取到最大值.考点：考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了平面向量及其应用，考查了基本不等式，三角形面积公式等知识在解三角形中的应用.20.（本小题满分12分）已知函数是定义在区间上的奇函数，且，若时，有成立.（1）证明：函数在区间上是增函数；（2）解不等式；（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.试题解析：（1）任取，则，又，即函数
11、在区间上是增函数.（2）函数是定义在区间上的奇函数，且在区间上是增函数，则不等式可转化为，111根据题意，则有，解得.111即不等式的解集为.（3）由（1）知：在区间上是增函数，在区间上的最大值为，考点：考查函数的单调性的求法，考查不等式解集的求法，考查实数的取值范围的求法21.（本小题满分12分）已知数列中，.（）求证：数列是等比数列；（）求数列的通项公式；（）设，若，使成立，求实数的取值范围.【答案】（I）证明见解析；（II）；（III）.【解析】试题分析：（I）由，变形为，利用等比数列的定义即可证明；（II）由（I）可得：，利用“累加求和”方法、等比数列的求和公式即可得出；（III），可
12、得利用“裂项求和”方法可得，再利用数列的单调性、不等式的解法即可得出（II）解：是等比数列，首项为，通项，1111故，当时，符合上式.数列的通项公式为.（III）解：，.故.若，使成立，由已知，有，解得，所以的取值范围为.考点：递推关系、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”方法、“累加求和”方法、数列的单调性、不等式的解法.【思路点睛】数列两大核心问题：数列的项与数列的前项和.本题第一问证明数列为等比数列，主要有两种方式，利用等比定义证明或数列任三项满足等比中项（各项均不为零），第二问求递推数列的通项，考查了累加法，常用方法还有：累乘法、待定系数法、取倒数法、取对数法等等，第三问数列求和问
13、题，通项结构为分式型，一般考察的是裂项求和法；后面恒成立问题转化为最值问题.22.（本小题满分12分）设函数（1）求的单调区间；（2）证明：曲线不存在经过原点的切线.【答案】（1）当时，的单调递增区间是，当时，的单调递增区间是及，单调递减区间是，其中；（2）证明见解析. 试题解析：（1）的定义域为，令，得，当，即时，在内单调递增，当，即时，由解得，且，在区间及内，在内，在区间及内单调递增，在内单调递减.（2）假设曲线在点处的切线经过原点，则有，即，考点：利用导数研究函数的单调性.【思路点睛】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.第一问单调性问题，求导后转化为二次函数问题，抓住明确方程根的情况，然后再判断二次函数的符号；第二问证明题，假设存在过原点的切线，经过推导无解，从而否定了假设，得到了正确结论.
