1、课时训练7等差数列一、等差数列通项公式的应用1.等差数列an中,a2=-5,d=3,则a5为()A.-4B.4C.5D.6答案:B解析:a5=a1+4d=(a1+d)+3d=a2+3d=-5+33=4.2.在数列an中,a1=2,2an+1=2an+1,则a101的值为()A.49B.50C.51D.52答案:D解析:2an+1=2an+1,an+1=an+12.an+1-an=12.数列an是首项为2,公差为12的等差数列.a101=a1+(101-1)d=2+1002=52.3.(2015福建厦门高二期末,2)已知数列an满足a1=1,an=an-1+3(n2),则a100等于()A.29
2、7B.298C.299D.300答案:B解析:由an=an-1+3(n2),得an-an-1=3(n2),即数列an是以3为公差的等差数列.又a1=1,a100=1+(100-1)3=298.4.若等差数列an的公差为整数,首项为19,从第6项开始为负值,则公差为()A.-5B.-4C.-3D.-2答案:B解析:设等差数列an的公差为d(dZ),依题意得a6=a1+5d=19+5d0,即d-195,a5=a1+4d=19+4d0,即d-194,所以-194d83B.d3C.83d3D.830,-24+8d0,-24+9d0,83d3.6.已知等差数列an中,a1a2an,且a3,a6为x2-1
3、0x+16=0的两个实根,则此数列的通项公式是答案:an=2n-4解析:由题意得a3+a6=10,a3a6=16,又a1a2an,所以解得a3=2,a6=8,所以a1+2d=2,a1+5d=8,a1=-2,d=2.从而an=-2+2(n-1),即an=2n-4.7.已知a,b,c成等差数列,那么二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴的公共点的个数是.答案:1或2解析:a,b,c成等差数列,2b=a+c.二次函数y=ax2+2bx+c的判别式=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)20,图象与x轴有一个或两个公共点.8.若xy,且x,a1,a2,y和x,b1,b2,b3,y各自都成
4、等差数列,则a2-a1b2-b1=.答案:43解析:由题知a2-a1=d1=y-x3,b2-b1=d2=y-x4,a2-a1b2-b1=43.9.某公司经销一种数码产品,第1年可获利200万元.从第2年起,由于市场竞争等方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?解:由题设可知第1年获利200万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,每年获利构成等差数列an,且当an0时,该公司会出现亏损.设从第1年起,第n年的利润为an,则a1=200,an-an-1=-20(n2,nN*),所以每年的利润a
5、n可构成一个等差数列an,且公差d=-20,从而an=a1+(n-1)d=220-20n.若an0,则该公司经销这一产品将亏损,所以由an=220-20n11,即从第12年起,该公司经销此产品将亏损.10.如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差是相同的常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差.(1)设数列an是公方差为p的等方差数列,求an和an-1(n2)的关系式;(2)若数列an既是等方差数列,又是等差数列,证明该数列为常数列.解:(1)由等方差数列的定义可知:an2-an-12=p(n2).(2)an是等差数列,设公差为d,则an-an-1=an+1-an=d(n2).又an是等方差数列,an2-an-12=an+12-an2(n2),(an+an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an),即d(an+an-1-an+1-an)=-2d2=0.d=0,即an是常数列.5
