1、基础诊断考点突破课堂总结第6 讲 对数与对数函数基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.对数的概念及其运算性质，换底公式及应用，B级要求；2.对数函数的概念，图象与性质，B级要求；3.指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，A级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1对数的概念如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数2对数的性质与运算性质(1)对数的性质 alogaN；logaaN_(a0且a1)；零和负数没有对数xlogaNaNNN基础诊断考点突破课堂总结(2)对数的运算性质(a0，且 a1，M0，
2、N0)loga(MN)；logaMN；logaMn(nR)(3)对数的重要公式换底公式：(a，b 均大于零且不等于 1)；logab 1logba，推广 logablogbclogcd.logaMlogaNlogaMlogaNnlogaMlogbNlogaNlogablogad基础诊断考点突破课堂总结3对数函数的图象与性质a10a1图象定义域(1).(0，)基础诊断考点突破课堂总结续表值域(2).性质(3)过点，即x，y.(4)当x1时，；当0 x1时，.(5)当x1时，；当0 x1时，.(6)在(0，)上是.(7)在(0，)上是.R(1,0)1时0y0 y0 y0 y0 增函数减函数基础诊断
3、考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)loga(bc)logablogac()(2)log2x22log2x()(3)函数 ylogxx12 的定义域为x|x12()(4)对数函数 ylogax(a0 且 a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，1a，1，函数图象只在第一、四象限()基础诊断考点突破课堂总结2(2014四川卷改编)已知b0，log5ba，lg bc,5d10，给出下列等式：dac；acd；cad；dac.其中一定成立的是_(填序号)解析 由已知得 b5a，b10c,5d10，5a10c,5d10，同时取以 10 为底的对数可得，alg
4、5c，dlg 51，ca1d，即 acd.答案 基础诊断考点突破课堂总结3(2014安徽卷)1681log354log345_.解析 1681log354log34523log35445 233log313230278.答案 278基础诊断考点突破课堂总结4(苏教版必修1P85T3(3)改编)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_解析 函数 f(x)的定义域为12，令 t2x1(t0)因为 ylog5t 在 t(0，)上为增函数，t2x1 在(12，)上为增函数，所以函数 ylog5(2x1)的单调增区间是12，.答案 12，基础诊断考点突破课堂总结5若 loga341，(a0，且 a
5、1)，则实数 a 的取值范围是_解析 当 0a1 时，loga34logaa1，0a34；当 a1 时，loga34logaa1，a1.答案 0，34(1，)基础诊断考点突破课堂总结考点一 对数的运算 【例1】(1)(log29)(log34)_.(2)lg 25lg 2lg 50(lg 2)2_.解析(1)(log29)(log34)lg 9lg 2lg 4lg 32lg 3lg 2 2lg 2lg 3 4.(2)原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.答案(1)4(2)2 基础诊断考点突破
6、课堂总结规律方法 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(1)设 2a5bm，且1a1b2，则 m_.(2)lg 5lg 20的值是_解析(1)2a5bm，alog2m，blog5m，1a1b1log2m1log5mlogm2logm5logm102.m 10.(2)原式lg 100lg 101.答案(1)10(2)1基础诊断考点突破课堂总结考点二 对数函数的图象及其应用 【例2】(1)(2014福建卷)若函数ylogax(a0，且a1)的图象如图所示，给出下列函数
7、图象：其中正确的是_(填序号)基础诊断考点突破课堂总结(2)(2015石家庄模拟)设方程10 x|lg(x)|的两个根分别为x1，x2，给出下列关系：x1x20；x1x21；x1x21；0 x1x21.其中正确的是_(填序号)解析(1)由 ylogax 的图象可知 loga31，所以 a3.对于：y3x13x 为减函数，错误；对于：yx3，显然满足条件；对于：y(x)3x3 在 R 上为减函数，错误；对于：ylog3(x)，当 x3 时，y1，错误基础诊断考点突破课堂总结(2)构造函数y10 x与y|lg(x)|，并作出它们的图象，如图所示因为x1，x2是10 x|lg(x)|的两个根，则两个
8、函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x21，1x10，则10 x1lg(x1)，10 x2lg(x2)，因此10 x210 x1lg(x1x2)，因为10 x210 x10，所以lg(x1x2)0，即0 x1x21，故正确答案(1)(2)基础诊断考点突破课堂总结规律方法 在解决对数函数图象的相关问题时，要注意：(1)底数a的值对函数图象的影响；(2)增强数形结合的解题意识，使抽象问题具体化基础诊断考点突破课堂总结【训练2】已知函数f(x)loga(2xb1)(a0，a1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是_(填序号)0a1b1；0ba11；0b1a1；0a1b11.基础诊断考点突破课
9、堂总结解析 由函数图象可知，f(x)在 R 上单调递增，故 a1.函数图象与 y 轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知1logab0，解得1ab1.综上有 01ab1.答案 基础诊断考点突破课堂总结考点三 对数函数的性质及其应用 【例3】(1)设alog32，blog52，clog23，则a，b，c的大小关系为_(2)若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则a的取值范围为_解析(1)323,12 5，32，log3 3log32log33，log51log5 2log5 5，log23log22，12a1,0b12，c1，cab.基础诊断考点突破课堂总结(2)令函数
10、g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为 xa，要使函数在(，1上递减，则有g10，a1，即2a0，a1，解得 1a2，即 a1,2)答案(1)cab(2)1,2)规律方法 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】(1)设 a，b，c 均为正数，且 2alog12a，12blog12b，12clog2c，则 a，b，c 的大小关系为_(2)设函数 f(x)log2x，x0，log12x，x0.若 f(a)f(a)，则实数 a
11、 的取值范围是_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)a0，2a1，log12a1，0a12.又b0，012b1，0log12b1，12b1.又12c0，log2c0，c1，0a12b1c.(2)由题意可得a0，log2alog2a 或a0，log12alog2a，解得 a1 或1a0.答案(1)abc(2)(1,0)(1，)基础诊断考点突破课堂总结思想方法1研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到特别地，要注意底数a1和0a1的两种不同情况有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现基础诊断考点突破课堂总结2利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决3多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y1交点的横坐标进行判定基础诊断考点突破课堂总结易错防范1在运算性质logaMnnlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMnnloga|M|(nN，且n为偶数)2解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.
