1、理解函数的单调性、值域和最值的概念；掌握求函数的值域和最值的常用方法与变形手段 0011_.2()()_.yf xIMxIf xMxIf xMMyf xf x函数的值域是的集合，它是由定义域和对应法则共同确定的，所以求值域时应注意函数的函数的最值设函数的定义域为，如果存在实数满足：对于任意的，都有；存在，使得，则称是函数的类似地可定义函数的值域与最值的最小值 21(?0).2(?0)0_0_.3(0)_.2ykxb kyaxbxc aaakykx一次函数的值域为二次函数的值域：当时，值域为；当时，值域为反比例函数基本初等函数的值域的值域为 4(01)_.5log(01)_.6sin()cos(
2、)_tan()2_.xayaaayx aayx xyx xyx xkkRRZ指数函数且的值域为对数函数且的值域为正、余弦函数的值域为；正切函数，的值域为 3()41243f xabf xab二次函数用配方法 单调性法 导数法复合函数的值域由中间变量的范围确定此外还有求函数的值域 最值 常用的方法若为闭区间，上的连续函数，则换元法、在，数形结合上一法、基本不等式法等定有最大、最小值2244)(44|0(0)1,1acbacbaay y RRR函数值；定义域；最大值；，；，；，；【要点指南；】1.函数 y3x(1x3，且 xZ)的值域是 3,0,3,6,9.【解析】由1x3，且 xZx1,0,1,
3、2,3，代入 y3x，得所求值域为3,0,3,6,9易错点：忽视 xZ 条件，错解值域为3,9 2.函数 y3|x|的值域是()Ay|y0By|y1Cy|y1Dy|0y1【解析】|x|0，则|x|0，而函数 y3x 在 x0 时单调递增，故 01)，则当 x 0 时 f(x)取最小值，且最小值为 2.【解 析】当 x 1 时，f(x)(x 1)1x12x1 1x12，等号当且仅当 x1 1x1且 x1，即 x0 时成立 5.已知 x0，y0，且 x2y1，则 2x3y2 的最小值为 34.【解析】因为 x2y1，x0，y0，所以 02y10y12，2x3y23y224y3(y23)223，所以
4、当 y12时，(2x3y2)min3(1223)22334.易错点：忽视 x、y 的取值范围，错解为 ymin23.一 值域与最值的关系【例 1】已知函数 yf(x)的值域为集合 D，函数 yf(x)的最大值、最小值分别为 M、N，则 M、N、D 的关系是()ADN，M BMDNCDN，M DMD、ND【解析】不妨设 f(x)3x(1x3，且 xZ)，可知 D3,0,3,6,9，M9，N3，可知，A、B、C 错误，选 D.【点评】1.函数的值域是函数值的集合，函数的最值是该集合中的元素2当函数 yf(x)在其定义域上是连续函数时，DN，M，其中 Nf(x)min，Mf(x)max.已知 f(x
5、)与 g(x)是定义在 R 上的连续函数，如果 f(x)与 g(x)仅当 x0 时的函数值为 0，且 f(x)g(x)，那么下列情形不可能出现的是()A0 是 f(x)的最大值，也是 g(x)的最大值B0 是 f(x)的最小值，也是 g(x)的最小值C0 是 f(x)的最大值，但不是 g(x)的最值D0 是 f(x)的最小值，但不是 g(x)的最值素材1【解析】方法 1：由 0 是 f(x)的最大值，则 f(x)0.又 g(x)f(x)，所以 g(x)0 且 g(0)0，所以 0 也是 g(x)的最大值，故选 C.方法 2：(特例排除法)若 f(x)x2，g(x)2x2，则 A 成立；若 f(
6、x)x2，g(x)12x2，则 B 成立；若 f(x)|x|，g(x)x，则 D 成立故可排除 A、B、D，所以选 C.二 函数值域的求法【例 2】求下列函数的值域，并标明最值(1)y x26x5；(2)y2x22x5x2x1；(3)yx 1x2；(4)已知 f(x)的值域是12，3，求 F(x)f(x)1fx的值域【解析】(1)令 ux26x5(x3)244，所以0u4，所以 0y2，故 yf(x)的值域为y|0y2，最大值为 2，最小值为 0.(2)方法 1：用判别式法，由 y2x22x5x2x1 得(y2)x2(y2)xy50，xR，若 y2，则 25 矛盾，所以 y2；由 y2，则y2
7、y224y2y50，解得2y6，且当 y6 时，x12，故值域为(2,6，最大值为 6，无最小值方法 2：分离常数法由 y2x22x5x2x1 23x12234，又因为(x12)23434，所以 03x122344，故 2y6，值域为y|2y6，最大值为 6，无最小值(3)令 xsint1,1，其中 t2，2，所以 1x21sin2tcost，所以 ysintcost 2sin(t4)，又 t2，2，则 t44，34，由单位圆知识及函数图象可得 sin(t4)22，1，故 y1，2，值域为y|1y 2，最大值为 2，最小值为1.(4)f(x)12，3，设 tf(x)12，3，所以 F(x)t1
8、t2，当且仅当 t1 时“”成立而 F(12)52，F(3)103，所以 F(x)的值域为2，103 【点评】1.函数的值域由定义域和对应法则一并确定，故应特别注意定义域对其值域的制约 2求值域的常用方法有：1观察法：一看定义域；二看函数性质；三列举2函数单调性法和导数法3转换法 转换为基本函数(或条件基本函数)，如 yaxbcxd与 ykx的关系，ya1x2b1xc1a2x2b2xc2与 Ax2BxC0.转换为几何问题，数形结合转换为三角函数问题，利用三角函数的有界性4不等式法 求下列函数的值域：(1)y2x24x1；(2)ylog12 4x2；(3)y2x12x1.素材2【分析】这些都是求
9、复合函数的值域，可通过中间变量的取值范围结合简单函数的值域来求【解析】(1)因为 tx24x1(x2)233，所以 2t2318，所以该函数的值域为18，)(2)因为 0t 4x22，所以 log12tlog1221，故该函数的值域为1，)(3)y2x122x1 122x1.该函数定义域为x|x0，xR，所以12x10，从而 y1，所以该函数的值域为(，1)(1，)三 函数的值域与最值的综合问题【例 3】已知函数 f(x)x24ax2a6(aR)(1)若函数 f(x)的最小值为 0，求 a 的值；(2)若函数 f(x)0 对任意 xR 都恒成立，求函数 g(a)2a|a3|的最大值【解析】(1
10、)因为 f(x)(x2a)22a64a2，且 f(x)min0，所以 2a64a20，所以 a1 或 a32.(2)因为 f(x)0，由知，2a64a20，解得1a32.所以 g(a)2a|a3|2a(a3)(a32)2174(a1，32)，所以当 a1 时，g(a)max4.【点评】1.因为二次函数 f(x)在 R 上连续，所以 f(x)的最小值为 0，即 f(x)的值域为0，)2由于函数的最值不过是函数值域中的一个元素而已，故求值域的方法都适用于求函数的最值 已知函数 f(x)lg(x1)，g(x)2lg(2xt)，t 为参数(1)写出函数 f(x)的定义域，值域；(2)当 x0,1时，g
11、(x)有意义，求参数 t 的取值范围；(3)当 x0,1时，若 f(x)g(x)，求参数 t 的取值范围素材3【解析】(1)由 x10，知 x1，所以定义域为(1，)，值域为 R.(2)若 x0,1，由 g(x)有意义，则 2xt0，即 t2x 在0,1上恒成立而(2x)max0，所以 t0，即 t 的取值范围是(0，)(3)由 f(x)g(x)，即 lg(x1)2lg(2xt)，即 x12xt，t x12x，在 x0,1上恒成立令 u x12x x12(x1)22(x114)2178.由 x0,1，则 x11，2，所以 umax2(114)2178 1，所以 t1，即参数 t 的取值范围是1
12、，)备选例题已知函数 f(x)xk2k2(kZ)满足 f(2)f(3)(1)求 k 的值并求出相应的 f(x)的解析式；(2)对于(1)中得到的函数 f(x)，试判断是否存在 q，使函数g(x)1qf(x)(2q1)x 在区间1,2上的值域为4，178，若存在，求出 q；若不存在，说明理由【解析】(1)因为 f(2)0，解得1k2.又因为 kZ，所以 k0 或 k1.当 k0 或 k1 时，k2k22，所以 f(x)x2.(2)假设存在 q(q0)满足题设由(1)知 g(x)qx2(2q1)x1，x1,2因为 g(2)1，所以两个最值点只能在端点(1，g(1)和顶点(2q12q，4q214q)处取得，而4q214qg(1)4q214q(23q)4q124q0，所以 g(x)max4q214q178，g(x)ming(1)23q4，解得 q2，所以存在 q2 满足题意1幂函数是指型如yx(R，且为常数)的函数，它的形式非常严格，必须完全具备这种形式的函数才是幂函数由于其解析式中只有一个参数(幂指数)，因此只需一个条件就可确定幂函数的解析式2对幂函数的学习要求不高，只要求对几个简单幂函数的图象与性质有所了解即可掌握幂函数的图象特点是研究幂函数性质的基础，而其主要性质就是单调性和奇偶性
