1、专题能力训练6函数与方程及函数的应用能力突破训练1.函数f(x)=x2+2x-3,x0,-2+lnx,x0的零点个数为()A.0B.1C.2D.32.设函数f(x)的零点为x1,函数g(x)=4x+2x-2的零点为x2,若|x1-x2|14,则f(x)可以是()A.f(x)=2x-12B.f(x)=-x2+x-14C.f(x)=1-10xD.f(x)=ln(8x-2)3.(2015北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日1235 0002015年5月15日4835 600注:“累计里程”指汽车从出
2、厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升B.8升C.10升D.12升4.已知函数f(x)=kx+2,x0,lnx,x0(kR).若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k的取值范围是()A.k2B.-1k0C.-2ka.若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.7.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定购物付款总额要求如下:若一次性购物不超过200元,则不给予优惠;若一次性购物超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;若一次性购物超过500元,则500元按第条给予优惠,剩余部分给予7折优惠.甲单独购买A商品实际付款10
3、0元,乙单独购买B商品实际付款450元,若丙一次性购买A,B两件商品,则应付款元.8.(2015安徽高考)设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数.下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是.(写出所有正确条件的编号)a=-3,b=-3;a=-3,b=2;a=-3,b2;a=0,b=2;a=1,b=2.9.已知函数f(x)=2x,g(x)=12|x|+2.(1)求函数g(x)的值域;(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.10.如图,一个长方体形状的物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v0),雨速沿E移动方向的分速度为c(cR).E移动时单位时间内的淋雨量包括
4、两部分:P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|S成正比,比例系数为110;其他面的淋雨量之和,其值为12.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=32时,(1)写出y的表达式;(2)设0v10,0g(x0)成立,则实数a的范围为()A.1,+)B.(1,+)C.0,+)D.(0,+)12.(2015天津高考)已知函数f(x)=2-|x|,x2,(x-2)2,x2,函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为()A.2B.3C.4D.513.(2015北京高考)设函数f(x)=2x-a,x1,4(x-a)(x-2a),x1.
5、若a=1,则f(x)的最小值为;若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.14.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=10.8-130x2,010.(1)写出年利润W(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大.(注:年利润=年销售收入-年总成本)15.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不
6、赔付的情况下,乙方的年利润x(单位:元)与年产量q(单位:t)满足函数关系:x=2 000q.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).(1)将乙方的年利润w(单位:元)表示为年产量q(单位:t)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;(2)在乙方年产量为q(单位:t)时,甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002q2(单位:元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?答案：能力突破训练1.C解析:当x0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3;当x0时,令-2+ln x=0,解得x=e2.所以已知函
7、数有2个零点.故选C.2.C解析:依题意得g14=2+12-20,则x214,12.若f(x)=1-10x,则有x1=0,此时|x1-x2|14,因此选C.3.B解析:因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数s=35 600-35 000=600(千米).所以在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为48600100=8(升).故选B.4.D解析:由y=|f(x)|+k=0得|f(x)|=-k0,所以k0,作出函数y=|f(x)|的图象,要使y=-k与函数y=|f(x)|有三个交点,则有-k2,即k-2.故选D.5.f(a)f(
8、1)0恒成立,则函数f(x)在R上是单调递增的,因为f(0)=e0+0-2=-10,所以函数f(x)的零点a(0,1).由题意,知g(x)=1x+10,则函数g(x)在(0,+)上是单调递增的.又g(1)=ln 1+1-2=-10,则函数g(x)的零点b(1,2).综上,可得0a1b2.因为f(x)在R上是单调递增的,所以f(a)f(1)f(b).6.(-,0)(1,+)解析:要使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,应使f(x)图象与直线y=b有两个不同的交点.当0a1时,由f(x)的图象(图略)知f(x)在定义域R上单调递增,它与直线y=b不可能有两个交点.当a0时,由f(x)的图象(如图
9、)知,f(x)在(-,a上递增,在(a,0)上递减,在0,+)上递增,且a30,所以,当0b1时,由f(x)的图象(如图)知,f(x)在(-,a上递增,在(a,+)上递增,但a3a2,所以当a2ba3时,f(x)图象与y=b有两个不同的交点.综上,实数a的取值范围是a1.7.520解析:设商品价格为x元,实际付款为y元,则y=x,0x200,0.9x,200500,整理,得y=x,0x200,0.9x,200500.0.9200=180100,A商品的价格为100元.0.9500=450,B商品的价格为500元.当x=100+500=600时,y=100+0.7600=520,即若丙一次性购买
10、A,B两件商品,则应付款520元.8.解析:方程仅有一个实根,则函数f(x)=x3+ax+b的图象与x轴只有一个公共点.当a=-3时,f(x)=x3-3x+b,f(x)=3x2-3,由f(x)=0,得x=1,易知f(x)在x=-1处取极大值,在x=1处取极小值.当b=-3时,f(-1)=-10,f(1)=-50,f(1)=0,图象与x轴有2个公共点,不满足题意,故不正确;当b2时,f(-1)=2+b4,f(1)=-2+b0,满足题意,故正确;当a=0和a=1时,f(x)=3x2+a0,f(x)在R上为增函数,所以函数f(x)=x3+ax+b的图象与x轴只有一个交点,故也满足题意.9.解:(1)
11、g(x)=12|x|+2=12|x|+2,因为|x|0,所以012|x|1,即20时,由2x-12x-2=0整理,得(2x)2-22x-1=0,(2x-1)2=2,解得2x=12.因为2x0,所以2x=1+2,即x=log2(1+2).10.解:(1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为320|v-c|+12,故y=100v320|v-c|+12=5v(3|v-c|+10)(v0).(2)由(1)知,当0vc时,y=5v(3c-3v+10)=5(3c+10)v-15;当cv10时,y=5v(3v-3c+10)=5(10-3c)v+15.故y=5(3c+10)v-15,0vc,5(10-3c)
12、v+15,cv10.当0c103时,y是关于v的减函数.故当v=10时,ymin=20-3c2.当103g(x0)成立,则f(x)-g(x)0在x1,e时有解,由f(x)-g(x)0ax-1x-2ln x+ax=ax-2ln x0有解,x1,e,则a2lnxx.设F(x)=2lnxx,则F(x)=2(1-lnx)x2,当x1,e时,F(x)=2(1-lnx)x20,所以F(x)在1,e上单调递增,即F(x)min=F(1)=0,因此a0即可,故选D.12.A解析:因为f(x)=2+x,x2,所以f(2-x)=2+(2-x),2-x2f(2-x)=x2,x2,f(x)+f(2-x)=x2+x+2
13、,x2,所以函数y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)=x2+x-1,x2.其图象如图所示.显然函数图象与x轴有2个交点,故函数有2个零点.13.-112,12,+)解析:当a=1时,f(x)=2x-1,x1,4(x-1)(x-2),x1,当x1时,2x-1(-1,1);当x1时,4(x-1)(x-2)-1,+).故f(x)的最小值为-1.若函数f(x)=2x-a的图象在x0,并且当x=1时,f(1)=2-a0,所以0a2.同时函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x1时与x轴有一个交点,所以a1,2a1.故12a1.若函数f(x)=2x-a的图象在x1时与x轴没有交点,则
14、函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x1时与x轴有两个不同的交点,当a0时,函数f(x)=2x-a的图象与x轴无交点,函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x1上与x轴也无交点,不满足题意.当21-a0,即a2时,函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象与x轴的两个交点x1=a,x2=2a都满足题意.综上,a的取值范围为12,12,+).14.解:(1)当010时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98-1 0003x-2.7x.故W=8.1x-x330-10,010.(2)当00;当x(9,10时,W10时,W=98-1 0003x+2.7x98-21 0003x2.
15、7x=38,当且仅当1 0003x=2.7x,即x=1009时,W取得最大值38.综合知:当x=9时,W取得最大值38.6,故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获的年利润最大.15.解:(1)因为赔付价格为s元/吨,所以乙方的实际年利润为w=2 000q-sq(q0).因为w=2 000q-sq=-sq-1 000s2+1 0002s,所以当q=1 000s2时,w取得最大值.所以乙方取得最大利润的年产量q=1 000s2 t.(2)设甲方净收入为v元,则v=sq-0.002q2,将q=1 000s2代入上式,得到甲方纯收入v与赔付价格s之间的函数关系式:v=1 0002s-21 0003s4.又v=-1 0002s2+81 0003s5=1 0002(8 000-s3)s5,令v=0得s=20.当s0;当s20时,v0.所以s=20时,v取得最大值.因此甲方向乙方要求赔付价格s=20(元/吨)时,获最大纯收入.
