1、第7节函数的图象考试要求1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.知 识 梳 理1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yax(a0，且
2、a1)的图象ylogax(a0，且a1)的图象.(3)伸缩变换yf(x)yf(ax).yf(x)yAf(x).(4)翻折变换yf(x)的图象y|f(x)|的图象；yf(x)的图象yf(|x|)的图象.常用结论与微点提醒1.记住几个重要结论(1)函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa对称.(2)函数yf(x)与y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数yf(x)对定义域内任意自变量x满足：f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.3.图象的上下平移仅仅是相对于
3、y而言的，利用“上减下加”进行.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)当x(0，)时，函数y|f(x)|与yf(|x|)的图象相同.()(2)函数yaf(x)与yf(ax)(a0且a1)的图象相同.()(3)函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称.()(4)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称.()解析(1)令f(x)x，当x(0，)时，y|f(x)|x，yf(|x|)x，两者图象不同，(1)错.(2)中两函数当a1时，yaf(x)与yf(ax)是由yf(x)分别进行振幅与周期变换得到，两图象不同，(2)错.(3)yf(
4、x)与yf(x)图象关于x轴对称，(3)错.(4)中，f(2x)f1(1x)f1(1x)f(x)，所以yf(x)的图象关于直线x1对称，(4)正确.答案(1)(2)(3)(4)2.(老教材必修1P24A7改编)下列图象是函数y的图象的是()解析其图象是由yx2图象中x0，排除B，C，只有D满足.答案D6.(2020兰州联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)logf(x)的定义域是_.解析当f(x)0时，函数g(x)logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)0时，x(2，8.答案(2，8考点一作函数的图象【例1】 作出下列函数的图象：(1)y；(2)y|log2(x1
5、)|；(3)yx22|x|1.解(1)先作出y的图象，保留y图象中x0的部分，再作出y的图象中x0部分关于y轴的对称部分，即得y的图象，如图实线部分. (2)将函数ylog2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y|log2(x1)|的图象，如图.(3)y且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图象，再根据对称性作出(，0)上的图象，得图象如图.规律方法作函数图象的一般方法(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，
6、可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.【训练1】 分别作出下列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)ysin |x|.解(1)先作出函数ylg x的图象，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得函数y|lg x|的图象，如图实线部分.(2)当x0时，ysin|x|与ysin x的图象完全相同，又ysin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图.考点二函数图象的辨识【例2】 (1)(2019全国卷)函数y在6，6的图象大致为()(2)(2020深圳模拟)函数f(x)的图象大致为()解析(1)因为yf(x)，x6，6，所以f(x)f(x)，所以f(x)
7、是奇函数，排除选项C.当x4时，y(7，8)，排除A，D项，B正确.(2)由得1x0或0x1，所以f(x)的定义域为(1，0)(0，1)，关于原点对称.又f(x)f(x)，所以函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A；当0x1时，lg |x|0，f(x)0且x0时，f(x)0，排除D，只有B项符合.答案(1)B(2)B规律方法1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征
8、点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.【训练2】 (1)(2020武汉调研)函数f(x)的大致图象为()(2)(一题多解)(2017全国卷)函数y1x的部分图象大致为()解析(1)易知定义域为(，0)(0，)，关于原点对称.f(x)f(x)，则f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，f(1)30，排除D，当x时，3x，则f(x)，排除C，选项B符合.(2)法一易知g(x)x为奇函数，故y1x的图象关于点(0，1)对称，排除C；当x(0，1)时，y0，排除A；当x时，y1，排除B，选项D满足.法二当x1时，f(1)11sin 12sin 12，排除A，C；又当x时，y，排除B，而D满足
9、.答案(1)B(2)D考点三函数图象的应用多维探究角度1研究函数的性质【例31】 已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，)B.f(x)是偶函数，递减区间是(，1)C.f(x)是奇函数，递减区间是(1，1)D.f(x)是奇函数，递增区间是(，0)解析将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值得f(x)画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1，1)上是递减的.答案C角度2函数图象在不等式中的应用【例32】 (1)(2020哈尔滨模拟)已知函数f(x)2|x|，若关于x的不等式f(x)x
10、2xm的解集中有且仅有1个整数，则实数m的取值范围为()A.3，1) B.(3，1)C.2，1) D.(2，1)(2)函数f(x)是定义在4，4上的偶函数，其在0，4上的图象如图所示，那么不等式0的解集为_.解析(1)在同一平面直角坐标系中作出函数yf(x)，yx2xm的图象如图所示.由图可知，不等式f(x)x2xm的解集中的整数解为x0，故解得2m0.当x时，ycos x0.结合yf(x)，x0，4上的图象知，当1x时，0.又函数y为偶函数，所以在4，0上，0的解集为，所以0，若只存在两个整数x，使得f(x)0，则a的取值范围是_.解析f(x)|x22x|axa0，则|x22x|axa，分别
11、画出y|x22x|与ya(x1)的图象，如图所示.只存在两个整数x，使得f(x)0，当x1时，|122|1，令2a1，解得a，此时有2个整数使f(x)0，即x0或x1，结合图象可得a的取值范围为.答案规律方法1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体
12、现了数形结合思想.【训练3】 (1)(角度1)已知函数f(x)，则下列结论正确的是()A.函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称B.函数f(x)在(，1)上是增函数C.函数f(x)的图象关于直线x1对称D.函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线ABx轴(2)(角度2)已知函数yf(x)的图象是如图所示的折线ACB，且函数g(x)log2(x1)，则不等式f(x)g(x)的解集是()A.x|1x0B.x|1x1C.x|1x1D.x|1x2(3)(角度3)已知函数f(x)kx1，g(x)ex1(1x1)，若f(x)与g(x)的图象上分别存在点M，N，使得点M，N关于直线y1对称，则实
13、数k的取值范围是()A. B.C.e，) D.解析(1)由题知，函数f(x)的图象是由函数y的图象向右平移1个单位长度得到的，可得函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，A正确；函数f(x)在(，1)上是减函数，B错误；易知函数f(x)的图象不关于直线x1对称，C错误；由函数f(x)的单调性及函数f(x)的图象，可知函数f(x)的图象上不存在两点A，B，使得直线ABx轴，D错误.(2)令g(x)ylog2(x1)，作出函数g(x)的图象如图，由得结合图象知不等式f(x)log2(x1)的解集为x|10时，f(x)0，这与函数的图象不符，因此只有C项f(x)可能适合.有兴趣的同学可研究函数的
14、性质作出判断(略).答案C类型2利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.【例2】 已知f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)g(x)，则h(x)()A.有最小值1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值1，无最大值D.有最大值1，无最小值解析画出y|f(x)|2x1|与yg(x)1x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|g(x)，故h(x)|f
15、(x)|；在A，B之间，|f(x)|b)的图象如图所示，则函数g(x)axb的图象是()解析由函数f(x)的图象知a1，1b0.因此选项C满足要求.答案C2.(2020马鞍山模拟)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足g(x)f(|x1|)，则函数yg(x)的图象关于()A.直线x1对称 B.直线x1对称C.原点对称 D.y轴对称解析因为yf(|x|)的图象关于y轴对称，yf(|x|)的图象向右平移1个单位可得yf(|x1|)的图象，所以函数yg(x)的图象关于直线x1对称.答案B3.(2018浙江卷)函数y2|x|sin 2x的图象可能是()解析设f(x)2|x|sin 2x，其定义域为
16、R，又f(x)2|x|sin(2x)f(x)，所以yf(x)是奇函数，故排除选项A，B.令f(x)0，得sin 2x0，2xk(kZ)，即x(kZ)，排除C，只有D正确.答案D4.(2020兰州模拟)若函数yf(x)的图象的一部分如图(1)所示，则图(2)中的图象所对应的函数解析式可以是()A.yf B.yf(2x1)C.yf D.yf解析函数f(x)的图象先整体往右平移1个单位，得到yf(x1)的图象，再将所有点的横坐标压缩为原来的，得到yf(2x1)的图象.答案B5.若函数f(x)的图象如图所示，则f(3)等于()A. B.C.1 D.2解析由图象知得f(x)故f(3)561.答案C6.已
17、知函数f(2x1)是奇函数，则使函数yf(2x)的图象成中心对称的点为()A.(1，0) B.(1，0)C. D.解析f(2x1)是奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，而f(2x)的图象是由f(2x1)的图象向右平移个单位得到的，故关于点成中心对称.答案C7.(2020衡水中学调研)函数y(2x1)ex的图象大致是()解析当x时，y(2x1)ex0，则C、D错误.因为y(2x1)ex，所以当x时，y0时，设解析式为ya(x2)21(a0).图象过点(4，0)，0a(42)21，得a，y(x2)21.答案f(x)11.(2020福州质检)设函数yf(x)的图象与y的图象关于直线yx对称，且f(
18、3)f4，则实数a_.解析设(x，y)是yf(x)图象上任意一点，则(y，x)在函数y的图象上.x，则ylogxa.因此f(x)logxa.由f(3)f4，得112a4，a2.答案212.已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式2f(xt)4的解集为(1，2)，则实数t的值为_.解析由图象可知不等式2f(xt)4，即f(3)f(xt)f(0).又yf(x)在R上单调递减，0xt0，且f(5)1，所以排除C，D，选A.答案A14.若直角坐标系内A，B两点满足：(1)点A，B都在f(x)的图象上；(2)点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，
19、B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”.已知函数f(x)则f(x)的“和谐点对”有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析作出函数yx22x(x0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数y(x0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个.答案B15.已知函数f(x)|log3x|，实数m，n满足0mn，且f(m)f(n)，若f(x)在m2，n上的最大值为2，则_.解析如图，作出函数f(x)|log3x|的图象，观察可知0m1n且mn1.若f(x)在m2，n上的最大值为2，从图象分析应有f(m2)2，log3m22，m2.从而m，n3
20、，故9.答案916.(2020成都检测)已知函数f(x)若实数a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是_.解析函数f(x)的图象如图所示，不妨令abc，由正弦曲线的对称性可知ab1，而1c2 020，所以2abc2 021.答案(2，2 021)C级创新猜想17.(多选题)对于函数f(x)lg(|x2|1)，下列说法正确的是()A.f(x2)是偶函数B.f(x2)是奇函数C.f(x)在区间(，2)上是减函数，在区间(2，)上是增函数D.f(x)没有最小值解析f(x2)lg(|x|1)为偶函数，A正确，B错误.作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(，2)上是减函数，在(2，)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误.答案AC
