1、河南省鹤壁高中2020-2021学年高二数学下学期第一次段考试题 理 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A B C D2设复数满足，则的虚部为（ ）ABCD3在等比数列中，则（ ）A45B54C99D814函数的部分图象大致是（ ）ABCD5已知双曲线的焦距为4，则该双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD6已知函数，若，则（ ）A0或B或C D7已知向量与互相垂直，则的最小值为（ ）A7B6C5D48下面程序框图的算法思想源于数学名著几何原本中“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的分别为27
2、2，153，则输出的（ ）A15B17C27D349年月日，第六届世界互联网大会发布项“世界互联网领先科技成果”，有项成果属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏”清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端芯片“思元”赛灵思“自适应计算加速平台”若从这项“世界互联网领先科技成果”中任选项，则至少有一项属于“芯片领域”的概率为（ ）ABCD10已知、，且，则（ ）ABCD11已知双曲线：（，）的左焦点为，右顶点为，直线过点且与直线交于点，（为坐标原点），则的离心率为（ ）AB2CD12已知函数的图象经过点，若函数有四个零点，则实数的取值范围为
3、（ ）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知变量，满足约束条件，则的最大值为_.14若二项式的展开式中的常数项为，则 15设，为球的球面上的四个点，满足，.若四面体的表面积为，则球的表面积为_.16在数列中，且当时，若是数列的前项和，则当为整数时， 三、解答题：本大题共6大题，共70分17（12分）已知的三个内角，对应的边分别为， （1）求角的大小；（2）如图，设为内一点，且，求的最大值18（12分）如图，在四棱柱中，平面平面，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值19（12分）近年来，高铁的发展逐渐改变了人们的出行方式，我国2015-2019年高铁运营里程的数据如下表所示.
4、年份20152016201720182019年份代码12345高铁运营里程（万千米）1.92.22.52.93.5（1）求关于的线性回归方程；（2）每一年与前一年的高铁运营里程之差即为该年新增的里程，若用2016-2019年每年新增里程的频率代替之后每年新增相应里程的概率，求2023年中国高铁运营里程大于或等于5万千米的概率.附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，20（12分）已知椭圆经过点，且离心率.（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为且不过点的直线交于两点，记直线，的斜率分别为，且，求直线的斜率.21（12分）已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若对于任意
5、的都成立，求的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线的交点为，.（1）若，求；（2）设点，求的最小值.23（10分）已知，.（1）若恒成立，求的值；（2）在（1）的条件下，若正数，满足，求的最小值. 一、 选择题1.【详解】因为，故当时，当时，当时，所以，所以，故选：C.2.【详解】由得，所以则的虚部为.故选：C3.【详解】设数列的公比为，因为，所以，所以.故选C4.【详解】当时，所以为奇函数，排除D；当时，排除BC，故
6、选：A.5.【详解】因为双曲线的焦距为4，所以，则，则该双曲线的渐近线方程为.故选：B.6.【详解】，即，.故选：D.7.【详解】解：，.，当且仅当或时等号成立，.故选：A8.【详解】因为输入的分别为272，153，第一次循环，m=153，n=119，第二次循环，m=119，n=34，第三次循环，m=34，n=17，第四次循环，m=17， 故选：B9.【解析】由已知得，这项“世界互联网领先科技成果”中有项成果属于芯片领域记“从这项世界互联网领先科技成果中任选项，至少有一项属于芯片领域”为事件，则为“选出的项都不属于芯片领域”，因为，所以故选A.10.【详解】，得；由，得.从而可得.故选：D.1
7、1.【解析】由题意直线过点，则，因为，所以直线与关于直线对称，则点关于的对称点在直线上，则，解得，因此双曲线的离心率为.故选：A.12.【解析】由已知得，即，解得，故，所以，易知函数的零点个数，即的图象与直线的交点个数，所以设，则记，显然为该函数的一个零点，即，又恒成立，故函数在上单调递增，所以函数在上只有一个零点当时，即，所以函数单调递减；当时，即，所以函数单调递增，所以的最小值为如图，作出函数的图象以及直线，因为函数的图象与直线有四个不同的交点，所以数形结合可知，解得故选:B.二、 填空题13.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，易得， 由，得，平移直线（图中虚线），当直线经过点
8、时，直线在y轴上的截距最大，目标函数有最大值，此时最大值为.故答案为：4.14.【详解】二项展开式的通项公式为，令，解得，故，所以，故，又，所以15.【详解】由题意知，是等边三角形，是等腰三角形，.所以，即，所以，则的中点到，四点的距离均为，所以球的表面积为.故答案为： 16.【详解】当时，由，得，又，所以数列从第二项起是首项为，公比为的等比数列，则，所以当时，不符合题意，因为时，所以当时，则，因为是整数，所以是的因数，所以为，或，易知当且仅当时，是整数，此时，三、 解答题17.【解析】（1），易知，又，（2）由（1）与，得，在中，由余弦定理，得，又在中，(当且仅当AC=BC时取等“=”)所以
9、的最大值为18.【解析】（1）易知四边形为直角梯形，则由，得，又，所以，即，又平面平面，平面，所以平面，所以，又，所以平面（2）由（1）知平面，所以平面，又，故以点为原点，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，故，设平面的法向量为，平面的法向量为，由，得，令，则，故；由，得，令，则，故，于是，易知二面角是锐二面角，故二面角的余弦值等于19.【解析】（1）由表格中的数据，可得，所以，则，所以关于的线性回归方程为.（2）设每年新增高铁运营里程为万千米，由条件知的分布列为0.30.40.6若2023年中国高铁运营里程小于5万千米，则2020-2023年每年新增的高铁运营里程有三种情况：
10、，.相应概率为.故2023年中国高铁运营里程大于或等于5万千米的概率：20.【解析】（1）因为在椭圆上，所以，又，由上述方程联立可得，所以椭圆的标准方程为.（2）设直线的方程为，设，由消得：，所以，因为，所以，同理可得，因为，所以.21.【解析】（1）当时，得，则，所以在处的切线方程为：.（2）当且时，由于，构造函数，得在上恒成立，所以在上单调递增，由于对任意的都成立，又，再结合的单调性知道：对于任意的都成立，即对于任意的都成立.令，得，由，由，则在上单调递减，在上单调递增，故，故，所以的最大值为.22.【解析】（1）由曲线的极坐标方程得，化为直角坐标方程为，即.将直线的参数方程代入其中，得.当时，上述方程即，解得，所以.（2）由根与系数的关系可知：，所以，其中，当时取等号，所以的最小值为.23.【解析】（1）因为，所以.（2）设，则，则，当且仅当，即，时，等号成立.所以的最小值为.
